5. Esercizi di Geometria 2
(Semestre Estivo 2019)
Prof. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Si consideri in R3 un ottaedro bucato (cio`e senza facce) O con il quadrato di base nel piano xy e i due vertici non sulla base sull’asse z, simmetrico rispetto ai piani xy e yz. Per O consideriamo la topologia indotta dalla topologia euclidea di R3. Si consideri Γ lo spazio topologico ottenuto attaccando ad O quattro tetraedri bucati Ti i = 1, . . . 4 nel seguente modo.
T1 viene attaccato alla faccia contenuta nella parte di spazio z ≥ 0 e y ≥ 0.
T2 viene attaccato alla faccia contenuta nella parte di spazio z ≥ 0 e y ≤ 0.
T3 viene attaccato alla faccia contenuta nella parte di spazio z ≤ 0 e y ≥ 0.
T4 viene attaccato alla faccia contenuta nella parte di spazio z ≤ 0 e y ≤ 0.
Osserviamo che c’`e un’azione naturale di (Z/2)2su Γ data dalle riflessioni rispetto al piano xy e da quella rispetto al piano yz.
(1) Si calcoli il grupo fondamentale π1(Γ).
(2) Si calcoli il gruppo fondamentale π1(Γ/(Z/2)2).
(3) Si riempiano ora le facce di Γ e sia Σ la superficie cos`ı ottenuta, si calcoli χ(Σ).
(4) Sia S la superficie compatta che si ottiene identificando i lati di un poli- gono secondo la sequenza
abcdea−1c−1e−1b−1d−1
Determinare se S `e orientabile o no, e determinare la sua caratteristica di Eulero.
(5) Stabilire se Σ e S sono omeomorfe.
Esercizio 2. Si considerino in R3 i seguenti insiemi:
X := {(x1, x2, x3) ∈ R3|(x21+x22+x23−1)(2x21+x22+x23−1)(2x21+3x22+3x23−1) = 0}, (1) Si provi che X `e connesso per archi.
(2) Si calcoli il gruppo fondamentale di X.
Esercizio 3. Sia Xn lo spazio topologico ottenuto da un poligono regolare di n lati identificando tutti i lati con la stessa orientazione.
(1) Dimostrare che Xn `e connesso per archi e che π1(Xn, x0) ∼= Z/nZ.
(2) Sia X lo spazio ottenuto da n dischi disgiunti identificandoli tutti attra- verso l’identit`a ai loro bordi. Si costruisca un rivestimento q : X −→ Xn. (3) Sia n un intero positivo pari e G = {k|2k ∈ Z/nZ}. Si costruisca un spazio
Y e un rivesitmento p : Y −→ Xn di Xn tale che p∗(π1(Y, x0)) = G.
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