Esame di geometria e algebra
Laurea Ing. — 12 febbraio 2013 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si denoti con{e1, e2, e3} la base canonica di R3. Assegnati i due sottospazi vettoriali di R3 V = L(e1, e2− 2e3), W ={(x, y, z) ∈ R3 : x− z = 0},
si determini una base B e la dimensione di V ∩ W . Si determini poi una base di R3 contenente B.
2 Si consideri l’applicazione lineare f : R3 7→ R3 cos`ı definita
f (x, y, z) = (x− y, z, 2x + y − z).
Si determinino Kerf, Imf e una loro base. Si stabilisca infine se f `e iniettiva e/o suriettiva.
3 Si risolva il seguente sistema lineare al variare del parametro reale h:
−x +2y +z=0
hx −3z=h + 1
y −(h − 1)z=2h + 2
4 Sia S =
3 −1 1
0 h 0
0 −1 3
una matrice ad elementi reali.
Si stabilisca per quali valori del parametro h la matrice S `e diagonalizzabile.
5 Sia E3(R) lo spazio euclideo numerico con un fissato riferimento cartesiano. Si considerino i punti A(1, 2, 0), B(0,−1, 3) e C(1, 3, −3).
(a) Dopo aver verificato che i punti A, B e C non sono allineati si scriva l’equazione cartesiana del piano che tali punti generano.
(b) Tra i piani paralleli a π si determinino quelli aventi distanza 1 dall’origine del riferimento.
Argomenti teorici
• Si scriva la definizione di gruppo e se ne forniscano esempi. Si dimostri che in un gruppo ogni elemento ha un unico simmetrico.
• Si scrivano le definizioni di prodotto scalare e di spazio vettoriale euclideo reale. Si enuncino alcune propriet`a del prodotto scalare e si dimostri la disuguaglianza di Schwarz.
• Si scrivano le posizioni reciproche di due rette in uno spazio affine tridimensionale. Si dimostri che due rette di uno spazio affine tridimensionale sono complanari se e solo se sono incidenti oppure parallele.
Traccia I — 1
