LICEO DELLE SCIENZE UMANE-ARTISTICO “G. Pascoli” di Bolzano VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA
CLASSE 5a A- 14/10/2013-FILA A -Tempo 100'
Ogni risposta va opportunamente motivata pena la sua esclusione dalla valutazione.
1.
Osservando il grafico della figura, trova
1.a) il dominio e il codominio della funzione e l’equazione di y=f ( x) . 1.b) Calcola f (−3) , f (0) , f (1) , −2=f (...) , 5=f (...) . 1.c) Stabilisci se è iniettiva e suriettiva.
1.d) Trova gli intervalli di R in cui è crescente/decrescente.
2.
Disegna il grafico della funzione indicata. Determina il codominio di f (x ) e calcola f (−3) , f (0) , f (1) , f (5) . Trova poi per quali valori di x si ha f (x )=0 .
f ( x)= { 2x−1 se 0< x≤1 1 se x≤0 3−2x
2se x>1
3.
Per ognuna delle seguenti funzioni indica se è razionale (intera o fratta), irrazionale, trascendente, determina il dominio e il suo segno.
y= x−3
2 x2+x−1 , y= 2 x
√
x2−9 .TEST IN SOSTITUZIONE DELL'ORALE 1.
1.a)
Dai la definizione una funzione numerica; disegna il grafico di una funzione crescente e dispari e quello di una funzione decrescente e pari.
1.b)
Definisci le funzioni pari e dispari e classifica le seguenti funzioni:
y=2 x
3−x+8
; y=2 x2+|x| ; y=−x3+x
−x2+1 2.
Rispondi vero o falso, motivando la risposta.
2.a) Se una funzione è iniettiva allora è crescente;
2.b) Se una funzione è crescente oppure decrescente allora è iniettiva:
2.c) Se una funzione è biiettiva allora è crescente oppure decrescente.
2.d) Se una funzione è pari allora è iniettiva.
3.
Ogni grafico rappresenta una funzione
f : R→ R
. Indica per ognuno se si tratta di una funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva.4.
Nella figura sono rappresentati i grafici di alcune funzioni. Indica quali sono pari, quali dispari e quali né pari né dispari, motivando la risposta.
5.
Disegna una funzione con le seguenti caratteristiche:
4.a) il suo dominio è R- {−1 ;1} 4.b) è positiva per x>1 v per x<-1;
4.c) si annulla per x=-1/2 e per x=1/2.
4.d) f è crescente per x<-1 e per 1/2<x<1 ed è decrescente per x>1 e per -1<x<-1/2.
Stabilisci se il grafico della funzione del 3.a è compatibile con tali caratteristiche.
LICEO DELLE SCIENZE UMANE-ARTISTICO “G. Pascoli” di Bolzano VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA+ TEST IN SOSTITUZIONE DELL'ORALE
CLASSE 5a A- 14/10/2013-FILA B -Tempo 100'
Ogni risposta va opportunamente motivata pena la sua esclusione dalla valutazione.
1.
Osservando il grafico della figura, trova
1.a) il dominio e il codominio della funzione e l’equazione di y=f ( x) . 1.b) Calcola f (−3) , f (0) , f (1) , −2=f (...) , 5=f (...) . 1.c) Stabilisci se è iniettiva e suriettiva.
1.d) Trova gli intervalli di R in cui è crescente/decrescente.
2.
Disegna il grafico della funzione indicata. Determina il codominio di f (x ) e calcola f (−3) , f (0) , f (1) , f (5) . Trova poi per quali valori di x si ha f (x )=0 .
f ( x )= { 3 x−2 se x≤0
0 se 0<x≤2
x
2−5 x se x>2
3.
Per ognuna delle seguenti funzioni indica se è razionale (intera o fratta), irrazionale, trascendente, determina il dominio e il suo segno.
, y= 5 x
3 x2+2 x ; y= x−1
√
2 x2+x .TEST IN SOSTITUZIONE DELL'ORALE 1.
1.a)
Definisci una funzione numerica; disegna un grafico di una funzione iniettiva ma non suriettiva e di una funzione suriettiva ma non iniettiva.
1.b)
Definisci le funzioni pari e dispari e classifica le seguenti funzioni:
y=2 x
4−x
2+8
; y=2 x3+|x| ; y=−x4+x2
−x3+x 2.
Rispondi vero o falso, motivando la risposta.
2.a) Se una funzione è suriettiva allora è crescente oppure decrescente;
2.b) Se una funzione è crescente allora è suriettiva:
2.c) Se una funzione è crescente allora è iniettiva;
2.d) Se una funzione è dispari allora f(x)>0 per x>0 e f(x)<0 per x<0.
3.
Ogni grafico rappresenta una funzione
f : R→ R
. Indica per ognuno se si tratta di una funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva.4.
Nella figura sono rappresentati i grafici di alcune funzioni. Indica quali sono pari, quali dispari e quali né pari né dispari, motivando la risposta.
5.
Disegna una funzione con le seguenti caratteristiche:
4.a) il suo dominio è R- {0 ;2} 4.b) è positiva per x<0 v per x>2;
4.c) si annulla per x=1 e per x=3/2.
4.d) f è crescente per x<0 e per 0<x<3/2 ed è decrescente per x>2 e per 3/2<x<2.
Stabilisci se il grafico 3.a è compatibile con tali caratteristiche.
Soluzioni FILA A Parte Scritta 1.
1.a) D = R in quanto una qualsiasi retta verticale interseca il grafico mentre C = {y >1, y=−2} . La funzione è definita per casi e precisamente: per x<0 essa è lineare e passa per il punto (-3,2);
è privata del punto (0;1) che, comunque, è l'ordinata all'origine; scrivendo l'equazione generale della retta nella forma y=mx+q si ha che q=1 e sostituendo nell'equazione y=mx+1 le coordina- te del punto (-2;3) si ha 3=-2m+1 cioé -2m=2 e quindi m=-1; pertanto l'equazione della retta è y=-x+1; si può osservare che per x ≥ 0 la retta è orizzontale e la sua equazione è y=-1.
In definitiva l'equazione della funzione è:
f(x)=
{
−x+1 se x<0¿−2 se x ≥ 0
1.b) f(-3)=3+1=4; f(0)=-2; f(1)=-2; -2=f(x) per x ≥ 0 ; 5=-x+1 e quindi x = 4.
1.c) La funzione non è iniettiva perché la retta y=-2 la tocca in infiniti punti e non è suriettiva da R in R in quanto, ad esempio, la retta y=0 non la tocca in alcun punto.
1.d) La funzione è decrescente per x<0.
2.
Il grafico della funzione data, riportato nel disegno sottostante, si costruisce così: la funzione vale 1 per x ≤ 0 e quindi è una retta orizzontale passante per il punto (0,1); per 0<x ≤1 il grafico è una retta passante per il punto (1;1) e avente ordinata all'origine -1; per x>1 si ha una parabola, che vol-
ge la concavità verso il basso, che passerebbe per il punto (1,1) se x=1 facesse parte dei valori ammissibili.
Dal grafico deduciamo che il codominio è C = {y ≤ 1} ; inoltre dall'espressione analitica della fun- zione possiamo calcolare: f(-3)=1; f(0)=1; f(1)=2-1=1; f(5)= 3−2 ×52=3−50=−47.
Per rispondere al quesito "trovare i valori di x per cui f(x)=0", basta sostituire a f(x) le espressioni all'interno della parentesi graffa. In particolare avremo 1=0 per x ≤ 0, che è evidentemente impossibile; 2x-1=0 che ha come soluzione x=1/2; 3-2x2=0, che, risolta, ha come soluzioni x=
±
√
3 /2 , delle quali solo quella con segno positivo è accettabile in quanto maggiore di 1.3.
La prima funzione è razionale fratta, il cui dominio D si ottiene imponendo che il denominatore sia non nullo; ponendo il denominatore 2 x2+x +1≠ 0 si ha che x2
1≠−1 ±
√
94 =
{
1 /2−1 .Per stabilire il segno della funzione, poiché esso può cambiare in corrispondenza degli zeri del numeratore e del denominatore, che sono 3, -1, 1/2, procediamo in questo modo:
per x<-1, scegliamo un valore ad esempio x=-2 e lo sostituiamo nella funzione:
f(-2)= −2−3
2 ∙ (−2)2−2−1=−5
5 =−1 ; quindi f(x)<0 per x<-2;
per -1<x<1/2 scegliamo x=0 e lo sostituiamo nella funzione f(0)= −3
−1=3 e quindi f(x)>0 per -1<x<1/2;
per 1/2<x<3 scegliamo x=1; sostituendolo si ha f(1)= 1−3
2+1−1=−2
2 =−1 e quindi f(x)<0 per 1/2<x<3;
per x>3 scegliamo x=4 e si ha f(4)= 4−3
2 ∙ 42+4−1= 1
35 . e quindi f(x)>0 per x>3.
La seconda funzione è irrazionale e il dominio si ottiene ponendo il radicando maggiore di zer0, essendo al denominatore; risolvendo x2 -9>0 si ha D: x<-3 v x>3.
Per determinare il segno vale lo stesso discorso fatto sopra; essendo gli zeri del numeratore e del denominatore -3,0,3 e potendo scegliere, in base al dominio solo numeri, maggiori di 3 o inferiori a -3 si ha:
f(-4)= −4−3
√
16−9=−7
√ 7 <0 e quindi f(x)<0 per x<-3; si può vedere facilmente che f(x)>0 per x>3.
PARTE ORALE
1.a) Una funzione numerica è una legge tra due insiemi numerici, non vuoti, A e B, che ad ogni elemento dell'insieme A (insieme di partenza) associa un unico elemento dell'insieme
B (insieme di arrivo). Il grafico di una funzione crescente e dispari è riportato nel.4.b mentre non esiste una funzione decrescente e pari in quanto dovendo essere f(x)= f(-x) non potrà mai accadere che valga il > oppure il <.
1.b) Una funzione si definisce pari in un sottoinsieme A dei numeri reali se
∀ x ∈ A f(x)=f(−x) mentre è dispari se ∀ x ∈ A f(−x)=−f(x).
La funzione f(x)= 2 x2−x +8 non è nè pari né dispari in quanto f(-x)= 2 x2+x +8 che non è né uguale né opposta alla funzione di partenza.
La seconda e la terza funzione sono rispettivamente pari e dispari poiché la prima è somma di funzioni pari mentre la seconda è il rapporto tra una funzione dispari e una funzione pari.
2.
2.a) F, una funzione iniettiva può essere decrescente.
2.b) V, in quanto sia nel primo caso che nel secondo caso qualsiasi retta orizzontale toccherà in al più un punto il grafico della funzione.
2.c) F, basta disegnare una funzione suriettiva su R, crescente per x<1 e una decrescente per x>1;
questa è una funzione né crescente né decrescente.
2.d) F, se una funzione è pari, vuol dire che in particolare f(a)=f(-a) per un certo valore di a e quindi la retta y= f(a) tocca in due punti il grafico.
3.
3.a) La prima funzione non è né iniettiva né suriettiva perché esiste una retta orizzontale che la tocca in due in due punti e una retta orizzontale che non la tocca in alcun punto; la seconda è biiettiva perché ogni retta orizzontale la tocca in uno e in un solo punto; la terza non è né iniettiva né suriettiva per lo stesso motivo della prima funzione.
4.
La prima funzione è pari in quanto il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y; la seconda è dispari in quanto il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine; l'ultima non è né pari né dispari in quanto non presenta né una simmetria rispetto all'asse y né una simmetria rispetto all'origine.
5.
Si può rispondere immediatamente all'ultimo quesito affermando che il grafico della funzione 3.a non è compatibile con i dati della funzione in quanto il suo dominio è R. Un possibile grafico della funzione con le caratteristiche riportate nel testo è il seguente
Soluzioni FILA B Parte Scritta 1.
1.a) D = R in quanto una qualsiasi retta verticale interseca il grafico mentre C = {y ≥ 2, y=−2} . La funzione è definita per casi e precisamente: per x<1 essa è costante e vale -2; per x ≥1 essa
è lineare; scrivendo l'equazione generale della retta nella forma y=mx+q si ha che q=2 e sosti- tuendo il punto (3;4) si ha 4=3m+1 cioé 3m=3 e quindi m=1; pertanto l'equazione della retta è y=x+1.
In definitiva l'equazione della funzione è:
f(x)=
{
x +1 se x ≥ 1¿−2 se x<1
1.b) f(-3)=-2; f(0)=-2; f(1)=2; -2=f(x) per x ≤1 ; 5=x+1 e quindi x = 4.
1.c) La funzione non è iniettiva perché la retta y=-2 la tocca in infiniti punti e non è suriettiva da R in R in quanto, ad esempio, la retta y=0 non la tocca in alcun punto.
1.d) La funzione è crescente per x ≥1 . 2.
Il grafico della funzione data, riportato nel disegno sottostante, si costruisce così: la funzione vale 3x-2 per x ≤ 0 e quindi è una retta passante per il punto (-1;-5) e avente ordinata all'origine -2;
per 0<x ≤2 il grafico è una parte dell'asse x ; per x>2 si ha una parabola, che volge la concavità verso l'alto, che passerebbe per il punto (2,-6) se x=2 facesse parte dei valori ammissibili e che interseca l'asse x nel punto (0;5).
Dal grafico deduciamo che il codominio è C=R; inoltre dall'espressione analitica della fun- zione possiamo calcolare: f(-3)= 3 ∙(−3)−2=−11 ; f(0)=-2; f(1)=0; f(5)= 52−25=0
Per rispondere al quesito "trovare i valori di x per cui f(x)=0", basta sostituire a f(x) le espressioni all'interno della parentesi graffa. In particolare avremo 3x-2=0 che ha come soluzione x=2/3, non accettabile in quanto non è negativa; 0=0 che ha come soluzioni 0<x ≤2 ; infine x2-5x=0 che ha come soluzioni x=0 e x=5, la seconda delle quali è l'unica accettabile.
3.
La prima funzione è razionale fratta, il cui dominio D si ottiene imponendo che il denominatore sia non nullo; ponendo il denominatore 3 x2+2 x ≠ 0 si ha che x2
1≠
{
−2/30 .Per stabilire il segno della funzione, poiché esso può cambiare in corrispondenza degli zeri del numeratore e del denominatore, che sono 0 e -2/3, procediamo in questo modo:
per x<-2/3, scegliamo un valore ad esempio x=-1 e lo sostituiamo nella funzione:
f(-1)= 5 ∙(−1 )
3 ∙ (−1)2+2∙ (−1)=−5
1 =−5 ; quindi f(x)<0 per x<-2/3;
per -2/3<x<0 scegliamo x=-0,5 e lo sostituiamo nella funzione f(-0.5)=
5 ∙ (−0.5)
3 ∙ (−0.5)2+2 ∙(−0.5)=−5/2
−0.25=10 e quindi f(x)>0 per -2/3<x<0;
per x>0 scegliamo x=1; sostituendolo si ha f(1)= 5 ∙ 1
3+2=1 e quindi f(x)>0 per x>0;
La seconda funzione è irrazionale e il dominio si ottiene ponendo il radicando maggiore di zero, essendo al denominatore; risolvendo 2 x2 +x>0 si ha D: x<-1/2 v x>0.
Per determinare il segno basta osservare che il denominatore è sempre positivo e quindi la frazione è positiva se il numeratore lo è e questo avviene se x>1; ovviamente la funzione è negativa se 0<x<1 v x<-1/2.
PARTE ORALE
1.a) Una funzione numerica è una legge tra due insiemi numerici, non vuoti, A e B, che ad ogni elemento dell'insieme A (insieme di partenza) associa un unico elemento dell'insieme B (insieme di arrivo). Il grafico di una funzione iniettiva ma non suriettiva è ad esempio quello riportato nel 3.b mentre quello di una funzione suriettiva ma non iniettiva è quello del 3.a.
1.b) Una funzione si definisce pari in un sottoinsieme A dei numeri reali se
∀ x ∈ A f(x)=f(−x) mentre è dispari se ∀ x ∈ A f(−x)=−f(x).
La funzione f(x)= 2 x4−x2+8 è nè pari perché è somma di funzioni pari; la seconda f(- x)=-2x3+ |x| che non è né uguale né opposta alla funzione f(x).
La terza funzione è dispari perché è il rapporto di una funzione pari e di una funzione dispari.
2.
2.a) F, basta considerare il grafico della funzione 3.a.
2.b) F, basta considerare il grafico della funzione 3.b.
2.c) V, perché per ogni x<y f(x)<f(y) e quindi non sarà mai f(x)=f(y).
2.d) F, basta considerare la funzione del 4.c.
3.
3.a) La prima funzione è suriettiva perché esiste una retta orizzontale che la tocca in almeno un punto ma non è iniettiva perché esiste una retta che la tocca in almeno due punti; la seconda è iniettiva perché una qualsiasi retta orizzontale la tocca in al più un punto; la terza non è né iniettiva né suriettiva perché esistono due rette che la toccano in infiniti punti e una retta che non la tocca in alcun punto.
4.
La prima funzione non è né pari né dispari; la seconda è pari in quanto il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y; l'ultima è dispari in quanto il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.
5.
Si può rispondere immediatamente all'ultimo quesito affermando che il grafico della funzione 3.a non è compatibile con i dati della funzione in quanto il suo dominio è R. Non è possibile disegnare il grafico della funzione perché dovendo, in base ai dati, la funzione essere crescente per 0<x<3/2 in particolare f(3/2)>f(1) mentre f(3/2)=f(1)=0.
