Meccanica 8

Meccanica 8

31 marzo 2011

Teorema del momento angolare. 2° eq. Cardinale Conservazione del momento angolare

Sistema del centro di massa. Teoremi di Koenig

Lavoro, energia cinetica, potenziale e meccanica per un corpo esteso Energia propria e interna

Teorema del momento angolare

• Abbiamo visto nel caso di un solo punto

materiale, che, se il polo e` fisso e il sistema di riferimento e` inerziale, il teorema del

momento angolare e`

O O

dt L

d ^





Teorema del momento angolare

• Generalizziamo questo teorema al caso di un sistema di piu` particelle e polo fisso

• Deriviamo rispetto al tempo

• Otteniamo

• Cioè di nuovo

O i

i i

i

i i i

i

i i

i

i i i

i

i i

O

F r

v m v

dt p r d

v dt m

r p d

dt r d dt

L d

^

 





 

 



 





































0





i

i i

O r p

L  

O O

dt L

d ^





Teorema del momento angolare

• Generalizziamo ora al caso di un sistema di piu`

particelle e di un polo mobile

• Deriviamo rispetto al tempo l’equazione che lega il MA calcolato rispetto ad un polo fisso O e un polo mobile Q

• Otteniamo ^{LQ LO rQ P}

 



   

 





F r

P v

dt P r d

dt P r P d

dt r d dt

L d dt

L d

Q Q

O Q

Q O

Q Q

O Q

Q O

 

 

 

 





 

 

 

 















































Teorema del momento angolare

• Ricordando che l’espressione tra parentesi è il momento rispetto al polo mobile Q, otteniamo

• Espressione che differisce per la presenza del secondo termine da quella trovata per il polo fisso

• Ovviamente si ritrova quella equazione se anche Q è fisso: in tal caso il secondo termine è nullo

P dt v

L d

Q Q

Q   









Teorema del momento angolare

• Esistono però altri casi in cui le equazioni per il polo mobile e per il polo fisso sono uguali

• Il caso più importante è quello in cui il polo coincide con il CM del sistema, in tal caso

• E poiché v_CM e P sono proporzionali, segue

P dt v

L d

CM CM

CM   









CM CM

dt L

d ^





Teorema del momento angolare

• Un altro caso e` quando il polo coincide con il punto di contatto C tra una ruota che si

muove (slittando o rotolando) e una superficie di appoggio

• Poiché v_C e P sono paralleli, segue

P dt v

L d

C C

C   









C C

dt L

d ^





C

P v_C

Teorema del momento angolare

• Abbiamo dimostrato il notevole teorema: la derivata del momento angolare è uguale al momento delle forze (esterne) se come polo usiamo

– un punto fisso in un sistema inerziale

– oppure il CM del sistema (indipendentemente dal fatto che questo sia fisso o sia mobile e qualunque sia il suo moto) dLCM

^





Seconda equazione della dinamica dei sistemi

• Se il polo e` fisso o e` il CM

• Questa e` la seconda equazione della dinamica dei sistemi

• O seconda equazione cardinale della meccanica

E Q Q

dt L

d ^





Conservazione di L

• Se vale l’equazione

• e se il momento delle forze esterne e` nullo, allora il momento angolare si conserva

• Facciamo due osservazioni:

– La conservazione puo` valere anche solo in alcune direzioni (quelle in cui la componente di  e` nulla) – A seconda della situazione fisica,  puo` annullarsi

qualunque sia il polo, oppure solo per poli scelti opportunamente

 0 dt

L d_O

. const L_O 

 0

E

^O

E O O

O

dt L

d ^ ^







Sistema di riferimento del CM

• Ha origine nel CM

• Gli assi sono sempre paralleli agli assi di un sistema inerziale

• In generale non e` inerziale

rⁱ*

pⁱ CM

O rⁱ Aⁱ r^CM

• La posizione di un punto nel SCM e`

• Derivando questa relazione troviamo la velocita` di un punto nel SCM

CM i

i r r

r^*    

CM i

i v v

v^*    

Sistema di riferimento del CM

• La posizione e la velocita` del CM nel SCM sono, ovviamente,

• Ricordando la definizione di CM, valida in ogni SdR, abbiamo anche

• La seconda equazione stabilisce che la QM

totale del sistema e` nulla se misurata nel SCM

*  _CM  _CM  0

CM r r

r   v_CM^*  v_CM v_CM  0

* 0

*  



i

i

ir Mr

m  



i

i

iv Mv

m  

Teoremi di Koenig

• 1^o teorema: fornisce una relazione tra il valore del momento angolare in un sistema inerziale e nel sistema del CM

• 2^o teorema: fornisce una relazione tra il valore dell’energia cinetica in un sistema inerziale e nel sistema del CM

1

teorema di Koenig

• Confrontiamo il MA calcolato

– nel SCM con polo nel CM

– nel SdR inerziale con polo nell’origine O

 

   

i

CM i CM

i

CM i i

i

i i CM

i

i i i

i

CM i

i CM

i i

i i i

CM

v m r

v m r

v m r

v m r

v v

m r

r v

m r

L



























 













































*

rⁱ*

pⁱ CM

O rⁱ Aⁱ r^CM

1

teorema di Koenig

• Il 2^o e 4^o termine sono uguali e opposti; il 3^o termine e` il MA del CM nel SdR inerziale

• La relazione puo` essere letta anche

• Il MA di un corpo in un SdR inerziale e` uguale al MA del sistema rispetto al CM, calcolato nel SCM piu` il MA del CM nel sistema inerziale

     

* CM CM

O

O L L

L  





^CM L ^O Mr^CM v^CM L ^O r^CM Mv^CM L ^O L ^{O CM}

L        

















*

2

teorema di Koenig

• Calcoliamo ora l’energia cinetica

 

2 2

2 2 2

2 2

*

*

2 1 2

1 2 1

2 1 2

1

2 1 2

1

CM CM

CM CM

CM i

i CM

i

i i

i

CM i i

CM i

i i

i i

i

CM i

i i

i i

v M K

v M v

v M K

v m v

v m K

v m v

v m v

m

v v

m v

m K









































 



 



 





 







































• il 2^o termine e` l’energia cinetica del CM nel SdR inerziale

• La relazione puo` essere letta anche

• L’energia cinetica di un corpo in un SdR

inerziale e` uguale all’ EC del sistema calcolata nel SCM, piu` l’EC del CM nel sistema inerziale

2

teorema di Koenig

KCM

K K^*  

K *

K

K  _CM 

Lavoro

• Calcoliamo il lavoro relativo allo spostamento di un sistema di punti materiali

• Per una particella il lavoro infinitesimo e`

• Il lavoro finito si trova integrando il lavoro infinitesimo tra stato iniziale e finale (che possono essere diversi per ogni particella)

E i I

i i

E i i

I i i

i

i F dr F dr F dr dW dW

dW              

E I

B

E B

I

B_{i i i}











  

Lavoro

• Per il sistema il lavoro si trova sommando su tutte le particelle

• A differenza del caso della risultante dei momenti di forza agenti sul sistema, ora le forze interne danno un contributo non nullo

E I

i

E i i

I i i

i W W W W

W

W 







Lavoro

• Raggruppando infatti le forze interne a coppie di forze coniugate secondo il 3^o principio, il

lavoro interno e` esprimibile come





 



 



   















  

 

 







r r r

i j i

r

r

j I

ji r

r

i I

ij

i r

r i i j

I i ij

r

r

i I

i i

I i I

jF

jI iF

iI

iF

iI iF

iI

r d f

r d f

r d f

r d F

W W



 

















 

 

 

 

 

 

 

Iⁱ

Fⁱ

F^j rijI

rijF

Lavoro

• Ove si e` introdotta la nuova variabile r^ij

• In generale il prodotto scalare che compare nell’integrando non e` nullo, ne’ sono nulli gli integrali o la loro somma

• Il lavoro delle forze interne dipende in ultima analisi dal cambiamento delle distanze mutue drij tra le particelle che formano il corpo

Lavoro per un corpo rigido

• In assenza di tali cambiamenti i lavori

elementari sarebbero nulli, e altrettanto nulli sarebbero i lavori integrali e la somma dei lavori relativi alle diverse particelle

• Questo e` il caso, particolarmente importante, di un corpo rigido:^{W I  0}

nessun cambiamento delle

distanze mutue tra le particelle

Energia cinetica

• Studiando il lavoro infinitesimo relativo a una particella singola, avevamo trovato

l’equazione

• Integrando tra stato iniziale e finale

• e sommando su tutte le particelle

i i

i i

i i i

i

i F dr m v dv d m v dK

dW  



 



 





 ²

2

 1



 

 

i B

A i B

A

i

i dW dK K B K A K

W

i

i i

i













 

K K

K W

W

i i i

i i

i      



  

23

Energia cinetica

• Ovvero: il lavoro complessivo delle forze che agiscono su un sistema e` uguale alla

variazione di energia cinetica del sistema tra stato iniziale e finale

• Inoltre il lavoro e` scomponibile nel lavoro delle forze esterne e interne, in generale entrambi diversi da zero

K

W   Teorema dell’energia

cinetica per corpo esteso

Energia potenziale

• Se le forze sono tutte conservative, il lavoro e` esprimibile in termini di energia potenziale

• Integrando tra stato iniziale e finale

• E sommando su tutte le particelle

• Definendo l’energia potenziale totale

• troviamo

i

i

dW

dU  

W W

U

i i

i  i  





i

i W

U  









i Ui

U W

U  



Conservazione dell’energia meccanica

• Il discorso si puo` ripetere separatamente per forze interne e esterne

• Ricordando il teorema dell’energia cinetica, otteniamo

• Abbiamo cosi’ ritrovato il teorema di

conservazione dell’energia meccanica E per un corpo esteso

I

I U

W   W ^E  U ^E U

U U

W W

W  ^I  ^E   ^I   ^E   U

K  



 

Forze non conservative

• Se sono presenti forze non conservative,

possiamo estendere il ragionamento fatto per una singola particella

• Ottenendo

• Cioe` la variazione di energia meccanica e`

uguale al lavoro delle forze non conservative

c

nc W

W

W   W  K W_c  U U

W W

W W

K   _nc  _c  _nc  









Energia propria

• Energia meccanica:

• Separando i contributi delle forze interne ed esterne

• E non rappresenta una caratteristica del solo sistema, perche’ contiene anche le interazioni con l’ambiente

• Per tener conto di questo, si definisce l’energia propria

U K

E  

E

I U

U K

E   

U I

K E  

Energia interna

• Tenuto conto che l’energia cinetica dipende dal SdR, l’energia propria si puo` scrivere

• Avendo definito l’energia interna

• L’energia interna e` l’energia propria nel SdR del CM, ove assume il valore minimo

2 2

*

2 1 2

1

CM I

CM

p K Mv U Mv

E    U 

U I

K 

 ^* U