Esercizio 1. (i) Studiare l’andamento qualitativo della soluzione del Problema di Cauchy {

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 11/6/2013

A.A. 2012/2013

Esercizio 1. (i) Studiare l’andamento qualitativo della soluzione del Problema di Cauchy {

y

= (y

− 4) log(t), y(1) = 0.

Esiste un solo punto di flesso per t > 1?

(ii) Calcolare analiticamente la soluzione.

Esercizio 2. Verificare che la superficie (Σ, ⃗ r) di equazione parametrica

⃗

r(u, v) = (u cos v, v, cos v), (u, v) ∈ [0, 1] × [0, π/2],

` e una superficie regolare e scriverne l’equazione cartesiana. Calcolare inoltre il seguente

integrale ∫

+∂Σ

zdx + xdy + ydz.

Esercizio 3. Classificare le singolarit` a della funzione

f (z) = z

+ 2z sin z

e calcolare ∫

γ

f (z)dz,

dove γ ` e la circonferenza centrata nell’origine e di raggio 4 percorsa in senso antiorario.

Esercizio 4. Sia f (x) = |x|, |x| ≤ π, e si denoti ancora con f il suo prolungamento periodico su R.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scrivere l’identit` a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

∑

1 (2n + 1)

,

∑

1 (2n + 1)

.

Esercizio 5. Classificazione delle singolarit` a isolate delle funzioni olomorfe.

Esercizio 6. Il teorema delle contrazioni di Banach-Caccioppoli.