Compito di Geometria

Compito di Geometria

20/06/2018 tempo 2h 30m

Dr. Matteo Penegini, Prof. Arvid Perego

Si risolva l’esercizio 1 e a piacere uno degli esercizi 2 o 3.

Esercizio 1. Sia C ⊂ R²la circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1. Si considerino su C le seguenti topologie:

S¹ := (C, top. euclidea), Σ¹ := (C, top. cofinita), S¹ := (C, top. banale) (1) Stabilire se la funzione

f : Σ¹ −→ S¹, f (cos θ, sin θ) 7→ (cos(θ + π), sin(θ + π))

`e continua.

(2) Sia W = (R, top. cofinita) e si definisca su W la seguente relazione di equivalenza per a, b ∈ W

a ∼ b ⇔ a − b ∈ Z Dimostrare che (W/ ∼) ∼=hom S¹.

(3) Dimostrare che i tre spazi topologici X := S¹ × S¹, Y := Σ¹ × S¹ e Z :=S¹ × S¹ con la topologia prodotto non sono tra loro omeomorfi.

(4) Stabilire se esiste, e in caso affermativo definire, una funzione continua f : X −→ Y .

(5) Sia

U := {(x, y) ∈ C| cos θ = x, sin θ = y con θ ∈ [−π 2,π

2] \ 0}

Si determinino chiusura e intrno di U × U in X,Y e Z.

Esercizio 2. Si consideri in R³ un ottaedro bucato (cio`e senza facce) O con il quadrato di base nel piano xy e i due vertici non sulla base sull’asse z, simmetrico rispetto ai piani xy e yz. Per O consideriamo la topologia indotta dalla topologia euclidea di R³. Si consideri Γ lo spazio topologico ottenuto attaccando ad O quattro tetraedri bucati T_i i = 1, . . . 4 nel seguente modo.

T₁ viene attaccato alla faccia contenuta nella parte di spazio z ≥ 0 e y ≥ 0.

T₂ viene attaccato alla faccia contenuta nella parte di spazio z ≥ 0 e y ≤ 0.

T3 viene attaccato alla faccia contenuta nella parte di spazio z ≤ 0 e y ≥ 0.

T4 viene attaccato alla faccia contenuta nella parte di spazio z ≤ 0 e y ≤ 0.

Osserviamo che c’`e un’azione naturale di (Z/2)²su Γ data dalle riflessioni rispetto al piano xy e da quella rispetto al piano yz.

(1) Si calcoli il grupo fondamentale π₁(Γ).

(2) Si calcoli il gruppo fondamentale π₁(Γ/(Z/2)²).

(3) Si riempiano ora le facce di Γ e sia Σ la superficie cos`ı ottenuta, si calcoli χ(Σ).

1

(4) Sia S la superficie compatta che si ottiene identificando i lati di un poli- gono secondo la sequenza

abcdea⁻¹c⁻¹e⁻¹b⁻¹d⁻¹

Determinare se S `e orientabile o no, e determinare la sua caratteristica di Eulero.

(5) Stabilire se Σ e S sono omeomorfe.

Esercizio 3. Si consideri la superficie S in R³ data dalla seguente parametriz- zazione globale:

ϕ : (0, π) × R −→ R³, (u, v) 7→ ( 1

√2cos u + v, sin u, 1

√2cos u − v).

(1) Si determini la natura dei punti di S.

(2) Per ogni punto p di S si determinino le due direzioni principali e le relative curvature principali.

(3) Si determinino curvatura e torsione della curva C tracciata su S indivi- duata sul piano (u, v) dall’equazione v = 0.

(4) Stabilire se u `e il parametro d’arco di C.

(5) Per ogni p ∈ S si determini la curvatura normale lungo le due direzioni uscenti da p e formanti un angolo di π/4 con le direzioni principali in p.

Esercizio 1 2 3 P

Punti 15 15 15 30

Punti Raggiunti