Teoria di Gamow dei decadimenti α

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Teoria di Gamow dei decadimenti α

Lezione 4

Legge di Geiger-Nuttall

•  Il decadimento α è un decadimento a due corpi:

–  Energia fissata: E_α~Q_α

–  Si osserva una forte dipendenza di λ da Q:

•  legge di Geiger-Nuttal –  Piccole variazione di energia

risultano in grandi differenze nelle costanti di decadimento

:

Esempio:

•  ²⁰⁸Po, Q=5.2 MeV, τ_1/2~10⁸ s

•  ¹⁸⁶Po, Q=8.6 MeV, τ_1/2~10^-5 s

•  Spiegazione qualitativa di questo comportamento proposta da Gamow:

–  Effetto tunnel quantistico

http://dx.doi.org/10.1016/j.physletb.2014.05.066

ln t_1/2 = a + b Q

Modello di Gamow (Krane cap. 8)

•  La legge di Geiger-Muttall può venire spiegata fenomenologicamente dal modello di Gamow:

–  Il nucleo (A,Z) è costituito da una particella α, intrappolata nel potenziale generato dal nucleo (A-4,Z-2)

–  Classicamente la particella è confinata all’interno del raggio a del nucleo.

–  In meccanica quantistica ha una probabilità P non nulla di attraver- sare la barriera per effetto tunnel.

–  All’interno del nucleo, ha una ve- locità:

–  Colpisce la barriera con frequenza –  Il rate di decadimento è fP.

–  Per V₀=30 MeV, Q=5 MeV, A=200: v=0.14c = 0.42×10⁸ m/s, f=3×10²¹ Hz v = 2(Q + V₀)

m

f = v / 2a

Modello di Gamow

•  La probabilità di superare la barriera di potenziale è data da:

–  dove il fattore G è definito da un’integrale sulla zona classicamente proibita

•  Per fissare le idee, consideriamo il decadimento α del ²³²Th (Z=90)

a = roA^1/3 = 1.2A^1/3 fm = 7.4 fm Q = 4.05 MeV

P = e^−2G

G = 2m

!² (V r( )^{− Q})

a

∫

V r( ) ⁼ (^{Z − 2})^2α!c

r

V a( ) ⁼ (^{Z − 2})^2α!c

a = 34.2 MeV

b = (Z − 2)^2α!c

Q = 62.5 fm

Ÿ poniamo

Ÿ A ampiezza incidente

Ÿ B ampiezza riflessa

Ÿ F ampiezza trasmessa

Barriera di potenziale

•  Consideriamo il moto di una particella in presenza di un barriera di potenziale.

•  Calcoliamo adesso la probabilità di trasmis- sione di un’onda piana: Effetto Tunnel

•  L’equazione di Schrödinger

•  diventa nelle 3 regioni

•  cerchiamo soluzioni della forma H₀ + V x( )

( )^{Ψ = i!∂Ψ}

∂t Ψ x, t( )^=ψE( )x ^e−iEt/!

H₀ + V x( )

( )^ψE = Eψ_E

d²ψ_E

dx² + 2m

!² EψE = 0 x < 0, x > a d²ψ_E

dx² + 2m

!² (E − V_o)^ψE = 0 0 ≤ x ≤ a

ψE( )x ^{= Aeikx + Be−ikx x < 0} ψ_E( )^{x = Cekox + De−kox 0 ≤ x ≤ a}

ψ_E( )x ^{= Feikx x > a}

k = 2m

!² E k_o = 2m

!² (V_o − E)

T = F ² A ²

DIM

Barriera di potenziale

•  Per risolvere l’equazione

–  continuità della funzione e della derivata in x = 0

–  troviamo A e B

–  continuità idella funzione e della derivata in x = a

•  In forma matriciale l’equazione è

A + B = C + D ikA − ikB = k_oC − k_oD A − B = −ik_o

k C + ik_o k D

A = C

2 1 + k_o ik

!

"

# $

%& + D

2 1 − k_o ik

!

"

# $

%&

B = C

2 1 − k_o ik

!

"

# $

%& + D

2 1 + k_o ik

!

"

# $

%&

Ce^koa + De^−koa = Fe^ika k_oCe^koa − k_oDe^−koa = ikFe^ika Ce^koa − De^−koa = i k

k_o Fe^ika

e^koa e^−koa e^koa −e^−koa

"

#$$ %

&

'' C D

"

#$ %

&

' =

e^ika i k

k_o e^ika

"

#

$$

$

%

&

'' '

F ψE( )x ^{= Aeikx + Be−ikx x < 0} ψ_E( )x ^{= Cekox + De−kox 0 ≤ x ≤ a} ψE( )x ^{= Feikx x > a}

DIM

Barriera di potenziale

•  La soluzione è immediata

•  Richiamiamo la soluzione per A e B

C D

!

"

# $

%& = 1 2

e^−koa e^−koa e^koa −e^koa

!

"

## $

%&&

e^ika i k

k_o e^ika

!

"

##

#

$

%

&

&

&

F

e^koa e^−koa e^koa −e^−koa

"

#$$ %

&

''

−1

= 1 2

e^−koa e^−koa e^koa −e^koa

"

#$$ %

& ''

= 1 2

e^(ik−ko)a(1 + ik / k_o)

e^(ik+ko)a(1 − ik / k_o)

"

#

$$

%

&

''F

A B

!

"

# $

%& = 1 2

1 + k_o / ik 1 − k_o / ik 1 − k_o / ik 1 + k_o / ik

!

"

##

$

%

&

& C D

!

"

# $

%&

A B

!

"

# $

%& = e^ikaF 4

1 + k_o / ik

( )(^{1 + ik / k}o )^{e−koa + 1 − k}( o / ik)(^{1 − ik / k}o)^ekoa

1 − k_o / ik

( )(^{1 + ik / k}o )^{e−koa + 1 + k}( o / ik)(^{1 − ik / k}o)^ekoa

!

"

##

$

%

&

&

= e^ikaF 4

2 + i k k_o − k_o

k

"

#$ %

&

" '

#$ %

&

'e^−koa + 2 − i k k_o − k_o

k

"

#$ %

&

" '

#$ %

&

'e^koa i k

k_o + k_o k

"

#$ %

&

'e^−koa − i k k_o + k_o

k

"

#$ %

&

'e^koa

"

#

$$

$$

%

&

'' ''

= e^ikaF 4

4 cosh k_oa − 2ik² − k_o²

k_ok sinh k_oa

−2ik² + k_o²

k_ok sinh k_oa

"

#

$

$$

$$

%

& ' '' ''

DIM

Barriera di potenziale

•  La soluzione finale è quindi:

•  Il coefficiente di trasmissione è

•  Per verificare la consistenza si può vedere che la somma dell’onda trasmessa e riflessa:

|F|²+|B|²=|A|² A

B

!

"

# $

%& = e^ikaF

cosh k_oa + k² − k_o²

2ik_ok sinh k_oa k² + k_o²

2ik_ok sinh k_oa

!

"

##

#

##

$

%

&

&

&

&

&

T = F ²

A ² = 1

cosh²k_oa +

(

)

4k_o²k² sinh²k_oa 1 + sinh²k_oa

= 1

1 +

(

)

4k_o²k² + 1

"

#

$$

%

&

''sinh²k_oa

= 1

1 +

(

)

4k_o²k² sinh²k_oa

T = 1

1 + V₀²

4E(V₀ − E)sinh²k_oa

DIM

Effetto tunnel

•  Nella soluzione esatta della

barriera di potenziale unidimensionale:

•  Il termine che ha il peso maggiore nel denominatore è

–  Il coefficiente in fronte all’esponenziale è O(1).

•  per fissare le idee prendiamo il caso k~k_o,

•  La probabilità di attraversare la barriera di potenziale è quindi

T = 1

1 + V₀²

4E(V₀ − E)sinh²k_oa

sinh²k_oa = 1

4

(

)

T ≈16E(V₀ − E)

V₀² e^−2k0a = 16k_o²k² k² + k_o²

( )

−2k₀a

P ≈ 4e

= 4 exp −2a 2m

!

(V

− E)

#

$ % &

' (

16k_o²k² k² + ko2

( )

DIM

Effetto tunnel

•  Un potenziale generico, V(r), può essere visto come la sequenza di una serie di barriere infinitesime.

–  Ciascuna ha una probabilità di essere attraversata data da:

–  La probabilità di attraversare la barriera completa è data dal

prodotto delle probabilità di attraversare le barriere infinitesimali

–  Ovvero

–  dove G è il fattore di Gamow

P ∝ e^−2k0dr = exp −2 2m

!² (V (r) − Q) dr

#

$% &

'(

P ∝ e^{−2 k}∫ ^0dr = exp −2 2m

!² (V (r) − Q) dr

a

∫

$

%& '

() P ∝ e^−2G

G = 2m

!

(V (r) − Q) dr

a

∫

Fattore di Gamow

•  Mettendo insieme i risultati ottenuti otteniamo che la probabilità di decadimento per unità di tempo è data da

•  Ricordiamo che le approssimazioni fatte rendono queste formule applicabili solo per trovare l’ordine di grandezza della vita media

•  Calcoliamo adesso G per il potenziale di Coulomb

λ = fP = v

2a4e^−2G = 2Q m

2 ae^−2G

G = 2m

!² (V r( )^{− Q}) ^dr

a

∫

G = 2m

!²

Z − 2

( )^2α!c

r − Q

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 2 dr

a

∫

1 2 dr

a

∫

#$

%

&'

1 2 dr

a

∫

= 2mQ

!²

b − r r

"

#$

%

&'

1 2 dr

a

∫

r rb b

"

#

$

$$

%

&

' ''

1 2

d r

a b

∫

b = (Z − 2)^2α!c

Q

Fattore di Gamow

1 − x x dx =

∫

= 2mQ

!² b π

2 − arcsin a b

"

#$ %

&

' − a b − a²

b² (

)*

*

+ ,- -

G = 2mQ

!² b arccos a

b − a b − a²

b²

"

#$

$

%

&

'' G = 2mQ

!² b 1 − x

x

"

#$

%

&'

1 2 dx

a b

∫

G = 2mc

Q α 2 Z − 2 [ ( ) ] ^{f a}

b

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

f a b

!

"

# $

%& = arccos a

b − a b − a²

b² (

)*

*

+ ,- - G = 2mQ

!² b 1 − r

rb b

"

#

$$

$

%

&

'' '

1 2

d r

a b

∫

b = (Z − 2)^2α!c

Q

DIM

G = 2m

!²Qα!c 2 Z − 2[ ( )] ^{f a}

b

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Decadimento α

•  La vita media risulta pertanto

•  Vediamo che la formula trovata giustifica la legge di Geiger-Nuttal

τ = 1 λ ⁼

m 2Q

a

2e^2G = m 2Q

a

2exp 2α ^2mc

2

Q [2 Z − 2( )] ^{f a}

b

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

lnτ = ln m 2Q

a 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + 2α 2mc

Q [ 2 Z − 2 ( ) ] ^{f a}

b

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

debole dipendenza da lnQ

famiglie di curve in funzione di Z

dipendenza da Q^-1/2

http://dx.doi.org/10.1016/j.physletb.2014.05.066

Decadimento α

A Q [MeV] τ_1/2 [s] Modello di Gamow

220 8.95 10^-5 3.3×10^-7

222 8.13 2.8×10^-3 6.3×10^-5

224 7.31 1.04 3.3×10^-2

226 6.45 1854 60

228 5.52 6.0×10⁷ 2.4×10⁶

230 4.77 2.5×10¹² 2.0×10¹¹

232 4.08 4.4×10¹⁷ 2.6×10¹⁶

Tabella 8.2 del Krane

Il modello di Gamow spiega qualitativamente i dati:

•  osservazioni usate per fissare i parametri del modello

•  decadimento con nuclei più grandi (es. ¹²C) soppressi dalla maggiore barriera Coulombiana

Decadimento α

•  Decadimenti α possono avvenire su stati eccitati del nucleo figlio.

•  Righe monocromatiche:

–  permettono di determinare con precisione le energie di tali stati

Figura 4.1 del Das-Ferbel

ESERCIZI

Esercizio 1 (Esercizio 8.7 del Krane)

•  Calcolare il Q-valore del decadimento

Ra →

Rn+α e, sapendo che il tempo di dimezzamento è di 3.66 giorni, calcolare il fattore di Gamow.

•  Stimare il tempo di dimezzamento per i possibili

decadimenti

Ra →

Pb+

C e

Ra →

Pb+

C

Esercizio 2 (Esercizio 8.21 del Krane)

Decadimento α del

Cm

•  Questo decadimento popola lo stato fondamentale del

240

Pu con rapporto di decadimento del 76.6% ed uno stato eccitato a 0.861 MeV, con rapporto di

decadimento 1.6×10-6.

•  calcolare Q valore, energia e momento dell’α ed energia cinetica del nucleo di Pu.

•  Stimare il rapporto dei due modi di decadimento e

confrontarlo con quello osservato