Ciascun passeggero ha probabilità p di non presentarsi

Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ing. Informatica e dell’Automazione

8/2/2011

Esercizio 1. Una compagnia aerea ha 30 posti su un velivolo e vende 31 biglietti sperando nelle rinunce. Ciascun passeggero ha probabilità p di non presentarsi.

i) Supponiamo p = 0:05. Con che probabilità va tutto bene per la com- pagni aerea?

ii) Supponiamo che, a causa di un incidente aereo dei giorni precedenti, i singoli passeggeri restino a casa con probabilità p = 0:3. Con che probabilità ci saranno almeno 10 posto liberi?

Esercizio 2. Siano X1; :::; X₁₀₀ delle gaussiane indipendenti, N (1; 1) . i) Calcolare P ^X1+:::+X₁₀₀ ¹⁰⁰ > 1 .

ii) Calcolare il numero tale che

P (X₁+ ::: + X₁₀₀ > ) = 0:95:

Esercizio 3. Si consideri la funzione f (x) nulla per x < 1, pari a C (x + 1) ¹e ^(x+1) per x > 1, con > 0parametro reale e C constante, dipendente da , da determinare.

i) Calcolare C in modo che essa sia una densità di probabilità.

ii) Per = 1, calcolare E (X + 1)² .

iii) Detta X una v.a. avente la densità assegnata sopra ( > 0 qualsiasi), trovare la funzione di ripartizione FY (t) di Y =p

X + 1, per t > 0.

iv) Calcolare P (X < Z), dove Z è una v.a. di Bernoulli simmetrica (p = ¹₂), indipendente da X.

Esercizio 4. Due giocatori giocano nel seguente modo: uno dei due inizia lanciando un comune dado a 6 facce.

–Se ottiene un 1, vince la partita, e il gioco termina;

–se ottiene un numero pari, tira nuovamente il dado;

–se ottiene 3 o 5, passa il dado all’altro giocatore, che continua il gioco con le stesse regole.

a) Modellizzare questo gioco con una catena di Markov, disegnarne il grafo, scriverne la matrice di transizione e classi…carne gli stati.

b) Qual è la probabilità che il giocatore che inizia il gioco perda?

c) Determinare tutte le distribuzioni stazionarie della catena.

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1 Soluzioni

Esercizio 1. Indichiamo con Xi, i = 1; :::; 31 delle Bernoulli di parametro p, indipendenti; Xi vale 1 se il passeggero i-esimo non si presenta. Detta S la loro somma, che è il numero di rinunce, S è una B (21; p).

i) Dobbiamo calcolare, per p = 0:05,

P (S 1) = 1 P (S = 0) = 1 (1 0:05)³¹= 0:796:

ii) Dobbiamo calcolare, per p = 0:3,

P (S 11) = 1 P (S 10)

quindi applichiamo il TLC con la correzione di continuità (non necessaria per gli studenti 2010/11) a 10:5:

1 10:5 31 0:3

p31 0:3 0:7 = 1 (0:470 32) = 1 0:6808 = 0:319 2:

Esercizio 2. i) Per un noto teorema sulle gaussiane, Y = ^X1+:::+X₁₀₀ ¹⁰⁰ è gaussiana. La media è 1, la varianza è _n² = ₁₀₀¹ . Dobbiamo quindi calcolare P (Y > 1) dove Y è N 1;₁₀₀¹ . Vale ovviamente P (Y > 1) = 0:5 (1 è la media e mediana).

ii) La v.a. S = X1+:::+X₁₀₀è una N (100; 100). Quindi P (S ) = 0:05 equivale a (o direttamente se è noto oppure con alcuni passaggi)

= 100 +p

100 q_0:05= 83:55:

Esercizio 3. L’esercizio è simile ad uno già dato, per cui verranno solo riportati pochi dettagli.

i) C = . ii)

E (X + 1)² = Z ₁

1

(x + 1)²e ^(x+1)dx = Z ₁

0

t²e ^tdt

che si può fare o per parti oppure tramite risultati noti delle v.a. esponenziali (è il momento secondo). Il risultato è E (X + 1)² = 2.

iii)

F_X(x) = 1 e ^(x+1)

2

F_Y (t) = P p

X + 1 t = P X + 1 t² = F_X t² 1 = 1 e ^t2 : iv) Per la formula di fattorizzazione,

P (X < Z) = 1

2(P (X < 0) + P (X < 1)) = 1

2(FX(0) + FX(1)) = 1

2 2 e ¹ e ² : Esercizio 4. a) Possiamo de…nire la catena di Markov su E = f1; 2; 3; 4g,

dove con lo stato 1 (risp. 2) indichiamo il caso in cui tocca lanciare al primo (risp. secondo) giocatore e con 3 (risp. 4) il caso in cui il primo (risp. secondo) giocatore ha vinto. Le probabilità di transizione si ottengono ricordando che, nel lancio di un dado, la probabilità di uscita di un numero dispari è 1/2, la probabilità di uscita del 6 è 1/6 e la probabilità dell’evento

“esce 2 o 4” è 1/3. La matrice di transizione è la seguente:

P = 0 BB

@

1 2

1 3

1 6 0

1 3

1 2 0 ¹₆ 0 0 1 0 0 0 0 1

1 CC A :

1 e 2 comunicano fra loro; 1 comunica con 3, ma da 3 si può solo restare in 3; 2 comunica con 4, ma da 4 si può solo restare in 4. di conseguenza f1; 2g è una classe irriducibile di stati (transitori).

1 comunica con 3, ma 3 non comunica con 1, quindi f3g è una classe ir- riducibile di stati (e 1 è transitorio, 3 è assorbente).

2 comunica con 4, ma 4 non comunica con 2, quindi f4g è un’altra classe irriducibile di stati (e 2 è transitorio, 4 è assorbente). 3 e 4 non comunicano fra loro. Quindi E = f1; 2g [ f3g [ f4g.

b) Bisogna calcolare la probabilità 2 di arrivare nello stato 4 partendo da 1. Per poter svolgere questo calcolo, bisogna considerare l’insieme degli stati transitori. Quindi si ha

(

1 = p₁₃+ p_{11 1}+ p_{12 2}

2 = p₂₃+ p_{21 1}+ p_{22 2} , da cui (

1 = ¹₆ +¹_{2 1}+¹_{3 2}

2 = 0 + ¹_{3 1}+¹_{2 2} , cioè

(3 1 2 2 = 1

2 1 3 2 = 0 che ha per soluzione 1 = 3

5, 2 = 2

5. La probabilità richiesta è 2/5.

c) Relativamente alla classe irriducibile formata dallo stato assorbente 3 (risp.

4) abbiamo la misura invariante (0; 0; 1; 0) (risp. (0; 0; 0; 1)). Gli stati tran- sitori hanno massa invariante nulla. Quindi tutte le misure invarianti sono

3

della forma

(0; 0; 1; 0) + (1 ) (0; 0; 0; 1) = (0; 0; ; (1 )) con 2 [0; 1].

4