Teorema della derivata nulla

Teorema della derivata nulla

Sia f continua e derivabile su un intervallo I . Sia f

(x ) = 0 ∀x ∈ I , allora f ` e costante in I .

Dimostrazione. Dimostrare che f ` e costante su I equivale a dimostrare che f (x

) = f (x

), ∀x

, x

∈ I .

Dimostriamo per assurdo: ¬Q ⇒ ¬P.

Negare la tesi equivale a dire che ∃x

, x

∈ I : f (x

) 6= f (x

).

Applichiamo il teorema di Lagrange (f soddisfa le ipotesi del thm di Lagrange sull’intervallo [x

, x

] ⊂ I ), otteniamo che esiste c ∈ (x

, x

) tale che

f

(c) = f (x

) − f (x

)

x

− x

6= 0

che contraddice l’ipotesi.

Teorema di de l’Hˆ opital

Siano f e g due funzioni definite in un intorno di x

, tranne al pi´ u nel punto x

, e tali che

x →x

lim

f (x ) = lim

x →x0

g (x ) = L con L = 0 o L = ±∞.

Se f e g sono derivabili nell’intorno di x

, tranne eventualmente in x

, con g

6= 0, e se esiste (finito o infinito) il limite

x →x

lim

f

(x ) g

(x )

allora esiste anche

x →x

lim

f (x )

g (x ) e lim

x →x0

f (x ) g (x ) = lim

x →x0

f

(x ) g

(x ) .

Es. lim x →0

e^2x− e^−2x

sin(5x ) (OK) lim

x →+∞

x + sin(x ) 3x − cos(x )(NO)

©Paola Gervasio (UniBS) - Analisi Matematica 1 Calcolo differenziale cap6c.pdf 2

Vediamo se possiamo applicare de l’Hˆ opital a lim

x →+∞

x + sin(x ) 3x − cos(x ) . 1) lim

x →+∞

(x + sin(x )) = +∞, lim

x →+∞

(3x − cos(x )) = +∞

2) f (x ) = x + sin(x ) e g (x ) = 3x − cos(x ) sono derivabili su tutto R 3) ∃ lim

x →+∞

f

(x )

g

(x ) = lim

x →+∞

1 + cos(x )

3 + sin(x ) ? NO

Allora de l’Hˆ opital non pu` o essere applicato perch` e manca un’ipotesi.

Non abbiamo soluzione del limite dato usando questo teorema.

Questo non vuol dire che non esiste il limite dato.

Infatti: lim

x →+∞

x + sin(x )

3x − cos(x ) = lim

x →+∞

x (1 + sin(x )/x ) x (3 − cos(x )/x ) = 1

3

50 100 150 200 250 300 350 400

0.315 0.32 0.325 0.33 0.335 0.34 0.345 0.35 0.355

f (x)/g(x)

x

y

50 100 150 200 250 300 350 400

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0.8 ^f

′(x)/g^′(x)

x

y

x →+∞

lim f (x ) g (x ) = 1

3 , lim

x →+∞

f

(x )

g

(x ) =6 ∃

Abbiamo visto le definizioni:

f

(x

) = lim

x →x₀⁻

f (x ) − f (x

) x − x

e f

(x

) = lim

x →x₀⁺

f (x ) − f (x

) x − x

Il seguente teorema fornisce un criterio per valutare derivata destra e sinistra in maniera alternativa sfruttando l’espressione di f

(x ).

TEOREMA DEL LIMITE DELLA DERIVATA

Sia f una funzione definita e continua in I (x

) e derivabile in I (x

) tranne eventualmente in x

.

Se esiste (finito o infinito) `

= lim

x →x₀⁺

f

(x ), allora esiste anche la derivata destra f

(x

) in x

e si ha f

(x

) = `

= lim

x →x₀⁺

f

(x ).

Se esiste (finito o infinito) `

= lim

x →x₀⁻

f

(x ), allora esiste anche la derivata sinistra f

(x

) in x

e si ha f

(x

) = `

= lim

x →x₀⁻

f

(x ).

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Dimostrazione.

La dimostrazione del teorema segue dal teorema di de l’Hˆ opital:

f

(x

) := lim

x →x₀⁺

f (x ) − f (x

) x − x

(H)

= lim

x →x₀⁺

f

(x )

1 = lim

x →x₀⁺

f

(x ).

A PATTO CHE ESISTA lim

x →x₀⁺

f

(x )

f

(x

) := lim

x →x₀⁻

f (x ) − f (x

) x − x

(H)

= lim

x →x₀⁻

f

(x )

1 = lim

x →x₀⁻

f

(x ).

A PATTO CHE ESISTA lim

x →x₀⁻

f

(x ) 

Derivate di ordine superiore

In maniera analoga a quanto fatto per la derivata seconda, si pu` o definire la derivata terza di f in x

, se esiste, come la derivata prima in x

della derivata seconda di f :

f

(x

) := (f

)

(x

)

ed in generale, per k ≥ 1, la la derivata di ordine k di f in x

` e f

(x

) := (f

)

(x

).

Per definizione si pone f

(x

) := f (x

), ovvero la derivata di ordine zero di una funzione ` e la funzione stessa.

Es. f (x ) = x 2 + 3

2x f

(x ) = 1 2 + 3

2 ·



− 1 x



= 1 2 − 3

2 x

f

(x ) = − 3

2 · (−2)x

= 3x

, f

(x ) = f

(x ) = 3 · (−3)x

= − 9

x

.

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Def. Una funzione f si dice di classe C

(con k ≥ 0) su un intervallo I, se essa ` e derivabile k volte in I e se la funzione derivata k−sima di f (f

(x )) ` e un funzione continua su I . L’insieme delle funzioni di classe C

su I ` e denotato con C

(I ).

C

(I ) ` e l’insieme delle funzioni che sono derivabili un numero arbitrario (∞) di volte su I .

Es. f (x ) = e

, f

(x ) = e

, k = 1, 2, ...

Qualunque sia k, la derivata f

(x ) coincide con f che ` e una funzione continua su R, quindi f ∈ C

(R) .

Es. f (x ) = √

x , I = [0, +∞): f ∈ C

(I ): in x = 0 f ` e

definita, continua, ma non derivabile.

Esempi

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f (x ) discontinua, ‘a scala’ f (x ) continua, con un punto angoloso

f (x ) continua e derivabile

f derivabile in I e f ∈ C ¹ (I )

Sia I ⊆ dom(f ).

f derivabile in I ⇐⇒ ∃f

(x ) ∈ R ∀x ∈ I

f ∈ C

(I ) ⇐⇒ f derivabile in I e f

(x ) ` e continua in I Esercizio.

Calcolare la derivata di

f (x ) =

( x

sin

+ x se x 6= 0

0 se x = 0

e dire se f ∈ C

sul suo dominio.

Svolgimento.

1

Verifico che f ` e continua su tutto R.

2

Calcolo f

(0) e f

(0) e guardo se coincidono.

Se la risposta ` e affermativa, allora ∃f

(0) = f

(0) = f

(0).

3

Calcolo f

(x ) con le regole di derivazione per tutti gli x 6= 0 Trovo:

f

(x ) =

( 2x sin

− cos

+ 1 se x 6= 0

1 se x = 0

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Ora controllo se f

(x ) ` e una funzione continua in x = 0, come abbiamo sempre fatto:

1

calcolo lim

f

(x ),

2

calcolo lim

f

(x ),

3

confronto con f

(0)

4

stabilisco se f

(x ) ` e continua in 0 o no.

La funzione f

(x ) risulta discontinua in x = 0 e presenta un punto di discontinuit` a di seconda specie.

Tuttavia esiste finita la derivata prima in ogni x ∈ R, cio`e f `e derivabile su R

Questo ` e un esempio di funzione f derivabile su tutto R, ma

f 6∈ C

(R).

-1 -0.5 0 0.5 1 x

-2 -1 0 1 2

f(x)

f (x )

-1 -0.5 0 0.5 1

x -0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

f'(x)

f

(x )

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