Alcune costruzioni geometriche tratte dagli Elementi di Euclide

Alcune costruzioni geometriche tratte dagli Elementi di Euclide

di Aldo Scimone

Seminario

tenuto nell'ambito delle Lezioni del Prof. U. Bottazzini

su

Matematica Elementare da un punto di vista superiore 4 aprile - 6 aprile

a.a. 2000 - 2001

1. Sul concetto di costruzione geometrica

Com'è noto, durante il cosiddetto periodo classico della Matematica greca (ma già prima di Euclide) e anche dopo, gli unici strumenti ufficiali ammessi dalla comunità matematica per le costruzioni geometriche erano la riga e il compasso, sebbene non si esitasse a impiegare anche altri strumenti, come la squadra, per alcune costruzioni che non potevano essere eseguite con i due strumenti suddetti.

Come venne riconosciuto anche dai matematici greci è possibile escogitare strumenti per disegnare ellissi, parabole, iperboli, e anche curve più complicate, allargando il campo delle figure che si possono costruire.

Per esempio, Archimede (287-212 a.C.) per risolvere il problema della trisezione di un angolo non esitò a usare la riga anche per segnare le distanze. La trisezione di un angolo, di qualsiasi ampiezza, era uno dei tre famosi problemi dell'antichità.

Si trattava di questo:

Dividere un qualsiasi angolo in tre parti uguali usando soltanto la riga e il compasso.

Questo problema può essere risolto con la riga e il compasso solo per angoli particolari come 72°, 90°, 180°, ma non in generale. Infatti, noi sappiamo oggi che la soluzione generale del problema è legata alla soluzione di un'equazione di terzo grado che non ammette alcuna radice razionale, e ciò, in base ad un teorema algebrico, ha come conseguenza geometrica proprio l'impossibilità di eseguire la trisezione dell'angolo con riga e compasso.

Ma il teorema algebrico non era noto1 nell'antichità, per cui il problema in questione arrovellò i matematici per molti secoli, e molti usarono particolari curve per risolverlo.

Archimede lo risolvette supponendo, come s'è detto, di poter usare la riga non solo per tracciare una retta passante per due punti dati, ma anche per trasportare segmenti lungo una qualsiasi direzione.

Esaminiamo il suo metodo esposto nella proposizione VIII del suo Libro dei lemmi.

Sia dato un angolo α a piacere:

Ο α a

b

Si prolunga il lato a dell'angolo verso sinistra, e si traccia una semicirconferenza di raggio r arbitrario, avente il centro nel vertice O dell'angolo.

a b

O C α

1 Vale, infatti, il seguente teorema:

Se un'equazione cubica a coeffiecienti razionali non ammette radici razionali, allora nessuna delle sue radici è un numero costruibile partendo dal campo razionale Co.

Per dimostrare che il problema di trisecare un angolo θ è in generale impossibile, basterà considerare un solo angolo che non possa essere trisecato, perché un metodo generale, per essere valido, dovrebbe essere applicabile a ogni esempio particolare. Così, se si considera, per esempio, il valore particolare θ = 60°, la sua trisezione dipende dalla risoluzione dell'equazione di terzo grado 8z³-6z-1=0 (con z = cos θ/3), che, per il teorema riportato prima, non ammette radici razionali.

Sia C il punto di intersezione della semicirconferenza con il lato b dell'angolo. Sulla riga si segnano due punti A e B in modo che AB=r.

A B

La riga viene disposta in modo che il punto B stia sulla circonferenza, facendo contemporaneamente sì che il punto A si trovi sul prolungamento sinistro del lato a dell'angolo e allineato con B e C. Mantenendo la riga in questa posizione si traccia la retta AC.

O

b

a A

B

C

L'angolo β sarà allora uguale alla terza parte di α.

A

B

C

O a

b

β α

La dimostrazione è semplice. Basta infatti ricordare che un angolo esterno ad un triangolo è uguale alla somma degli angoli interni, nessuno dei quali è adiacente ad esso.

A

B

C

O a

b

β γ γ α

β

In base a questa proprietà si può scrivere, per il triangolo AOC: α=β+γ . Ma γ=2β, per cui α=3β. (Si tenga presente che AB = OB = raggio della semicirconferenza)

Neanche gli altri due problemi dell'antichità, la duplicazione del cubo (ovvero la determinazione del lato di un cubo di volume doppio rispetto a quello di un cubo di lato assegnato) e la quadratura del cerchio (ovvero la costruzione di un quadrato equivalente ad un cerchio dato) poterono essere risolti usando unicamente la riga e il compasso; anche per essi venne dimostrata, in epoca posteriore, l'impossibilità di risolverli con riga e compasso.

Infatti, si dimostra, in generale, che una costruzione è eseguibile con riga e compasso solo se l'equivalente algebrico del problema posto è la soluzione di un'equazione che ammette radici razionali.

Infatti, è fondamentale comprendere che la teoria generale delle costruzioni geometriche che si possono effettuare con riga e compasso ha come sfondo l'algebra, cioè, ogni costruzione geometrica con i due strumenti classici equivale alla risoluzione di un problema algebrico.

Infatti, se viene richiesta la costruzione della grandezza x, date le grandezze a, b, ..., innanzitutto si deve determinare una relazione (equazione) tra l'incognita e i dati; poi, si deve calcolare il valore della grandezza incognita risolvendo l'equazione; infine si deve stabilire se la soluzione può essere ottenuta con procedimenti algebrici che corrispondano a costruzioni con riga e compasso.

Per esempio, alcune delle operazioni algebriche più semplici corrispondono a costruzioni geometriche elementari. Così, dati due segmenti di lunghezza a e b, si possono eseguire le costruzioni geometriche corrispondenti alle operazioni algebriche a+b, a-b, a·b, a/b, com'è mostrato di seguito.

1] Costruzione di a + b:

a b

A B C

2] Costruzione di a - b:

a b

A B

C D

H a - b

3] Costruzione di a · b: 4] Costruzione di a/b:

A O

B

D

C b

1

1 : a = b : OD OD = a · b

a

O A

B

C

1 D

a

b a/b

1 : b = OC : a OC = a/b

5] Costruzione di √a:

A B C

D

a 1

AB : BD = BD : BC a : BD = BD : 1

BD = a

Quindi, le operazioni razionali algebriche, addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di quantità note, si possono eseguire mediante costruzioni geometriche.

L'insieme delle quantità che si possono ottenere in questo modo da a, b, c, ..., costituisce un campo di numeri, cioè un insieme che è chiuso rispetto alle operazioni razionali.

Introducendo l'operazione di estrazione di radice quadrata, noi possiamo estendere il campo delle grandezze costruibili. Infatti, costruita la grandezza corrispondente a k, mediante operazioni

«razionali», si possono ottenere tutti i numeri costruibili della forma

a+b√k, a+b√k

c+d√k , (a+b√k) · (c+d√k) con a, b, c, d numeri razionali.

Riassumendo: dato un certo numero di quantità appartenenti a un campo C, mediante ripetute applicazioni di operazioni razionali, si possono costruire con la sola riga tutte le quantità del campo C generate da quelle date; utilizzando il compasso, scelto un numero qualsiasi k di C, ed estraendo la √k, si può costruire il campo C', più vasto di C, formato dai numeri del tipo a+b k; da C' si può passare a un altro campo più vasto, sempre nello stesso modo, e così via. In sostanza, i numeri costruibili sono tutti e solo quelli che si possono ottenere con una successione di estensioni, partendo da un certo campo.

Se il campo iniziale è quello razionale Co, generato da un solo segmento, assunto come unitario, allora tutti i numeri costruibili sono algebrici.

La riga veniva, quindi, usata dai matematici greci nella sua utilizzazione più pura, ovvero solo come un'asta rigida, utile per tracciare segmenti o per segnare la direzione di una retta o di una semiretta. Essa presentava, quindi, solo due orli rettilinei e paralleli, senza alcuna scala numerica, mediante la quale fosse possibile eseguire delle misure, o segnare delle distanze (come fece Archimede), perché la sola presenza di una scala numerica avrebbe “inquinato” la purezza degli enti geometrici da rappresentare nelle costruzioni.

A B

Forse il rifiuto da parte dei matematici greci di usare strumenti che implicassero misure era in parte dovuto all'aspetto contemplativo raggiunto dalla loro geometria, dopo secoli di ricerche e di risultati. L'atto del misurare era considerato non degno di persone che si impegnavano in un'attività speculativa, qual era la matematica, in cui esercitavano il loro pensiero; per cui esso veniva demandato ai cosiddetti «meccanici», ovvero a coloro che nella loro professione

utilizzavano macchine e meccanismi vari. In questo aspetto elitario della matematica greca è forse il germe di quel carattere esclusivo e quasi inaccessibile per i non matematici che contrassegnerà per molti secoli a venire tutta la matematica occidentale.

Dato quest'uso canonico della riga, il trasporto di una misura veniva effettuato con l'altro strumento ammesso, il compasso, che serviva soprattutto per tracciare cerchi e archi di cerchio.

Ma pur con questa limitazione sull'uso della riga e del compasso, le costruzioni possibili con questi due strumenti erano molte, e in generale i problemi di costruzione hanno sempre esercitato molto fascino sugli studenti, proprio perché la loro realizzazione è una perfetta simbiosi tra teoria e pratica, e ciò comporta una soddisfazione sia intellettuale che manuale. Le costruzioni geometriche sono un utile strumento didattico per rendere entusiasmante lo studio della geometria, ed è proprio su questo presupposto che è stato pensato ed ideato il software Cabrì-géométre che ha riscosso tanto successo, quale supporto all'insegnamento della geometria.

Con riga e compasso si può bisecare un angolo o un segmento, si può tracciare la perpendicolare da un punto ad una retta, si può condurre la parallela per un punto ad una retta, si può determinare il baricentro, il circocentro, l'incentro e l'ortocentro di un triangolo, si può inscrivere in un cerchio un pentagono o un esagono regolare, si può costruire un quadrato equivalente ad un dato poligono, ecc.

In tutto ciò per gli studenti vi è il piacere di vedere nascere la figura sotto i propri occhi, tracciando segmenti e rette, utilizzando il compasso, posizionando bene le squadrette, ecc.

Partendo da costruzioni elementari, lo studente, appassionandosi, può via via procedere verso costruzioni più elaborate che necessitano di un substrato teorico più impegnativo, per cui ciò può costituire uno stimolo ad approfondire proprietà nuove delle figure geometriche, e a studiare nuovi teoremi, allargando così i propri orizzonti culturali e ampliando la propria cultura matematica.

In uno stadio più avanzato, quando già si padroneggia la costruzione di molte figure geometriche, si comprenderà meglio che quando ci si occupa di una costruzione geometrica, il problema non consiste tanto nel disegnare praticamente le figure con il massimo grado di esattezza, secondo la precisione degli strumenti che vengano usati, quanto piuttosto nello stabilire se esso sia o meno risolubile teoricamente. Ciò significa essenzialmente che sarebbe inutile tentare di risolvere un problema di costruzione alla cieca, senza aver prima riflettuto sulla possibiltà teorica di eseguire la costruzione.

Infatti, prendendo a prestito una definizione usata dal matematico americano di origine ungherese George Polya (1887-1985), una costruzione geometrica non è altro che un «problema che chiede di trovare» un certo oggetto, l'incognita del problema, soddisfacente alla condizione del problema, che collega l'incognita ai dati del problema.

La determinazione dev'essere fatta in un numero finito di passi, usando strumenti che possano condurre materialmente alla soluzione. Facciamo un esempio di costruzione geometrica.

Dati due segmenti a e b e l'angolo α, costruire il parallelogramma di cui i segmenti dati sono due lati consecutivi, comprendenti l'angolo α.

In questo caso distinguiamo:

- i dati: a, b, α.

a

b α

- l'incognita: il parallelogramma.

- la condizione: a e b devono essere lati consecutivi del parallelogramma e formare l'angolo α. I passi della costruzione saranno i seguenti:

1]Si traccia una retta r (uso della riga):

r 2] Si segna un qualunque punto O su r:

O r

3] Si riporta2 su r l'angolo α che abbia vertice in O (riga e compasso):

O r s

α

4] Si riportano su r ed s i segmenti a e b (compasso):

B

A r

O s

α a b

5] Si traccia una qualsiasi corda BC di α e dal punto C si riporta il segmento CE = OC:

B

A r

O s

α

C E

2 Per il trasporto di un dato angolo su una retta si confronti la costruzione successiva.

6] Centrando in C e in E si tracciano due archi di cerchio, di raggi rispettivamente OB e BC, che si intersecheranno nel punto P

B

A r

O s

α

C E

P

6] Poiché P e B saranno equidistanti dalla retta r, la retta t passante per essi sarà parallela ad r:

B

A r

O s

α

C E

P t

7] Si riporta su t un segmento BD = a (compasso):

B t

A r

O s

α

D

7] Si traccia il segmento AC (riga), per cui OACB sarà il parallelogramma cercato:

B t

A r

O s

α

C

Questo semplice esempio mette in evidenza ciò che si è detto all'inizio, ovvero che ogni costruzione geometrica eseguibile con la riga e il compasso si effettua sempre attraverso un numero finito di costruzioni più semplici che, in ultima analisi, sono dovute ad una combinazione dei seguenti procedimenti grafici elementari, già elencati da Euclide come postulati:

- disegnare un segmento che unisce due punti dati;

- prolungare un segmento lungo uno dei due versi della retta alla quale esso appartiene;

- tracciare una retta per un punto o per due punti;

- disegnare un cerchio o un arco di cerchio, di dato centro e raggio.

Queste sarebbero ciò che nel linguaggio dell'informatica vengono chiamate macro, ovvero costruzioni che si eseguono una volta per tutte e che all'occorrenza vengono usate, combinandole anche per creare altre macro più complesse. Questo modo di procedere è già presente in Euclide, e d'altra parte fa parte di quell'economia di pensiero che è necessaria per raggiungere mete più alte, e che permette allo studioso di affrancarsi da operazioni elementari che sarebbe fastidioso rifare daccapo ogniqualvolta esse debbano essere utilizzate.

Per esempio, nella costruzione precedente, le fasi in cui bisogna riportare l'angolo, tracciare la parallela o riportare le lunghezze dei segmenti dati, vengono assunte come eseguite, e rappresentano quelle macro che ci permettono di economizzare il tempo per giungere alla soluzione del problema.

Così, la sola macro relativa al trasporto di un angolo comporterebbe i seguenti passi:

1] È dato un angolo α:

α

a b

O

2] Si traccia una qualsiasi semiretta r di origine O':

O' r

3] Si traccia una qualsiasi corda dell'angolo α, di estremi A e B:

α

a b

O ^A

B

4] Si riporta su r la distanza O'A = OA:

O' A r

5] Si tracciano due archi di circonferenza, con centri in O' e in A, rispettivamente di raggi OB e AB, individuando il punto B:

B

O' A r

6] Da O' si traccia la semiretta s che passa per B. L'angolo tra r ed s sarà uguale ad α.

s

α B

O' A r

A questo punto, ci si potrebbe chiedere quali siano le proprietà di questi due strumenti, la riga e il compasso, perché essi abbiano un ruolo così esclusivo per le costruzioni geometriche. Ebbene, la riga ci permette di rappresentare oggetti geometrici quali la retta, la semiretta, il segmento, perché quando viene poggiata sulla superficie del foglio da disegno, che traduce materialmente la superficie del piano geometrico (o euclideo), essa coincide a livello macroscopico, punto per punto, con la superficie del foglio; ovvero, non c'è alcuna parte della riga che non tocca il foglio, perché le loro curvature coincidono.

Questa speciale curvatura del foglio da disegno si traduce per il compasso nella proprietà che la punta scrivente unisce punti che si trovano tutti alla stessa «quota», nel senso che non succede mai che la punta scrivente improvvisamente cominci a salire o a scendere oltre la superficie del foglio, perché in questo caso ciò sarebbe l'indizio che il compasso starebbe tracciando una curva su una superficie non piana; e, inoltre, i suoi bracci non potrebbero essere rigidi, ma elastici, proprio per seguire la curvatura della superficie.

2. Alcune costruzioni relative alla sezione aurea.

I^a costruzione

Nella proposizione II, 11 viene posto il seguente problema:

Dividere una retta data in modo tale che il rettangolo compreso da tutta la retta e da una delle parti sia uguale al quadrato della parte rimanente.

Premesso che con la parola retta Euclide intende segmento di retta, il modo in cui egli costruisce geometricamente il punto che divida il segmento dato nel modo richiesto è il seguente.

F

A

E

C K D

H B G

Figura 1 Con riferimento alla figura 1, se AB è il segmento dato:

1] su di esso si costruisce innanzitutto il quadrato ABCD;

2] si congiunge il punto medio E di AC con il vertice B;

3] sul prolungamento di AC si segna il segmento EF =EB;

4] si costruisce quindi il quadrato AFGH;

5] si prolunga il lato GH fino a intersecare CD nel punto K;

6] H è il punto cercato, cioè: AB·BH=AH².

Si badi bene che tutte le operazioni che sono state utilizzate per risolvere il problema, cioé la costruzione di un quadrato di lato assegnato, la determinazione del punto medio di un segmento, il prolungamento di un segmento e la determinazione di un segmento congruente ad un'altro, sono tutte permesse perché Euclide le ha trattate prima.

La dimostrazione che il punto H sia effettivamente quello cercato è abbastanza semplice.

Per dimostrare che la costruzione risolve il problema posto, Euclide utilizza la teoria dell'equiva- lenza delle figure piane, che viene trattata pure nel Libro II. Il punto cruciale del ragionamento è rappresentato dall'applicazione della proposizione VI dello stesso libro, nella quale si afferma che se AB è un segmento diviso a metà dal punto M (figura 2), e viene prolungato del segmento BN, allora sarà valida la relazione: MN²=AN·BN+MB².

A M B N Figura 2

Con linguaggio moderno, se la lunghezza di AB si indica con a e quella di BN con x, la relazione precedente si traduce nella formula di immediata verifica:

Applicando questa proposizione al segmento CF della figura 2 possiamo scrivere:

EF²=CF·FA+EA² da cui, poiché EF=EB, si ottiene:

EB²=CF·FA+EA².

Applicando la proposizione I, 47 (teorema di Pitagora) al triangolo rettangolo AEB si ottiene:

EB²=AB²+EA². Confrontando le due ultime relazioni, si deduce che:

AB²=CF·FG

che esprime l'equivalenza tra il rettangolo CFGH e il quadrato ABCD, cioé che le loro aree hanno lo stesso valore numerico.

Ma allora basterà sottrarre a queste due figure la parte che hanno in comune, cioé il rettangolo CAHK, per ottenere l'equivalenza tra il quadrato AFGH e il rettangolo KHBD, ovvero:

AH²=AB·BH che soddisfa alla condizione posta dal problema.

L'importanza principale di questa relazione consiste nel fatto che, se indichiamo con x la lunghezza incognita del segmento AH, e con a quella di AB, allora essa si traduce nell'equazione di secondo grado (a-x)·a=x²o anche x²+ax-a²=0, per cui la risoluzione del problema posto in essere dalla proposizione 11, in fin dei conti non ci mostra altro se non un procedimento geometrico per risolvere questa equazione.

II^a costruzione

Nella proposizione 30 del Libro VI (che tratta le proprietà dei poligoni simili), Euclide riconsidera la costruzione della sezione aurea di un segmento, utilizzando questa volta la teoria delle pro- porzioni esposta nel libro precedente.

La proposizione viene enunciata nel modo seguente:

Dividere in estrema e media ragione una retta terminata data.

a 2 +x



 



 

2

=

(

)



 



 

2

Dividere una retta in estrema e media ragione è proprio il modo in cui si esprime, in termini di proporzione, la costruzione della sezione aurea di un segmento.

Riferendoci alla figura 3, se AB è il segmento dato, la costruzione euclidea viene effettuata con i seguenti passi:

1] si costruisce innanzitutto il quadrato ABHC;

2] si costruisce il rettangolo CFDK, equivalente ad ABHC, formato dal rettangolo AEFC e dal quadrato AEDK (a tale scopo, Euclide applica la proposizione VI, 29 che riguarda la costruzione di un rettangolo di area data, avente per base la somma di un segmento dato e di un altro segmento che al tempo stesso deve essere altezza del rettangolo);

C F H

A

K D

E B

Figura 3

3] Essendo ABHC e CFDK equivalenti, sottraendovi il rettangolo comune AEFC, si otterranno due figure pure equivalenti, cioé AEDK ed EBHF;

4] Euclide applica a queste figure la proposizione VI, 14, secondo la quale sussiste la proporzione FE:ED=AE:EB, per cui risulta:

AB:AE=AE:EB.

Quindi E è il punto cercato.

Come si nota, in questa proposizione la costruzione e la sua giustificazione teorica procedono di pari passo.

III^a costruzione di Erone di Alessandria

Oltre alle due costruzioni di Euclide, un'altra costruzione della sezione aurea venne proposta dal matematico e meccanico greco Erone di Alessandria (vissuto tra il I e il III secolo d.C.).

Egli fu anche uno scrittore enciclopedico di matematica e fisica, le cui opere, giunteci quasi intatte, furono raccolte in quattro volumi, editi a Lipsia tra il 1899 e il 1914, con il titolo Heronis Alexandrini Opera quae supersunt omnia.

A

C

O

D

H B

Γ

Figura 4

Con riferimento alla fig. 4, la costruzione procede nel modo seguente:

1] Dall'estremo B del segmento dato AB si traccia il segmento di perpendicolare BO = 1 2 AB;

2] con centro in O si traccia il cerchio Γ;

3] si congiunge il punto A con il centro O di Γ e si prolunga fino al punto D;

4] con centro in A e raggio AC si traccia un arco di cerchio che incontra AB nel punto H, che è quello cercato.

a) La dimostrazione che AH è effettivamente la sezione aurea di AB, si ottiene subito osservando che per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo ABO, si ricava:

AO²=AB²+BO² = AB²+(AB/2)², dalla quale, essendo:

AO=AC+CO=AH+OB=AH+AB/2 si ottiene:

(AH+AB/2)²=AB²+(AB/2)² e da questa infine:

AB

AH = AH (AB-AH) ovvero AB:AH=AH:HB.

b) Una dimostrazione diversa della validità della costruzione di Erone, ma altrettanto semplice come la precedente, può essere data mediante la teoria delle proporzioni.

Infatti, essendo A un punto esterno alla circonferenza Γ, per un noto teorema di geometria elementare sulla secante e la tangente condotte da un punto esterno ad una circonferenza, si può scrivere

AD:AB=AB:AC dalla quale per una proprietà delle proporzioni si ottiene:

(AD-AB):AB=(AB-AC):AC.

Essendo, inoltre, AB=CD e AC=AH, dall'ultima relazione si ottiene:

(AD-CD):AB=(AB-AH):AH da cui infine, dopo facili passaggi:

AB:AH=AH:BH.

c) La costruzione di Erone fu forse motivo di ispirazione per il filosofo e matematico francese René du Perron Descartes (1596-1650), che è più conosciuto con il nome di Cartesio.

Infatti, nella sua opera più famosa, la Géométrie, stampata per la prima volta a Leida nel 1637, e che segnò la nascita ufficiale della geometria analitica, egli utilizzò una costruzione geometrica analoga a quella di Erone per risolvere l'equazione di secondo grado z²=az+b².

Con riferimento alla figura 5, sia Γ la circonferenza di centro N e di diametro OP=a. Tracciata la tangente a Γ in L, si consideri il punto M tale che LM=b. Si congiunge M con N prolungando fino ad O.

Γ O

N

L M

P a/2

b Figura 5

Fatte queste posizioni, Cartesio pose OM=z, e poiché OM·PM=LM^2, egli ottenne z·(z-a)=b²

cioé z²=az+b², che era l'equazione da risolvere.

Il passo finale fu quello di esprimere il segmento MN in due modi, e confrontare le due espressioni.

Infatti, applicando il teorema di Pitagora al triangolo LMN, si ottiene:

MN =√(NL²+LM²)=

a² 4 +b²



 



  Ma poiché MN=OM - ON=z - a

2 , Cartesio ottenne la soluzione positiva dell'equazione nella forma:

z= a

2 + a² 4 +b²



 



 

E' chiaro che per a=-1 e b=1 l'equazione di Cartesio diventa quella a cui soddisfa la sezione aurea:

z²+z-1=0.

Per quanto riguarda la radice negativa dell'equazione, essa non venne presa in considerazione da Cartesio perché la considerava geometricamente priva di significato.

IV^a costruzione della sezione aurea

Un'altra costruzione della sezione aurea è presentata nella figura 6.

1] Per l'estremo A del segmento dato AB, si traccia la perpendicolare t, e su di essa si determina il segmento AO = 1

2 AB.

t O

A

C B H

Figura 5

2] si congiunge O con B;

3] con centro in O si riporta OB sulla perpendicolare t, individuando il punto C;

4] con centro in A e raggio AC si individua il punto H, che è quello cercato.

Infatti, poiché OC=OB=√5

2 ·AB, si ha:

AH=AC=OC-OA= (√5-1) 2 ·AB.

V^a costruzione di Mascheroni

L'abate Lorenzo Mascheroni (1750-1800) fu un matematico italiano che dal 1786 insegnò algebra e geometria all'Università di Pavia, divenendone in seguito rettore.

Fu apprezzato anche come poeta, soprattutto grazie al poemetto Invito a Lesbia Cidonia, del 1793, nel quale in 529 versi sciolti descrisse i vari gabinetti scientifici, i musei e i giardini botanici di Pavia.

In campo matematico divenne famoso soprattutto per avere scritto l'opera La geometria del compasso, edita per la prima volta a Pavia nel 1797, nella quale dimostrava come tutti i problemi di geometria piana risolvibili con la riga ed il compasso fossero anche risolvibili con il solo compasso. In essa si trova anche la costruzione della sezione aurea di un segmento nel modo che segue (fig. 6).

Figura 6

1] se OA è il segmento dato (mediante i suoi estremi), si traccia la circonferenza di centro O e raggio OA;

2] con centro in A e raggio OA si determina il punto B, e di seguito, nello stessso modo, i punti C, D ed E.;

3] con centro in A e poi in D, con raggio AC, si determina il punto X;

4] infine, centrando in C e in E, con raggio OX si determina il punto Y, che è quello cercato.

Per dimostrare che OY è la sezione aurea di OA, bisogna osservare innanzitutto che, essendo CY=EY, il punto Y appartiene all'asse di EC, per cui risulta allineato con O e quindi con A. Poiché AX=XD, allora X è allineato con O e il triangolo AOX è rettangolo in O. Poniamo AO=1. Nel triangolo rettangolo ACD si ha: AC=√(AD²-CD²)=√3, per cui AX=AC=√3, e di conseguenza nel triangolo rettangolo AOX si ha OX=√2. Allora si ottiene CY=√2 e CH=√3/2. Nel triangolo ret- tangolo OXY si ha, quindi, XY=√5/2, per cui infine risulta:

OY=HY-OH= (√5-1) 2 ·

Pertanto il punto Y divide il segmento OA in estrema e media ragione. Il metodo di Mascheroni permette di costruire anche un segmento del quale è data la parte aurea. Infatti, sempre riferendoci alla figura 6, sia OD la parte aurea del segmento che vogliamo determinare, allora si ha:

DY=DO+OY=1+ (√5-1)

2 ·= (√5+1) 2 · per cui risulta

DY·OY= (√5-1)

2 ·· (√5+1) 2 · =1.

Da quest'ultima relazione, essendo OD=1, si ottiene DY·OY=OD², per cui DY è il segmento del quale OD è la parte aurea.

3. Costruire un segmento del quale si conosce la parte aurea

La risoluzione di questo problema viene effettuata in tre fasi. Riferendoci alla figura 7, sia AH la parte aurea del segmento che si vuole costruire; allora si procede nel modo seguente:

1] si determina innanzitutto la parte aurea AC di AH con uno dei metodi visti prima;

2] quindi si prolunga AH di un segmento HB=AC.;

3] il segmento AB sarà quello cercato.

A C H B

Figura 7

La verifica è immediata. Infatti, poiché AH:AC=AC:CH, per una proprietà delle proporzioni si può scrivere:

(AH+AC):AH=(AC+CH):AC

ovvero (AH+HB):AH=AH:HB, per cui infine si ottiene il risultato: AB:AH=AH:HB.

4. Costruire la parte aurea della parte aurea di un segmento

Se AH è la parte aurea del segmento AB, sussiste la proporzione AB:AH=AH:HB (fig. 8).

Figura 8

A K H B

Per una nota proprietà delle proporzioni, si ricava:

(AB-AH):AH=(AH-HB):HB

dalla quale, ponendo AH-HB=AK si ottiene HB:AH=AK:HB, da cui invertendo i rapporti si ha:

AH:HB=HB:AK.

Quindi la parte aurea di AH (che è parte aurea di AB) non è altro che il segmento restante HB!

Riportando HB su AH, dal punto A, la parte aurea di AH sarà AK.

Procedendo nello stesso modo, come è rappresentato si otterrà una successione di sezioni auree...

ad infinitum.

5. Costruzione del triangolo aureo, del pentagono e del decagono regolari

Nella proposizione IV, 10 Euclide pone il problema di costruire un triangolo isoscele in cui ciascuno dei due angoli alla base sia il doppio dell'angolo al vertice.

A tale scopo, egli dimostra che si deve costruire un triangolo isoscele la cui base sia la sezione aurea del lato (Fig. 9).

A

C

B D

α

ε

γ

δ β

Figura 9

Lo schema generale della dimostrazione euclidea è il seguente.

Euclide considera il segmento AB, la sua parte aurea AC, e quindi costruisce il triangolo isoscele ABD con BD=AC. Sotto queste ipotesi, dimostra che β=γ, per cui risulta BD=DC, così anche il triangolo DCA risulta isoscele, per cui α=ε. D'altra parte, poiché l'angolo γ è esterno al triangolo DCA, risulta β=γ=α+ε=2α, come richiesto.

Ma qual é l'ampiezza degli angoli del triangolo aureo? La risposta è quasi immediata. Infatti, poiché β=2α e 2β+α=180°, con semplici passaggi algebrici si ottiene: α=36° e β=72°.

Come si effettuerà, allora, la costruzione di questo triangolo se viene assegnata, per esempio, la base BD?

1] si determina il segmento AB di cui BD è la sezione aurea;

2] con centro in B e in D, e raggio AB si determina il punto A;

3] si congiunge A con B e D, determinando il triangolo.

Questo triangolo è chiamato aureo proprio per questa sua caratteristica, ed è molto importante, perché è alla base della costruzione di altre due figure notevoli per la geometria, il pentagono regolare e il decagono regolare.

Infatti, come osserva efficacemente Attilio Frajese, commentando la IV, 10:

La costruzione del triangolo isoscele avente ciascun angolo alla base doppio dell'angolo al vertice è nient'altro che la costruzione di un angolo uguale alla quinta parte di due retti, ossia alla decima parte di quattro retti. Assumendo, dunque, un tale angolo come angolo al centro di un cerchio si può costruire il decagono regolare iscritto. Dal decagono, poi, unendo alternativamente i vertici, si ottiene il pentagono regolare iscritto.

Ciò viene mostrato nella figura 10.

A B

C D

E

F

G

I H L

M

N

R O

36°

Figura 10

'

1] Si traccia la circonferenza Γ di centro O e raggio OA, e i due diametri perpendicolari AF e PQ;

2] si traccia il cerchio Γ' di raggio OM =1/2 OQ.

3] si determina la parte aurea AR=AN di OA con il metodo di Erone (essendo il lato del decagono regolare la parte aurea del raggio del cerchio in cui esso è inscritto);

4] si riporta AR successivamente in AB, BC, CD, e così via, ottenendo il decagono ABCDEFGHILA. Unendo alternativamente i vertici del decagono si otterrà il pentagono regolare inscritto nel cerchio Γ.

6. Costruzione del pentagono regolare indipendente da quella del decagono regolare Per costruire un pentagono regolare si può sfruttare la Proposizione 8 del Libro XIII degli Elementi euclidei:

In un pentagono equilatero ed equiangolo [cioè regolare] le rette che sottendono due angoli consecutivi si dividono in estrema e media ragione, e le loro parti maggiori sono uguali al lato del pentagono.

Se si riflette un po' su questa proposizione, non si tarderà ad accorgersi del legame notevole che essa esprime tra la sezione aurea di una diagonale di un pentagono regolare, la diagonale stessa e il lato del pentagono.

Si afferma, infatti, che se si considerano due diagonali di un pentagono regolare che partono da vertici diversi, esse si incontrano dividendosi scambievolmente in estrema e media ragione, e cia- scuna delle loro parti auree risulta uguale al lato del pentagono.

Questa proprietà suggerisce due costruzioni di un pentagono regolare: la prima, conoscendone il lato; la seconda, conoscendone una diagonale.

Costruiamo, per esempio, il pentagono regolare di dato lato AB.

1] Il primo passo consiste nel costruire il segmento AC del quale AB è la parte aurea;

2] centrando in A e in C, con apertura di compasso AB, si individua il punto D (fig. 11).

A B C

D

F E

Figura 11

3] si unisce D con B, prolungando;

4] centrando in B con raggio AB, si determina il punto E;

5] per E si traccia la parallela ad AC, e da A la parallela a BE, determinando il segmento FE uguale ad AB. ADCEFA sarà il pentagono richiesto.

Se invece del lato è data una diagonale AC, se ne determinerà innanzitutto la parte aurea AB, dopo di che la costruzione procederà in modo simile alla precedente.

7. La costruzione del rapporto aureo

Con riferimento alla figura 12, si definisce rapporto aureo il rapporto AB/AH, con AH sezione aurea di AB.

A H B

Figura 12

Esso viene indicato di solito con la lettera greca φ , in onore del sommo scultore greco Fidia, del cui nome è l'iniziale; alcune volte esso viene indicato anche con un'altra lettera greca, la , perché iniziale della parola greca , che significa sezione.

Il valore numerico del rapporto aureo si calcola facilmente. Infatti, tenendo conto del valore della sezione aurea AH, segue subito

φ= AB

AH = √5+1 2

il cui valore approssimato con quattro cifre decimali è: φ=1,6180.

Per costruire due segmenti che stiano tra loro nel rapporto aureo, evidentemente basta che l'uno sia la parte aurea dell'altro, e a tale scopo si può quindi usare una delle costruzioni geometriche della sezione aurea. Ma vi sono anche altre costruzioni.

Supponiamo, per esempio, di avere a disposizione un segmento AB e di volere determinare un secondo segmento BC tale che il rapporto AB/BC sia aureo (fig. 13).

A

E D

M B C

Figura 13

1] Si costruisce il quadrato di lato AB=1 (cioè, il segmento dato si considera unitario);

2] si traccia il segmento MD, con M punto medio di AB;

3] centrando in M e con raggio MD si individua il punto C sul prolungamento di AB.

Il segmento BC è allora quello cercato. Infatti, si può scrivere:

BC = MC - MB = √5 2 - 1

2 = (√5-1) 2 per cui risulta:

AB BC = 1

(√5-1) 2

= √5+1 2 =φ.

Inoltre, anche il rapporto AC/AB è aureo, perché si ha:

AC

AB = AB + BC AB =

1+ (√5-1) 2

1 = √5+1 2 = φ.

Generalità sulla costruzione dei poliedri regolari

Il libro XIII è uno dei più suggestivi degli Elementi e corona, in un certo modo, la mirabile costruzione euclidea, perché tratta dei poliedri regolari convessi, completando così lo studio della geometria solida iniziato nei libri undicesimo e dodicesimo.

I poliedri regolari convessi sono i solidi le cui facce sono poligoni regolari dello stesso numero di lati e i cui angoloidi sono pure regolari e dello stesso numero di spigoli. Essi sono solo cinque, precisamente:

1] il tetraedro, formato da quattro triangoli equilateri;

2] l'esaedro o cubo, formato da sei quadrati;

3] l'ottaedro, formato da otto triangoli equilateri;

4] l'icosaedro, formato da venti triangoli equilateri;

5] il dodecaedro, formato da dodici pentagoni regolari.

Di questi solidi, il tetraedro, il cubo e l'ottaedro compaiono in natura nella forma di certi cristalli.

Alcuni scheletri di radiolari prendono nome dalla forma del poliedro corrispondente, come il Circoporus octahedrus, la Circogonia icosahedra e la Circorhegma dodecaedra. Si conoscono inoltre oggetti dodecaedrici di origine celtica, e uno d'origine etrusca.

Il problema principale che si pose Euclide fu quello di costruire i cinque solidi, e di inscriverli in una sfera, ciò che implica il problema di determinare la relazione tra il lato del solido e il raggio della sfera.

Fin dall'antichità, i poliedri regolari erano stati considerati in chiave mistica, e Proclo ne attribuì la scoperta alla scuola pitagorica.

Anche in uno Scolio (di datazione incerta) al XIII libro degli Elementi, probabilmente tratto da uno scritto di Gemino (un matematico greco operante a Rodi, e vissuto probabilmente verso il 70 a.C.), si legge:

In questo libro si costruiscono i cosiddetti cinque corpi platonici, i quali però non sono dovuti a Platone, poiché tre di essi (il cubo, la piramide [tetraedro] e il dodecaedro) sono dovuti ai pitagorici, e l'ottaedro e l'icosaedro a Teeteto.

Si crede che sia quindi molto verosimile che il matematico Teeteto (414-369 a.C.), che era d'altronde amico di Platone, abbia studiato i poliedri regolari più a fondo degli altri matematici, e probabilmente la dimostrazione dell'esistenza di soli cinque poliedri regolari è dovuta a lui, come gli deve essere forse attribuito anche il merito di avere calcolato per primo i rapporti tra i lati dei poliedri e i raggi delle sfere circoscritte.

Molti sono gli studiosi della matematica greca, come per esempio l'inglese Sir Thomas L.Heath, a credere che i Pitagorici sapessero, quantomeno, assemblare praticamente i cinque solidi nello stesso modo in cui ce lo descrive Platone nel dialogo Timeo, cioé facendo convergere un certo numero di angoli di triangoli equilateri, di quadrati o di pentagoni regolari in un punto, così da formare un angolo solido, e completando poi tutti gli altri angoli solidi nello stesso modo.

Ecco quello che scrisse Platone nel Timeo:

Quando Dio prese a ordinare l'Universo, da principio il fuoco e l'acqua e la terra e l'aria (...) erano tuttavia in quello stato come conviene che sia ogni cosa dalla quale Dio è assente, (...) Dio le compose nel modo più bello e più buono che potesse, mentre prima non era così (...). Che fuoco e terra e acqua e aria siano corpi è chiaro a ognuno (...). Ora bisogna dire quali siano i quattro bellissimi corpi dissimili tra loro, dei quali alcuni sono capaci, dissolvendosi, di generarsi reciprocamente. E se lo scopriamo abbiamo la verità intorno all'origine della terra e del fuoco, e dei corpi visibili più belli di questi, che formano ciascuno un corpo a sé. Convien dunque di com- porre queste quattro specie di corpi insigni per bellezza e allora diremo d'aver compreso sufficientemente la loro natura.

Proprio perché Platone ne parla nel Timeo, questi poliedri furono chiamati anche solidi platonici, ma non tanto perché Platone ne avesse studiato a fondo proprietà e relazioni, quanto per il ruolo che egli assegnò ad essi nella sua concezione della materia e dell'universo.

Non possiamo, infatti, affermare che Platone fosse un matematico, anche se gli vennero attribuiti alcuni risultati specifici, come la formula (2n)²+(n²-1)²=(n²+1)², con n numero naturale qualsiasi, che fornisce terne pitagoriche, cioé le misure dei lati di triangoli rettangoli in numeri interi.

Platone fu, invece, certamente un grande appassionato della matematica e importante fu il suo ruolo di ispiratore e di guida di altri matematici. Non per nulla l'Accademia platonica di Atene divenne il centro mondiale della matematica, e da essa vennero fuori matematici significativi, come il famoso Eudosso di Cnido che fu per un certo periodo allievo di Platone, e che era destinato a diventare il più grande matematico e astronomo del suo tempo.

Ma torniamo al Timeo, che prende nome da quello di un pitagorico che nel dialogo è il principale interlocutore. In esso si trova la prima testimonianza precisa nell'associare i solidi regolari ai quattro elementi, fuoco, terra, aria ed acqua, che erano alla base della concezione dell'universo del filosofo agrigentino Empedocle. Precisamente, Platone attribuì la forma del cubo alla terra, perché più solida e meno mobile; al fuoco la forma del tetraedro, perché la più aguzza e la più mobile;

all'aria la forma dell'ottaedro, e all'acqua quella dell'icosaedro.

Egli scrisse:

Se quattro triangoli equilateri si compongono insieme, essi formano per ogni tre angoli piani un angolo solido, che viene subito dopo il più ottuso degli angoli piani. E di quattro angoli siffatti si compone la prima specie solida [cioè il tetraedro] che può dividere l'intera sfera in parti eguali e simili. La seconda specie, poi, [cioè l'ottaedro] si forma degli stessi triangoli, riuniti insieme in otto triangoli equilateri (...) e diciamo la seconda per generazione quella dell'aria (...) La terza specie è poi formata di centoventi triangoli solidi congiunti insieme e di dodici angoli solidi, è quella dell'acqua, l'icosaedro. Ma il triangolo isoscele generò la natura della quarta specie [l'esaedro] in modo da formare un tetragono equilatero (...) e la figura del corpo risultante divenne cubica (...) attribuendo questa forma alla Terra.

Per quanto riguarda il dodecaedro, l'unico accenno che ne fece Platone, sempre nel Timeo, fu il seguente:

Restando ancora soltanto una quinta combinazione, Dio se ne servì per ornare il Tutto.

Quindi, Platone attribuiva al dodecaedro un ruolo speciale, perché lo considerava il modello dell'universo, avendo ereditato in una certa misura il culto speciale che i Pitagorici avevano per questo poliedro.

Egli considerava il dodecaedro composto di 360 triangoli rettangoli scaleni. Infatti, se in ognuna delle facce pentagonali si tracciano le cinque diagonali e le cinque mediane, ciascuna di esse verrà a contenere 30 triangoli rattangoli.

Il grande filosofo aveva infatti una predilezione per il triangolo. Come si è visto dal passo precedente del Timeo, secondo la sua concezione, le facce dei poliedri regolari non erano semplici triangoli, quadrati e pentagoni. Così, per esempio, ciascuna delle quattro facce regolari del tetrae- dro si componeva di sei triangoli rettangoli più piccoli, formati dalle altezze delle facce triangolari equilatere. Pertanto egli immaginava che il tetraedro fosse composto di ventiquattro triangoli rettangoli in cui un cateto è la metà dell'ipotenusa.

In maniera analoga, l'ottaedro regolare conteneva 48 triangoli del genere; l'icosaedro ne conteneva 120, e infine l'esaedro 24 triangoli rettangoli isosceli.

Associando i poliedri regolari agli elementi dell'universo, Platone aveva fornito in realtà una bella teoria unitaria della materia, secondo la quale ogni cosa era composta di triangoli rettangoli ideali.

Comunque, anche se tale concezione viene testimoniata per la prima volta da Platone, è opinione della maggior parte degli studiosi della matematica greca che gran parte di essa si possa fare risalire anche agli stessi Pitagorici.

Lo stesso Proclo, nel suo Riassunto affermava:

Pitagora trasformò questo studio [la geometria] in una forma di insegnamento liberale, investigando dall'alto i suoi principi, e indagando i teoremi astrattamente e intellettualmente, egli scoprì il fatto degli irrazionali e la costruzione delle figure cosmiche [i poliedri regolari].

La storia dei poliedri ci conduce all'opera di Archimede.

A tal proposito, M.Emmer, nel suo libro La perfezione visibile, in cui analizza molte delle possibili relazioni tra la Matematica e l'Arte, scrive:

Se cinque sono (e sempre resteranno!) i poliedri regolari nello spazio a tre dimensioni, i matematici hanno cercato di spezzare questo numero attenuando le richieste di regolarità, cercando cioè di generalizzare le definizioni per ottenere nuove forme. Fu Archimede (287-212 a.C.) che per primo descrisse una nuova famiglia di poliedri, composta di tredici solidi chiamati semiregolari o archimedei. Un primo tentativo per superare il numero cinque.

I poliedri semiregolari o archimedei hanno facce regolari ma non congruenti, cioè le facce possono essere poligoni regolari di due o tre tipi diversi, mentre gli angoloidi sono irregolari ma non eguali tra loro. Quindi ogni vertice deve essere congruente a ogni altro vertice, cioè le facce devono essere disposte nello stesso ordine intorno a ciascun vertice.

Come si dimostra che esistono solo cinque poliedri regolari, analogamente si può dimostrare che esistono soltanto tredici solidi archimedei, i quali sono tutti inscrittibili in una sfera. Due di questi solidi, il cubottaedro e il rombicubottaedro, sono rappresentati in figura.

Il cubottaedro ha per facce 8 triangoli equilateri e 6 quadrati, e in ogni vertice concorrono 2 triangoli equilateri e 2 quadrati; il rombicubottaedro ha per facce 8 triangoli equilateri e 18 quadrati e in ogni vertice concorrono tre quadrati e un triangolo equilatero.

Infatti, in questi solidi archimedei ogni faccia è un poligono regolare, ma le facce non sono tutte dello stesso tipo, anche se devono essere disposte nello stesso ordine attorno a ciascun vertice.

Ma ai tempi di Euclide non esisteva il termine regolare, per cui per esprimere lo stesso concetto egli parla di poligoni equilateri ed equiangoli. Essa verrà applicata nella XIII, 17 per la co- struzione del decagono regolare.

Esaminiamo, ora, il modo in cui Euclide costruisce i poliedri, senza entrare, però, nei particolari delle sue dimostrazioni.

a) La costruzione del tetraedro Proposizione 13

Costruire una piramide in modo che risulti inscritta in una sfera di diametro dato, e dimostrare che il quadrato del diametro della sfera è una volta e mezzo il quadrato di uno spigolo della piramide.

La piramide di cui parla Euclide è il tetraedro regolare limitato da quattro triangoli equilateri.

Esaminiamo in breve come procede la sua costruzione. Riferendoci alla figura 14, se AB è il segmento assegnato come diametro della sfera, si consideri il semicerchio generatore della sfera.

D

A C B

Figura 14

Supponiamo che il tetraedro abbia un vertice in A, e che l'altezza che da A cade sulla faccia opposta (cioè sulla base del tetraedro) proceda lungo AB. Poiché essa è minore del diametro della sfera, supponiamo che sia AC. Per ragioni di simmetria, il punto C sarà anche il centro del cerchio che si otterrà intersecando la sfera con il piano che contiene la base del tetraedro. Quindi CD è il raggio del cerchio in cui è inscritta la base del poliedro, mentre AD ne sarà lo spigolo. Per eseguire, quindi, la costruzione basterà determinare opportunamente la posizione del punto C, imponendo la condizione che il triangolo di base risulti uguale agli altri triangoli. Ebbene, Euclide dimostra che la posizione del punto C deve trovarsi a due terzi di AB, ovvero che AC=2·CB.

Egli dimostra pure che AB²=3/2·AD², cioè che il quadrato del diametro della sfera è una volta e mezzo il quadrato dello spigolo del tetraedro regolare inscritto. Infatti, dal triangolo ADB, della figura 14, si ha di seguito: AD²=AB·AC=AB·2/3AB=2/3·AB², da cui si ricava: AB²=3/2·AD2.

Nella figura 15 è rappresentato il tetraedro inscritto nella sfera.

Figura 15

b) La costruzione dell'esaedro Proposizione 15

Costruire un cubo inscrivendolo in una sfera di diametro dato, come si è fatto per la piramide, e dimostrare che il quadrato del diametro della sfera è il triplo del diametro dello spigolo del cubo.

Ecco come procede Euclide nella costruzione dell'esaedro. Con riferimento alla figura 16, egli dimostra che la diagonale AC è il triplo del quadrato dello spigolo AE del cubo. Ciò viene provato applicando il teorema di Pitagora una prima volta al triangolo rettangolo isoscele BDC, e una seconda volta al triangolo rettangolo ABC, come si può verificare.

A B

D C

E

Figura 16

Con riferimento ora alla figura 17, sia ABD il semicerchio generatore della sfera.

A

D

C B

Figura 17

Si supponga che, come per la costruzione del tetraedro, sia AC=2CB, cioè AB=3CB. Se si considera il quadrato del lato DB del triangolo rettangolo ABD, allora si ha: DB2=AB·CB=AB·(1/3AB)=1/3AB2, cioè il quadrato di DB è la terza parte del quadrato del diametro AB della sfera circoscritta; quindi DB è lo spigolo del cubo richiesto. La figura 18 mostra l'esaedro inscritto nella sfera.

Figura 18

È interessante notare che in natura la forma cubica si osserva, per esempio, nei cristalli di sale NaCl. Inoltre, se si interseca un cubo con un piano che biseca una diagonale e che è perpendicolare ad essa, si ottiene come sezione un esagono regolare.

c) La costruzione dell'ottaedro Proposizione 14

Costruire un ottaedro e inscriverlo in una sfera di diametro dato, come si è fatto prima, e dimostrare che il quadrato del diametro della sfera è il doppio di quello dello spigolo dell'ottaedro.

Ricordiamo che l'ottaedro regolare ha otto facce triangolari equilatere tutte uguali tra loro, e che ne concorrono quattro in ogni vertice.

Se si considerano i quattro triangoli che concorrono in un vertice, le loro basi formano un quadrangolo che, per la simmetria della figura, sarà un quadrato. Sempre per la simmetria, il piano di questo quadrato dividerà a metà la congiungente i due vertici dell'ottaedro; cioè il piano del quadrato passerà per il centro della sfera.

Se ADB è il semicerchio generatore della sfera (fig. 19), per costruire il poliedro, basterà prendere il punto medio C del diametro AB, condurre la perpendicolare CD ad AB, congiungere D con A e con B: allora CD è la sezione del semicerchio con il piano del quadrato; AD e DB saranno spigoli dell'ottaedro.

A

D

C B

Figura 19

Inoltre, poichè il triangolo ADB è rettangolo e isoscele, si ha: AB²=2·AD². Nella figura 20 è rappresentato l'ottaedro inscritto nella sfera.

Figura 20

d) La costruzione dell'icosaedro Proposizione 16

Costruire un icosaedro inscrivendolo in una sfera di diametro dato, come si è fatto per le figure indicate prima, e dimostrare che il lato dell'icosaedro è la retta irrazionale che si chiama minore (rispetto al diametro della sfera assunto come retta razionale).

Figura 21 A

B X

Y

Consideriamo due vertici opposti dell'icosaedro (fig. 21), come A e B. Se tagliamo la congiungente AB con due piani perpendicolari ad essa, otterremo due pentagoni regolari uguali.

Congiungendo i vertici di questi due pentagoni con A e B, si otterranno 10 facce triangolari del- l'icosaedro; le altre 10 si avranno congiungendo ciascun vertice del primo pentagono con due determinati vertici consecutivi del secondo, e così pure ciascun vertice del secondo pentagono con due vertici consecutivi del primo.

Affinché questa costruzione sia valida, cioè affinché tutti i triangoli siano uguali tra loro, è necessario determinare opportunamente i punti X e Y, che sono i centri di simmetria dei due pentagoni, nonché dei cerchi in cui i pentagoni sono inscritti.

Per fare ciò Euclide considera la figura 22, in cui AB è il diametro della sfera data.

D

C

A B

Figura 22

Egli divide AB in cinque parti uguali, e sia CB una di esse. Tracciato CD, Euclide assume l'ipotenusa DB come raggio dei cerchi in cui si inscrivono i pentagoni regolari di cui abbiamo parlato prima. Si ha allora:

DB² = AB · CB = AB· 1

5 AB = 1 5 AB²

Inoltre, data la simmetria della figura, si ha (fig. 21) che XY=DB, cioè XY è uguale al raggio dell'esagono regolare inscritto nel cerchio. Euclide dimostra poi che AX=YB è il lato del decagono regolare inscritto nello stesso cerchio.

Infine, dimostra che se il diametro della sfera è razionale, allora lo spigolo dell'icosaedro regolare inscritto in essa è la retta irrazionale detta minore, cioé un segmento la cui lunghezza, espressa in notazione moderna, vale (r- s).

e) La costruzione del dodecaedro

Proposizione 17

Costruire un dodecaedro inscrivendolo in una sfera, come si è fatto per le figure indicate prima, e dimostrare che lo spigolo del dodecaedro è la retta irrazionale che si chiama apòtome.

Anche se la dimostrazione della proposizione è molto complicata, il procedimento costruttivo è semplice.

Infatti, Euclide considera il cubo inscritto nella sfera data, e costruisce un pentagono regolare che abbia la diagonale uguale allo spigolo del cubo. Questo pentagono è una delle facce del dodecaedro richiesto.

Viene dimostrato poi che lo spigolo del dodecaedro è la parte aurea dello spigolo del cubo, ed inoltre che esso è una apòtome.

In figura 23 è rappresentato il dodecaedro inscritto nella sfera.

Figura 23

Proposizione 18

Trovare gli spigoli delle cinque figure e paragonarli tra loro.

Questa è la proposizione finale degli Elementi di Euclide, quella che corona il suo lungo viaggio attraverso le forme della geometria.

Figura 24

Riferiamoci alla figura 24, in cui il semicerchio AEB, con la sua rotazione attorno al diametro AB, genera la sfera nella quale devono essere inscritti tutti e cinque i poliedri regolari.

Se C è il centro della sfera e AD è il doppio di DB, si tracciano le perpendicolari CE e DF al diametro, e si congiungono E ed F con A e con B. Allora, in base alla proposizione 13, AF è l o spigolo del tetraedro inscritto nella sfera; in base alla proposizione 15, FB è l o s p i g o l o d e l cubo inscritto, mentre, in base alla proposizione 14, EB risulta lo spigolo dell'ottaedro rego- lare inscritto. Poiché, in base alla proposizione 17, lo spigolo del dodecaedro regolare è la parte

aurea dello spigolo del cubo, cioè di FB, basterà allora dividere FB in media ed estrema ragione e così si determinerà il segmento NB, che è lo spigolo del dodecaedro.

Infine, per quanto riguarda lo spigolo dell'icosaedro regolare, Euclide conduce innanzitutto la tangente AG al semicerchio, con AG=AB, e congiunge G con C. Sia H il punto d'incontro tra GC e il semicerchio, ed HK la perpendicolare ad AB. Pone CL=KC, e da L innalza la perpendicolare LM.

Dimostra quindi che KL è, in base alla proposizione 16, il raggio del cerchio, come dice egli stesso,

«sul quale è stato costruito l'icosaedro», e che MB è lo spigolo dell'icosaedro cercato.

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Bibliografia essenziale

1] R. Courant, H. Robbins, Che cos'è la Matematica? (Seconda edizione riveduta da Ian Stewart), Universale Bollati Boringhieri, 2000.

2] R.H. Fischler, A Mathematical History of the Golden Number, Dover Publications, Inc., 1998.

3] G. E. Martin, Geometric Constructions, Springer-Verlag, 1998.

4] A. Scimone, La sezione aurea. Storia culturale di un Leitmotiv della Matematica, Sigma Edizioni, 1997.