nu , ∀u ∈ [0, t

I Appello di Analisi Stocastica Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

17 marzo 2009 Matricola:

Esercizio 1. Sia {B_t}_t∈[0,∞) un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilit`a (Ω, F , P). Per n ∈ N e s, t > 0 fissati, introduciamo i seguenti eventi:

A := u 7→ B_u `e derivabile in u = 0

=



∃ lim

u↓0

B_u

u ∈ (−∞, +∞)

 , C_n,s := |B_s| ≤ ns , D_n,t := |B_u| ≤ nu , ∀u ∈ [0, t] .

Per questo esercizio non `e possibile utilizzare n´e la legge del logaritmo iterato, n´e la non differenziabilit`a delle traiettorie del moto browniano.

(a) Si mostri che, per ogni n ∈ N fissato, si ha P(Cn,s) → 0 per s ↓ 0 .

Facoltativo: si mostri che in effetti P(Cn,s)/(2n√

s) → 1/√

2π per s ↓ 0 (con n fissato).

(b) Si spieghi perch´e per ogni s ≤ t vale l’inclusione di eventi Dn,t ⊆ C_n,s. (c) Si deduca che P(D_n,t) = 0, per ogni n ∈ N e t > 0 .

(d) (*) Si spieghi perch´e vale l’inclusione di eventi A ⊆ S

n,k∈N D_{n, 1/k}. (e) Si mostri che P(A) = 0 .

Soluzione 1. (a) Per l’invarianza di scala del moto browniano P(Cn,s) = P |B_s|

√s ≤ n√ s



= P |B1| ≤ n√ s
. Quindi, per n fissato, lims↓0P (|B1| ≤ n√

s) = P(B1= 0) = 0, per la continuit`a dall’alto della probabilit`a. Dato che P (|B₁| ≤ n√

s) = ^√1

2π

Rn√ s

−n√

se^−x2/2 e la funzione x 7→ e^−x2/2

`e continua in x = 0, per il teorema fondamentale del calcolo si ha che per s ↓ 0 P(C_n,s)

2n√

s = 1

√2π

 1

2n√ s

Z n√ s

−n√ s

e^−x2/2dx



−→ 1

√2πe^−x2/2

x=0 = 1

√2π .

(b) Se ω ∈ Dn,t, per definizione si ha |Bu(ω)| ≤ nu per ogni u ∈ [0, t]. In particolare, per s ≤ t si ha |Bs(ω)| ≤ ns, quindi ω ∈ Cn,s. Questo mostra che Dn,t⊆ C_n,s.

(c) Per il punto (b) si ha D_n,t⊆ C_n,se dunque P(D_n,t) ≤ P(C_n,s), per ogni 0 < s ≤ t. Quindi P(Dn,t) ≤ lim_s↓0P(Cn,s) = 0, per il punto (a). Dato che chiaramente P(Dn,t) ≥ 0, segue che P(D_n,t) = 0.

(d) Prendiamo ω ∈ Ω tale che la funzione t 7→ Bt(ω) sia derivabile in zero, con derivata prima c, cio`e B_t(ω)/t → c per t ↓ 0. Per definizione di limite, esiste t₀ = t₀(ω) tale che

|B_t(ω)/t| ≤ 2c per ogni 0 < t ≤ t0. Scegliendo k ≥ 1/t0 e n ≥ 2c, si ha dunque che ω ∈ D_n,k, e l’inclusione `e verificata.

(e) Usando la subattitivit`a della probabilit`a e i due punti precedenti si ottiene

P(A) ≤ X

n,k∈N

P(D_{n, 1/k}) = 0 .

Esercizio 2. Sia (Ω, F , {F_t}_{t∈[0,T ]}, P) uno spazio filtrato standard, su cui sono definiti un {F_t}_{t∈[0,T ]}-moto browniano reale B = {B_t}_{t∈[0,T ]} e un processo continuo e adattato X = {X_t}_{t∈[0,T ]} che risolve la seguente equazione differenziale stocastica:

(dX_t = cos(X_t) dB_t − cos²(X_t) dt

X₀ = 0 .

(a) Si mostri che X `e l’unica soluzione forte dell’equazione (a meno di indistinguibilit`a).

Introduciamo il processo Z = {Zt}_{t∈[0,T ]} definito da Zt:= e^βXt, per β ∈ R.

(b) Si mostri che Z `e un processo di Itˆo e se ne scriva il differenziale stocastico.

(c) Si determini per quali valori di β ∈ R il processo Z `e una martingala locale.

Fissiamo ora β tra i valori determinati al punto (c).

(d) Assumendo che Z ∈ M²[0, T ], si mostri che Z `e una martingala di quadrato integrabile.

(e) (*) Si mostri che effettivamente Z ∈ M²[0, T ].

Sugg.: Ponendo τn:= inf{s ≥ 0 : |Zs| ≥ n}, si mostri che E(Z_t∧τ²

n) ≤ a+bR_t

0 E(Z_s∧τ² _n) ds, per opportuni a, b ≥ 0; si deduca quindi dal Lemma di Gronwall una stima esplicita su E(RT

0 Z_t∧τ² _ndt) che non dipende da n, e si concluda opportunamente.

Soluzione 2. (a) Basta verificare che le funzioni b(x) := cos(x) e σ(x) := − cos²(x) sod- disfano le ipotesi standard per l’esistenza e unicit`a di soluzioni forti. Per il teorema di Lagrange, per x < y

|b(x) − b(y)| =    

Z y x

b⁰(z) dz    

=    

Z y x

sin(z) dz    

≤ Z y

x

| sin(z)| dz ≤ |y − x| ,

e analogamente per σ, poich´e |σ⁰(z)| = |2 cos(z) sin(z)| = | sin(2z)| ≤ 1. Questo mostra che b e σ sono globalmente lipschitziane. La stima di crescita lineare `e immediata, poich´e

|b(x)| ≤ 1, |σ(x)| ≤ 1 per ogni x ∈ R.

(b) Essendo funzione C² del processo di Itˆo X, Z `e un processo di Itˆo. Pi`u precisamente, la formula di Itˆo d`a

dZ_t = e^βXtβ dX_t + 1

2e^βXtβ²dhXi_t = β Z_tcos(X_t) dB_t +  β² 2 − β



Z_t cos²(X_t) dt . (c) In base a quanto ottenuto nel punto precedente, Z `e una {Ft}_{t∈[0,T ]}-martingala locale

se e soltanto se il termine a variazione finita `e nullo, ossia β²/2 − β = 0, che ha come soluzioni β = 0 oppure β = 2.

(d) Se β = 0 si ha Zt = 1 per ogni t ∈ [0, T ] e non c’`e niente da dimostrare. Se β = 2, per quanto gi`a visto Z soddisfa l’equazione dZ_t= 2 Z_tcos(X_t) dB_t, ovvero (essenzo Z₀ = 1)

Z_t = 1 + Z _t

0

2 Z_s cos(X_s) dB_s. (1)

Dato che E

 Z T 0

(2 Zs cos(Xs))²ds



≤ 4 E

 Z T 0

Z_s²ds



≤ 4 kZk²_M2[0,T ] < ∞ ,

il processo {2 Zs cos(Xs)}_{s∈[0,T ]} `e in M<sup>2</sup>[0, T ] e quindi Z `e una vera martingala (di quadrato integrabile).

(e) Calcolando l’equazione (1) in t ∧ τn si ottiene Zt∧τn = 1 +

Z t 0

2 Zs cos(Xs) 1_[0,τn)(s) dBs.

Per l’isometria dell’integrale stocastico possiamo dunque scrivere per t ∈ [0, T ] E(Z_t∧τ² _n) ≤ 2 + 2 E

 Z t 0

2 Z_s cos(X_s) 1_[0,τn)(s) dB_s

2

≤ 2 + 2 E

 Z t 0

4 Z_s² cos²(X_s) 1_[0,τn)(s) ds



≤ 2 + 8 Z t

0

E(Z_s∧τ² _n) ds . Si noti che la funzione t 7→ E(Z_t∧τ² _n) `e misurabile (perch´e Z, essendo continuo e adattato,

`e un processo progressivamente misurabile) e localmente limitata (E(Z_t∧τ² _n) ≤ n² per definizione di τn). Dal Lemma di Gronwall si ha dunque E(Z_t∧τ² _n) ≤ 2 e^{8 t}, ∀t ∈ [0, T ], e quindi

E(

Z T 0

Z_t∧τ² _ndt) ≤ Z T

0

2 e^{8 t}dt ≤ 1

4(e^8T − 1) .

Dato che Zt∧τn → Z_t q.c. per n → ∞, perch´e τn → ∞ q.c. per n → ∞, applicando il Lemma di Fatou si ottiene E(R_T

0 Z_t²dt) ≤ ¹₄(e^8T − 1) < ∞, quindi Z ∈ M²[0, T ].