cos2(7n) vale Risp.: A : 0 se α &lt

Analisi Matematica 1 30 Gennaio 2013 COMPITO 1

1. La forma esponenziale del numero complesso

z = 6 −1 − i√

√ 3 3(√

3 + i)

!2

vale

Risp.: A : z = 2e^π3i B : z = e^π3i C : z = 2e^π4i D : z = 2e^π6i

2. Sia α ∈ R⁺. Il limite

n→+∞lim

log 1 +_n⁷α
[(n + 1)! − n!]

n! + cos²(7n) vale

Risp.: A : 0 se α < 1, 7 se α = 1, +∞ se α > 1 B : 0 se α ≤ 1, +∞ se α > 1 C : 0 se α > 1, 7 se α = 1, +∞ se α < 1 D : 0 se α > 1, +∞ se α ≤ 1

3. Il limite

lim

x→0⁺

−2e^2x+ 2 + log(1 + 4x)

x sin x .

vale

Risp.: A : −4 B : −12 C : 12 D : −8

4. L’integrale

Z 3 e⁻¹

log(x²) x² dx , vale

Risp.: A : log 3 + 1 B : −²₃log 3 C : ²₃[log 3 + 1] D : −²₃[log 3 + 1]

5. L’integrale improprio

Z +∞

0

sinh x e^βxx^β/2 dx . converge se e solo se

Risp.: A : 1 < β < 4 B : 1 ≤ β < 4 C : 1 < β ≤ 4 D : β > 4

6. Sia f : [2, 3] → R continua, derivabile in ]2, 3[ e tale che f (2)f (3) < 0. Delle seguenti affermazioni

(a) f `e limitata in [2, 3] (b) ∃c ∈]2, 3[ tale che f⁰(c) = 0 (c) ∃c ∈]2, 3[ tale che f (c) = 0 (d) |f |

`

e continua (e) f `e crescente (f) f non ha estremo inferiore finito

le uniche corrette sono

Risp.: A : (c), (d), (e) B : (a), (c), (d) C : (a), (b), (e) D : (b), (c) , (f)

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy







y⁰⁰+ 4y = [¹₄ + 4]e^x/2, y(0) = 0

y⁰(0) = 1 . Allora ˜y (π) vale

Risp.: A : −1 B : e^π2 C : 1 + e^π2 D : −1 + e^π2

8. Sia f la funzione definita da:

f (x) = 1

1 − 2 sin xexp

 1

2 sin x − 1

 .

Sia g := f_|[0,2π] la restrizione di f all’insieme [0, 2π]. Delle seguenti affermazioni (a) Il dominio di g `e [0, 2π] (b) il dominio di g `e [0,^π₆[∪]^π₆,⁵₆π[∪]⁵₆π, 2π] (c) lim_x→^π

6 g(x) = −∞

(d) x = ⁵₆π `e asintoto verticale di g (e) g `e limitata su [0, 2π] (f) lim_x→5

6π⁺g(x) = 0 le uniche corrette sono

Risp.: A : (b), (d), (f) B : (b), (e), (f) C : (b), (c), (d) D : (a), (e), (f)

9. Sia g la funzione dell’esercizio 8. Delle seguenti affermazioni

(a) domg = domg⁰ (b) g `e crescente in ]<sup>π</sup><sub>6</sub>,<sup>π</sup><sub>2</sub>]∪]<sup>5</sup><sub>6</sub>π, π] ∪ [<sup>3</sup><sub>2</sub>π, 2π] (c) x = π `e un punto di minimo relativo (d) x = ³₂π `e punto di minimo relativo (e) f `e positiva su [0,^π₆[∪]⁵₆π, 2π]

le uniche corrette sono

Risp.: A : (c), (e) B : (a), (c) C : (a), (b), (d), (e) D : (c), (d), (e)

10. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.