= m ' = IR aR − RA = I = ma A − W sin N − W cos = 0 Compito di fisica I. 11 luglio 2011

Compito di fisica I. 11 luglio 2011 Meccanica

Una ruota di massa M, raggio R e momento d’inerzia I sale senza strisciare sotto l’azione di un momento motore τm lungo un piano, inclinato di un angolo θ rispetto all’orizzontale.

Detto A l’attrito con il suolo, determinare:

a. l’accelerazione del CM della ruota;

b. detto µs il coefficiente di attrito statico con il suolo, il massimo valore del momento motore per cui si ha rotolamento puro.

c. La ruota arriva su un tratto di strada innevato (il momento sia ancora τm), in cui il

coefficiente di attrito statico e` minore, e comincia a slittare. Si determini l’accelerazione del CM della ruota.

Soluzione

a) Applichiamo le eqq. cardinali:

N − W cos θ = 0 A − W sin θ = ma τ − RA = I α

e la condizione di rotolamento:

α

Questo è un sistema di 4 eqq. nelle incognite N, A, a, α, la cui soluzione, posto m'= I R² è

N = W cos θ a = τ

− RW sin θ

R m + m' ( )

A = m

m + m' ( m'gsin θ + τ

R )

b) il massimo momento si ha in corrispondenza del massimo valore d’attrito statico A ≤

µ

[

(

)

]

c) Le eqq. cardinali sono le stesse di prima, ma la forza d’attrito è di tipo dinamico: A =

µ

a = g

(

)

Gravitazione

E` possibile stabilire se una cometa e` un membro permanente o temporaneo del sistema solare misurandone la velocita` e la distanza r dal Sole? Giustificare la risposta.

Soluzione

Affinche’ la cometa sia un membro permanente del sistema solare basta che la sua energia meccanica totale sia minore di zero:

2 0

1

− <

= r

mv GMm E

Dividendo per la massa incognita della cometa otteniamo

2 0

1

− <

r v GM

Ovvero

rv

< 2 GM

Quindi la conoscenza di v ed r e` sufficiente per rispondere affermativamente alla domanda.

In realta` bisognerebbe ragionare sulla particella fittizia di massa ridotta µ. La condizione di appartenenza al sistema e` ora

2 0

1

− <

= r

v GMm E µ

Ove µ e v sono le grandezze relative alla massa ridotta.

La relazione tra particella fittizia e cometa, per quanto riguarda la velocita`, e` la seguente:

m v M v

M

= +

Introdotta questa relazione, e quella della massa ridotta, nella condizione di appartenenza, otteniamo

m GM M

G M

rv

2 2

2

2

≈

< +

Ora si pone il problema che bisogna conoscere la massa della cometa per poter rispondere alla domanda, ma possiamo notare che il risultato coincide praticamente con quello ricavato

precedentemente, visto che la massa della cometa (incognita) e` molto minore di quella del Sole. E`

proprio la disparita` tra queste masse che ci ha permesso fin dall’inizio di confondere la cometa con la particella fittizia.

Termodinamica

Una massa di ghiaccio M a temperatura t1=-20 C e` posto in un termostato ideale a temperatura t2=20 C.

Supposto che la trasformazione avvenga alla pressione atmosferica esterna e supposti noti i calori specifici in funzione della temperatura, calcolare:

a. La variazione di entropia del ghiaccio e dell’acqua che ne risulta dalla fusione, una volta raggiunta lo stato di equilibrio finale;

b. La variazione di entropia del termostato (si tenga presente che i calori scambiati nelle

trasformazioni isobare irreversibili sono uguali a quelli delle corrispondenti trasformazioni reversibili).

Soluzione

a) Dividiamo la trasformazione in tre parti: T1, riscaldamento del ghiaccio da t1 a t0 = 0°C; T2, fusione del ghiaccio a t0; T3, riscaldamento dell’acqua di fusione da t0 a t2. Per il calcolo dell’entropia

immaginiamo una trasformazione T1 isobara, una T2 isobara e isoterma, una T3 di nuovo isobara, tutte reversibili. La variazione dell’entropia è:

∆S₁= Mc_p^S

( )

T₁ T₀

∫

∆S₂ = Mq

T₀ ∆S₃ = Mc_p^L

( )

T₀ T₂

∫

Ove q e` il calore latente di fusione, le temperature sono espresse in kelvin e gli apici dei calori specifici si riferiscono al ghiaccio (S) e all’acqua (L).

b) L’entropia del termostato si calcola immaginando che il calore effettivamente scambiato con il sistema sia scambiato in modo isotermo reversibile alla temperatura del termostato:

∆S₁^amb =−Q₁ T₂ = − 1

T₂ Mc_p^S

( )

T₁ T₀

∫

2

∆S₃^amb =−Q₃ T₂ = − 1

T₂ Mc_p^L

( )

T₀ T₂

∫

i segni meno significano che il termostato cede calore al sistema.

Elettricita`

Una sfera cava conduttrice di raggi R2 , R3 e carica netta negativa Q’ contiene una seconda sfera conduttrice di raggio R1 e carica netta positiva Q. Per fissare le idee, si ponga , ad es., Q>| Q’|.

Determinare:

a. le cariche Q2 , Q3 presenti sulla superficie interna (S2) ed esterna (S3) della sfera maggiore (suggerimento: scrivere l’espressione del campo elettrico nella carne del conduttore esterno in funzione delle cariche e imporre la condizione di staticita`);

b. il campo elettrico in tutto lo spazio;

c. l’energia elettrostatica del sistema.

Soluzione

a) Vale la relazione

Q

+ Q

= Q '

Inoltre il campo elettrico nello spessore della sfera maggiore dev’essere nullo. Per il principio di sovrapposizione questo campo e` dato dalla somma dei campi dovuti alla sfera interna e alla superficie S2:

2 2 2 2

1

r

k Q r k Q E E

E = + = +

L’annullarsi del campo comporta

Q

= − Q

Q

= ' Q + Q

b) Il campo elettrico vale

( )

( ) ^{ } _

 





 



 





<

+

<

<

<

<

<

=

r R r

Q Q

R r R

R r R r

Q

R r r

E

3 2

3 2

2 1

2

1

0

...

' . ...

0

...

...

...

0

4

1

πε

c) L’energia elettrostatica e` la somma di quella relativa al capacitore formato dalle superfici S1, S2 e quello formato dalla superficie S3 e l’infinito:

( ) ( ) _



 



   + +

 



 −

+ = +

= +

=

∞

∞

3 2

2 1 2

0 3

2

12 2

3 12

' 1 1

1 8

1 '

2 1 2

1

Q R R Q

Q R C

Q Q C

U Q U

U πε

Magnetismo

1) E` dato un filo rettilineo di raggio p, percorso dalla corrente i. Una superficie semicilindrica di raggio R e altezza H e` posta rispetto al filo come in figura: il filo si trova sul diametro del semicerchio a distanza minima a dalla superficie.

Calcolare il flusso del campo magnetico del filo attraverso la superficie (suggerimento: applicare la legge di Gauss per il campo magnetico).

2) Una spira quadrata ABCD di lato L, giace in un piano perpendicolare ad un filo rettilineo percorsa da corrente i. Il centro della spira giace sul filo.

Trovare l’integrale di linea del campo magnetico del filo sul lato AB.

Soluzione

1) Tutte le linee di campo interne ad un cilindro di raggio a ed asse coincidente con il filo

(evidenziato in giallo nella figura seguente) danno contributo nullo al flusso, in quanto non intersecano la superficie.

Si puo` quindi notare che le linee che intersecano la superficie semicilindrica AC intersecano anche il rettangolo con base BC. Applicando la legge di Gauss del campo magnetico alla superficie formata dalle superfici semicilindriche AC, AB e il rettangolo BC, otteniamo

( ) = _∫ ⋅ = _∫ ⋅ + _∫ ⋅ + _∫ ⋅ Φ

BC AB

AC S

A d B A d B A d B A d B

B        

Il primo membro e` nullo per la legge di Gauss. Nel secondo membro il secondo termine e` nullo per quanto detto inizialmente. Ne segue:

∫

∫ ^{⋅ = − ⋅}

BC AC

A d B A

d

B    

Con riferimento all’orientazione scelta della superficie, il secondo membro e` positivo e vale

a a Hi R

r Hdr A i

d B

a R

a BC

= −

=

⋅

− ∫ ^{ }

∫

₂ ^µ _π

₂ ^µ _π

^{log 2}

2) Applicando la legge di Ampère, la circuitazione lungo tutto il quadrato vale µ0i . Per simmetria ogni lato contribuisce allo stesso modo alla circuitazione, quindi l’integrale di linea lungo un lato vale

0

i

4

1 µ