Esame di geometria e algebra
Laurea Ing. — 1 Marzo 2013 — Traccia I
COGNOME NOME
II Esonero Appello
1 Denotata con{e1, e2, e3, e4} la base canonica di R4, siano
V = L(2e1+ e4, e2+ e3, e4) e W = {(x, y, z, t) : y − z − 2t = 0}.
Si determinino una base e la dimensione di V + W .
2 Sia f : R3 7→ R3 l’applicazione cos`ı definita f (x, y, z) = (3x− h − 1, hy + z, h + 1 − z).
(a) Si stabilisca per quale valore del parametro reale h l’applicazione f `e lineare.
(b) Per il valore di h per cui f `e lineare si scriva la matrice A associata ad f rispetto la base canonica di R3 e si stabilisca se f `e suriettiva e/o iniettiva.
3 Discutere e quando possibile risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y, z, t in cui h `e
un parametro reale
x + 3y −hz +t = 4
x + 8y +(h− 1)z +t = 2 + 2h
2x + hy −3z +2t = 8
4 Sia S =
3 −2 4
0 1 0
0 −1 3
una matrice ad elementi reali.
(a) Si determinino gli autovalori e gli autospazi di S.
(b) Si stabilisca se S `e diagonalizzabile oppure no.
5 SiaE3(R) lo spazio euclideo numerico con un fissato riferimento cartesiano.
(a) Si scriva l’equazione del piano α passante per P (−1, 0, 1), ortogonale al piano y = 0 e parallelo alla retta
t :
{ 2x + y− 1 = 0 y + z = 0 . (b) Si determini la distanza tra la retta t e il piano α.
Argomenti teorici
• Si scriva la definizione di sistema lineare omogeneo e si dimostri che l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite a coffiecienti in R `e un sottospazio vettoriale di Rn.
• Si scriva la definizione di prodotto vettoriale e se ne enuncino alcune propriet`a.
• Si scrivano le definizioni di riferimento affine e di coordinate affini di un punto di uno spazio affine n dimensionale. Si ricavino le formule di trasformazione delle coordinate in un cambiamento di riferimento.
Traccia I — 1
