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0 e C il cerchio |z

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Academic year: 2021

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(1)

5.1

(1) Sia C la linea y = x3 − 3x2+ 4x − 1 che congiunge i punti (1, 1) e (2, 3).

Determinare il valore di Z

C

(12z2− 4iz)dz (2) Calcolare

I

C

|z|2dz lungo i cerchi (a) |z| = 1 e (b) |z − 1| = 1.

(3) Calcolare

Z

C

¯

z2dz + z2dz

lungo la curva C definita da z2 + 2z ¯z + ¯z2 = (2 − 2i)z + (2 + 2i)¯z tra il punto z = 1 e z = 2 + 2i.

(4) Determinare e definire tutte le singolarit`a di

(a) z

(z2+ 4)2 , (b) sec1

z, (c) ln(z − 2)

(z2+ 2z + 2)2 , (d) sin√

√ z z . (5) Calcolare

I

C

ez (z2+ π2)2dz dove C `e il cerchio |z| = 4.

(6) Calcolare

I

C

eiz z3dz dove C `e il cerchio |z| = 2.

(7) Dimostrare che

1 2πi

I

C

ezt

z2+ 1dz = sin t per t > 0 e C il cerchio |z| = 3.

(8) Calcolare

I

C

cos πz z2− 1dz

lungo un rettangolo con vertici in: (a) 2 ± i, −2 ± i; (b) −i, 2 − i, 2 + i, i.

(9) Siano

P (z) = 1

cos z, Q(z) = cos z

z2 , R(z) = 1 (ez− 1)3 . Trovare i poli di P , Q e R e il loro ordine.

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