n + 1 vale Risp.: A : 0 se α ≤ 8

Analisi Matematica 1 10 Gennaio 2013 COMPITO 1

1. Sia D l’insieme degli z ∈ C tali che

((|z| + Rez)²(Imz − 3Rez + 4) ≥ 0 , z − ⁴₃

≤ 3 . Allora l’area di D vale

Risp.: A : 9π B : ^9π₂ C : 0 D : 3π

2. Sia α ∈ R. Il limite

n→+∞lim sin

 1

√n



(n + 1)^αp

n + e^1/n7 −√ n + 1 vale

Risp.: A : 0 se α ≤ 8, +∞ se α > 8 B : 0 se α < 8, 1 se α = 8, +∞ se α > 8 C : 0 se α < 8, 1/2 se α = 8, +∞ se α > 8 D : 0 se α < 8, +∞ se α ≥ 8

3. Dato γ ∈ R, si consideri la funzione g : R → R data da

g(x) =







2 sin x + ^{1−cos x}_x se x > 0,

γ + 7 se x = 0,

7 log(1 + e^1/x) se x < 0.

Allora

Risp.: A : g `e continua su R per γ = −7 ed ammette un punto angoloso in x = 0 B : g `e continua e derivabile su R per γ = −7 C : g `e continua su R per γ = −7 ed ammette un punto di cuspide in x = 0 D : g `e discontinua in x = 0 per ogni valore di γ.

4. Il limite

x→0lim

log(cos(x²√

2)) − x sin x + x² x³sin ^x₆

vale

Risp.: A : 0 B : 3/2 C : +∞ D : −5

5. La serie numerica

+∞

X

n=1

n^|β−7|sinp

n⁴+ 1 − n²



`

e convergente se e solo se

Risp.: A : β < 6 e β > 8 B : 5 < β < 9 C : 6 < β < 8 D : 6 ≤ β ≤ 8

6. Sia F :]1, +∞[→ R la primitiva di

f (x) = x + 1 x³− x² tale che limx→+∞F (x) = 0. Allora F (3) vale

Risp.: A : −2 log³₂ B : ¹₃ − 2 log 3 C : ¹₃− 2 log 2 D : ¹₃ − 2 log³₂

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy

((x²+ 1)y⁰+ 2xy = sin²(7x) , y(0) = 0 .

Allora ˜y ^π₇
vale

Risp.: A : _2[π2^7π+49] B : 0 C : _2[π2¹+49] D : 2[π²+ 49]

8. Sia data la seguente funzione f definita da:

f (x) =p|e^x−2− 3| − 2x . Delle seguenti affermazioni

(a) Il dominio di f `e R (b) il dominio di f `e R\{2+log 3} (c) f non ammette asintoti orizzontali (d) y = −2x +√

3 `e asintoto obliquo di f a −∞ (e) f `e pari le uniche corrette sono

Risp.: A : (b), (d), (e) B : (a), (d), (e) C : (a), (c), (d) D : (a), (c)

9. Sia f la funzione dell’esercizio 8. Delle seguenti affermazioni (a) f⁰(2 + log 5) = ⁵

2√

2 − 2 (b) x = 2 + log 5 `e un punto di massimo relativo (c) x = 2 + log 12

`

e un punto di minimo relativo (d) f `e illimitata inferiormente (e) f `e limitata inferiormente le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (c), (e) B : (a), (b), (c), (e) C : (b), (c), (d) D : (a), (e)

10. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.