Conduttività (ohm-cm)-1

(1)

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Anno Accademico 2020/2021

Elettromagnetismo

Modello della conduzione elettrica Forza elettromotrice

Batteria ricaricabile

Lezione n. 19 – 03.12.2020

(2)

Modello della conduzione

• Abbiamo già visto che per avere conduzione è necessario avere cariche elettriche libere nella materia

• Ioni, vale a dire atomi o molecole che hanno perso almeno un elettrone

• Elettroni liberi

• Normalmente il numero di ioni/elettroni è molto piccolo

• Nell'acqua pura la molecola H

₂

O si dissocia in H

⁺

OH

⁻

• In condizioni normali ci sono circa 6×10

¹³

ioni/cm

³

• pH = 7 pari a 10

⁻⁷

moli/litro = 10

⁻¹⁰

moli/cm

³

e 1 mole = 6×10

²³

• Gli ioni/elettroni presenti nell'acqua pura sono responsabili della conduttività dell'acqua

• Per l'acqua pura la conduttività è σ = 4×10

⁻⁶

(ohm-m)

⁻¹

• Sciogliere un sale nell'acqua aumenta il numero di ioni

• Ad esempio aggiungendo NaCl si arriva a circa 10

²⁰

ioni/cm

³

(Na

⁺

Cl

⁻

)

• In un conduttore come il rame ci sono circa 8×10

²²

e/cm

³

( vedi diapositiva )

• In un gas ci sono pochissimi ioni, virtualmente zero

• Una piccola concentrazione di ioni è dovuta alla radioattività naturale

148

426

(3)

Modello della conduzione

• Consideriamo adesso un gas che contiene ioni liberi di massa m

• Supponiamo che la densità sia dell'ordine di 10

²⁵

atomi/m

³

• Gli ioni si muovono liberamente all'interno della sostanza

• Nelle condizioni di densità date la distanza media fra due molecole è dell'ordine di 10

⁻⁸

m pari a un centinaio di raggi molecolari (10

⁻¹⁰

m)

• Nel loro moto caotico urtano con le molecole

• Sono troppo pochi per urtare fra di loro

• Chiamiamo l

_k

la distanza percorsa fra l'urto k e k+1

• Naturalmente le distanze l

_k

sono tutte diverse

• Si definisce libero cammino medio λ

• Il libero cammino medio dipende dalla natura del gas e

dalle sue condizioni termodinamiche (temperatura, densità …)

• Il libero cammino medio di uno ione può essere dell'ordine di 10

⁻⁷

m

• Molto maggiore della distanza media fra molecole

• Abbiamo definito il libero cammino medio seguendo il moto di un singolo ione

• Avremmo potuto definire una media a un dato istante su tutti gli ioni

(4)

Sezione d'urto

• Vogliamo adesso definire e calcolare la probabilità di un urto

• Supponiamo che un elettrone si muova all'interno di un reticolo di ioni del metallo

• Descriviamo gli elettroni come sfere rigide di raggio r

₁

e gli ioni come sfere rigide di raggio r

₂

• Avviene un urto se la distanza d fra i centri delle sfere è inferiore alla somma dei raggi

• Per calcolare la probabilità di interazione supponiamo di "guardare" attraverso uno spessore dz del cristallo

• Intuitivamente la probabilità di interazione dipende dal rapporto fra l'area occupata dai nuclei e l'area del corpo

• Bisognerebbe tenere conto della dimensione dell'elettrone

• Lo facciamo assumendo l'elettrone puntiforme e il raggio del nucleo uguale a r

₁

+ r

₂

= R

• Supponiamo che il corpo abbia un'area S, uno spessore dz e che i suoi dati atomici siano numero di massa A e densità ρ

• La densità di ioni (bersagli) è

• In numero di bersagli nel volume Sdz è

(5)

Sezione d'urto

• Consideriamo adesso

• Un bersaglio di spessore dz e densità (bersagli per unità di volume)

• Un fascio di particelle di area S

• L'area del corpo in cui può avvenire l'interazione è solo S

• Chiamiamo N

₀

il numero di particelle incidenti e σ l'area dei bersagli: σ = πR

²

• La frazione f di area "occupata dai nuclei è

• La frazione f è proprio la probabilità che cerchiamo

• Il numero di particelle che interagiscono è

• L'area σ prende il nome di sezione d'urto

• Lo stesso concetto può essere utilizzato anche quando proiettile e bersaglio non si toccano

• L'interazione avviene tramite un campo

• Elettrico, gravitazionale …

• La teoria del campo permette di calcolare la probabilità di interazione che permette di definire la sezione d'urto σ

• La sezione d'urto è un'area e si misura in m

²

>σ@ = L

²

Unità di misura barn

(6)

Sezione d’urto differenziale

• La sezione d’urto differenziale si introduce quando si vuole studiare la dipendenza

della sezione d’urto da variabili cinematiche

• Nel caso più semplice dagli angoli

• Se invece di considerare tutte le interazioni si considerano solo quelle che producono una particella nello stato finale in un angolo solido d Ω

• L’unità di misura della sezione d’urto differenziale è barn per steradiante b/sr

• La sezione d’urto differenziale e la sezione d’urto totale sono legate

• Spesso non c’è dipendenza da φ

(7)

Urto elastico di sfere

• Ritorniamo al problema degli urti degli elettroni con il reticolo

• Possiamo assumere che gli urti siano elastici

• Nell'urto si conserva l'energia e la quantità di moto

• Schematizziamo le due particelle in collisione come sfere rigide

• Vogliamo calcolare la sezione d'urto differenziale

• L'obiettivo è calcolare la distribuzione angolare degli elettroni dopo l'urto

• Consideriamo due sfere rigide di raggi r

₁

e r

₂

• La sfera di raggio r

₁

si muove da sinistra verso destra

• La sfera di raggio r

₂

è ferma

• Definiamo il parametro d'impatto b

• La distanza fra due rette parallele alla velocità e passanti per i centri

• Consideriamo la normale alle sfere passante per il punto di contatto

• L'angolo α fra la normale e la direzione incidente è

uguale all'angolo α fra la normale e la direzione deflessa

• Definiamo l'angolo di deflessione θ

• La relazione fra b e θ è univoca

(8)

Urto elastico di sfere

• Per calcolare la sezione d'urto differenziale dell'urto fra due sfere rigide supponiamo che ci sia un flusso uniforme di particelle N

₀

• Uniformemente distribuite su una superficie

• N

₀

= particelle per unità di superficie

• Consideriamo un centro diffusore

• Consideriamo inoltre l'angolo solido dΩ sotteso dall'anello di sfera centrato sul centro diffusore

• Ci chiediamo quante particelle sono deflesse nell'angolo solido dΩ

• L'angolo di deflessione dipende dal parametro di impatto

• Le particelle diffuse nell'angolo solido dΩ ad angolo θ sono quelle che hanno parametro di impatto b(θ)

• Contenute nella corona circolare di raggio b

(9)

Sezione d'urto differenziale

• Le particelle deflesse in dΩ sono le stesse che attraversano la corona dS

• Per definizione di sezione d'urto

• Il segno meno perché ad un dθ positivo corrisponde un db negativo

• Vediamo che la sezione d'urto non dipende da θ

• La particella ha una probabilità uniforme di essere stata deflesse in una direzione qualunque

uguagliando

La particella ha perso la

memoria della direzione iniziale

(10)

Modello della conduzione

• Il calcolo precedente ha mostrato che nell'urto elastico di due sfere rigide la particella incidente perde memoria della sua direzione iniziale

• Nel caso più generale di un urto questo potrebbe essere non vero

• Ad esempio se l'urto fosse mediato da un potenziale di Coulomb

• Tuttavia la memoria della direzione iniziale viene persa rapidamente

• Una trattazione statistica degli urti mostrerebbe che esiste un tempo t

_c

dopo il quale la correlazione fra direzione iniziale e finale si perde

• In un tempo t

_c

ci possono essere tanti urti

• Naturalmente il tempo t

_c

dipende dallo ione, dalla sostanza, dalle condizioni termodinamiche

• Pertanto se in dato momento uno ione ha una velocità u , dopo un certo numero di collisioni avrà una velocità u ' la cui direzione interseca uniformemente una sfera centrata sulla posizione dello ione

• Per semplificare la trattazione possiamo supporre che questa condizione si verifichi dopo ogni urto

• Non sarebbe necessario ma la trattazione sarebbe più complicata

• In pratica stiamo supponendo che le particelle siano sfere rigide

(11)

Modello della conduzione

• Supponiamo adesso di applicare un campo elettrico E uniforme al gas debolmente ionizzato descritto precedentemente

• Supponiamo che subito dopo un urto lo ione abbia una velocità u

_c

completamente scorrelata da quella che aveva prima dell'urto

• Supponiamo che prima dell'urto successivo passi un tempo t

• In questo tempo il campo elettrico esercita una forza eE

• Al tempo t lo ione avrà una quantità di moto

• Abbiamo visto prima che le velocità di agitazione termica sono molto maggiori della velocità di deriva

• Possiamo supporre che la variazione di quantità di moto impartita dal campo elettrico non modifichi la probabilità delle interazioni successive

• Se in un istante di tempo arbitrario potessimo esaminare lo stato di tutti gli ioni scopriremmo

• Che lo ione j ha subito una collisione t

_j

secondi prima

• La sua quantità di moto è p

_j

= mu

_jc

+ eEt

_j

• La velocità u

_jc

è in una direzione casuale

(12)

Modello della conduzione

• Calcoliamo la quantità di moto media degli ioni

• Esaminiamo i due termini

• Il primo

• Il secondo

• Tramite la quantità di moto media definiamo la velocità di deriva

• Pertanto in presenza di un campo elettrico gli ioni acquistano una velocità nella direzione del campo e proporzionale al campo stesso

• Notiamo che è la velocità a essere proporzionale a E , non l'accelerazione

• Definiamo infine la mobilità dello ione

È nullo: le velocità u

_jc

_sono

in tutte le direzioni casualmente Abbiamo definito il tempo

medio fra le collisioni τ

(13)

Medie d'insieme e medie temporali

• Vale la pena fare un'interessante osservazione

• Il valore medio che abbiamo calcolato è fatto "osservando"

tutti gli ioni in un dato istante di tempo

• Una sorta di "fotografia"

• Questo tipo di media prende il nome di "media di insieme"

• L'ipotesi, molto naturale, è che tutti gli ioni abbiano le stesse caratteristiche fisiche

• Sarebbe possibile un altro tipo di media, concettualmente differente

• Si potrebbe seguire un singolo ione in un grande numero di urti successivi

• In questo caso il tempo t

_j

è l'intervallo di tempo trascorso fra la collisione j e la collisione j+1

• La media viene fatta sulla "storia" del singolo ione

• Questo tipo di media prende il nome di "media temporale"

• A priori non è detto che le due medie diano lo stesso risultato

• I processi statistici (processi stocastici) per i quali le due medie danno lo

stesso risultato si chiamano processi ergodici

(14)

Modello della conduzione

• Ritorniamo al nostro modello della conduzione

• Abbiamo trovato che sotto l'effetto del campo elettrico gli ioni si muovono in media nella direzione del campo applicato con una velocità

• Prende il nome di velocità di deriva

• Osserviamo che la forza e la velocità sono proporzionali

• Una relazione simile si ha per le forze di attrito durante il moto in un fluido viscoso

• In questo tipo di moto la particella raggiunge una velocità terminale quando la forza di attrito risulta uguale alla forza esterna

• Ad esempio la velocità terminale di caduta nell'atmosfera

• Nel nostro caso potremmo riscrivere l'equazione come

• Possiamo pertanto interpretare la velocità di deriva

come la velocità terminale di una particella in un fluido viscoso

• L'osservazione fatta è più di una semplice analogia

• Nel moto descritto lo ione dissipa energia (come vedremo)

(15)

Modello della conduzione

• Richiamiamo la formula per la densità di corrente ( diapositiva )

• Riscriviamola utilizzando la formula per la velocità di deriva trovata in precedenza

• Supponiamo di avere ioni positivi e ioni negativi

• Le masse, i tempi medi di collisione e le mobilità sono rispettivamente: m

⁺

, m

⁻

, τ

⁺

, τ

⁻

, μ

⁺

, μ

⁻

• Chiamiamo n la densità (uguale) di ioni (positivi e negativi)

• La densità di corrente è

• In questo modello la conduttività è

359

624

(16)

Modello della conduzione

• Vale la pena sottolineare che le ipotesi essenziali per giungere alla legge di proporzionalità fra la densità di corrente J e il campo elettrico E sono state

• Densità dei portatori di carica rimane costante

• Meccanismo dell'urto che fa perdere memoria della direzione della velocità

• Se si verificano queste ipotesi si arriva alla legge di Ohm

• Naturalmente il nostro modello non predice il valore del tempo medio fra le collisioni τ

• Né tantomeno predice se τ dipende dalla velocità del portatore di carica

• In generale una teoria per poter predire τ è molto complessa

• Si utilizzano metodi di Meccanica Statistica e Termodinamica

• Occorre una teoria della struttura della materia

• Si utilizza la cosiddetta equazione del trasporto

• Possiamo addirittura dire che una teoria per predire la conduttività di una sostanza è nient'altro che una teoria per predire τ

• Non faremo altri approfondimenti di questo interessante argomento

(17)

Tipi di materiali

• Discutiamo adesso le tre classi in cui vengono suddivisi i materiali in base alla loro conduttività

• Utilizziamo qualitativamente il modello che abbiamo discusso

• Il grafico mostra la conduttiva in funzione della temperatura per alcuni materiali

• Si notano tre classi di materiali

• Gli isolanti

• Conduttività inferiore a 10

⁻⁴

(ohm-cm)

⁻¹

• I semiconduttori

• Conduttività compresa fra 10

⁻²

e 10

⁴

(ohm-cm)

⁻¹

• I conduttori

• Conduttività maggiore di 10

⁶

(ohm-cm)

⁻¹

• Per comprendere a fondo le differenze fra i diversi tipi di materiali sarebbe necessaria la teoria quantistica della materia

• In particolare per i conduttori e i semiconduttori

• Il modello classico sviluppato consente tuttavia

di comprendere alcuni degli aspetti più semplici

(18)

Tipi di materiali: isolanti

• Nella figura è rappresentata la conduttività

• Del vetro

• Del cloruro di sodio (NaCl) cristallino

• A temperatura ambiente il vetro è un ottimo isolante

• Gli ioni non possono muoversi e sono saldamente ancorati alla struttura molecolare del vetro

• Al crescere della temperatura i legami si indeboliscono

• Un certo di numero di ioni (piccolo) può muoversi sotto l'influenza di un campo elettrico

• Per un isolante la conduttività dipende principalmente dal valore della mobilità

• Il numero dei portatori di carica rimane pressoché costante

Per il cloruro di sodio NaCl si possono fare considerazioni analoghe

Conduttività (ohm-cm)-1

NaCl

Vetro

(19)

Tipi di materiali: semiconduttori

• Nel grafico sono riportate le conduttività di germanio e silicio

• Anche in questo caso la conduttività ha una forte dipendenza dalla temperatura

• Il motivo è diverso da quello degli isolanti

• Nei semiconduttori il numero dei portatori

di carica dipende fortemente dalla temperatura

• Allo zero assoluto non ci sarebbero portatori di carica liberi

• Sarebbero degli isolanti

• Al crescere della temperatura il numero

dei portatori cresce e la conduttività aumenta

• Ci sono portatori di carica negativi (elettroni) e positivi (buche)

• Hanno circa la stessa massa e mobilità confrontabili

Conduttività (ohm-cm)-1

Silicio

Germanio

(20)

Tipi di materiali: conduttori

• Nel grafico sono riportate le conduttività di rame e piombo

• Notiamo che la conduttività aumenta al diminuire della temperatura

• Nei conduttori i portatori di carica sono elettroni

• Il numero degli elettroni è estremamente elevato: nel rame circa n ∼ 8.6×10

²²

e/cm

³

• La conduttività del rame è σ = 6×10

⁷

(Ω-m)

⁻¹

• Nel nostro modello la conduttività è data da

• Inoltre la velocità termica degli elettroni è v ∼ 10

⁵

m/s: vτ ≈ 2.5×10

⁻⁹

m

• Troppo grande confrontato con il passo reticolare: l ∼ 3.8 ×10

⁻¹⁰

mτ

• Per comprendere perché l'elettrone interagisce così poco con il reticolo occorre la meccanica quantistica

• Quello che rallenta l'elettrone sono le imperfezioni del reticolo

• Le vibrazioni causano una sorta di imperfezione

• Questo spiega qualitativamente perché la conduttività aumenta quando la temperatura diminuisce

Conduttività (ohm-cm)-1

Rame Piombo

l vτ

(21)

Dissipazione di energia

• Il flusso di corrente in un conduttore (in una resistenza) comporta dissipazione di energia

• Nel nostro modello di conduttività il campo elettrico fa guadagnare quantità di moto (e energia) ai portatori di carica

• Compie un lavoro sui portatori di carica

• Nel modello di conduzione che abbiamo elaborato il lavoro fatto dal campo elettrico viene trasferito alle molecole del fluido o al reticolo cristallino

• Gli urti rendono casuale la direzione della particella dopo l'urto

• Tuttavia l'energia media trasferita dallo ione alla molecola non è nulla

• L'energia così trasferita si manifesta sotto forma di calore

• Consideriamo una resistenza R percorsa da una corrente I

• La differenza di potenziale è

• In un tempo dt una carica dq = Idt perde energia

• La potenza "dissipata" nella resistenza (effetto Joule) è

• Utilizzando la legge di Ohm si possono scrivere le

espressioni equivalenti

(22)

Forza elettromotrice

• Veniamo adesso al problema che abbiamo a lungo rinviato

• Come si mantiene la corrente elettrica?

• Abbiamo appena visto che una corrente elettrica dissipa energia in un conduttore

• Chi fornisce l'energia dissipata?

• Vediamo meglio dove sta il problema

• Supponiamo di avere un generatore e una resistenza

• Anche se non sappiamo ancora come funziona

• Per effetto del generatore la carica compie un percorso chiuso

• L'energia dissipata deve provenire dal lavoro fatto sulla carica

• Supponiamo che la forza che agisce sulla carica sia

• Il lavoro fatto nel percorso chiuso è

• Ma il campo E è conservativo

• Pertanto ci deve essere un'altra forza oltre alla forza elettrica

• Una forza che mantiene le cariche in moto e fornisce continuamente energia

• Una forza con queste caratteristiche si chiama Forza Elettromotrice

(23)

Cella elettrolitica

• Consideriamo un recipiente contenente acqua

• Abbiamo detto che l'acqua pura ha un numero

piccolo di molecole dissociate → bassa conduttività

• L'aggiunta di un sale o di un acido aumenta di molto il numero di ioni presenti nell'acqua

• Ad esempio aggiungendo acido solforico H

₂

SO

₄

• La soluzione rimane comunque neutra

• Se aggiungiamo due elettrodi e stabiliamo fra di essi una differenza di potenziale nella soluzione si stabilisce una corrente

• Gli ioni e gli elettroni sono i portatori di carica

• Le loro densità e mobilità determinano la conducibilità della soluzione

• Il dispositivo così realizzato prende il nome di cella elettrolitica

• La soluzione prende il nome di soluzione elettrolitica

• La sostanza disciolta in soluzione prende il nome di elettrolita

• Il materiale di cui sono composti gli elettrodi è importante

• Può causare comportamenti diversi della cella elettrolitica

• In particolare la cella può comportarsi come una pila (generatore di forza

elettromotrice)

(24)

Batteria ricaricabile

• Descriviamo una pila reversibile a base di piombo

• Reversibile significa che può essere ricaricata

• È utilizzata nelle automobili, nelle moto (accumulatore)

• La cella elettrolitica è una soluzione di H

₂

SO

₄

in acqua

• I due elettrodi sono

• Uno fatto di piombo puro (Pb), l'elettrodo negativo

• Uno fatto di biossido di piombo (PbO

₂

), l'elettrodo positivo

• Esaminiamo quello che avviene nell'elettrodo di piombo

• In particolare nella regione a contatto con la soluzione

• Un certo numero di atomi di Pb metallico dello elettrodo perde 2 elettroni e passa alla soluzione

• Nella soluzione lo ione piombo Pb

⁺⁺

si combina con lo ione SO

₄⁻⁻

formando PbSO

₄

• Combinandosi con SO

₄⁻⁻

il Pb

⁺⁺

in soluzione lascia due ioni H

⁺

non neutralizzati

• Questa reazione avviene perché energeticamente favorita

• Il Pb in soluzione ha un'energia inferiore a quella del Pb nel metallo

• Complessivamente due elettroni sono nell'elettrodo e due ioni positivi H

⁺

sono nella soluzione

Elettrodo e soluzione non sono più neutri, si sono caricati

● Complessivamente

(25)

Batteria ricaricabile

• Pertanto l'elettrodo Pb si carica negativamente

• Gli ioni H

⁺

si dispongono molto vicini alla superficie dell'elettrodo

• Si forma il cosiddetto doppio strato

• Osserviamo che i due strati di carica generano un campo elettrico (elettrostatico)

• Per passare in soluzione lo ione Pb

⁺⁺

deve vincere la forza del campo elettrico che lo spingerebbe a rimanere dentro l'elettrodo

• L'energia che lo ione Pb

⁺⁺

perde passando in soluzione è maggiore di quella che guadagnerebbe spostandosi in direzione opposta campo elettrico

• Naturalmente man mano che il piombo va in soluzione la carica del doppio strato aumenta

• Ad un certo punto il campo elettrico è diventato così intenso che il passaggio di ioni Pb

⁺⁺

alla soluzione si arresta

• L'energia che lo ione di piombo perderebbe passando in soluzione è diventata minore di quella che guadagnerebbe spostandosi in direzione opposta campo elettrico

• Il sistema elettrodo-soluzione ha raggiunto l'equilibrio

• C'è una differenza di potenziale fra l'elettrodo e la soluzione

Questa è l'origine della forza elettromotrice

(26)

Batteria ricaricabile

• All'elettrodo positivo (PbO

₂

) hanno luogo reazioni simili

^†

• In particolare il piombo tetravalente del PbO

₂

si riduce a piombo bivalente

• Anche in questo caso avviene la reazione energeticamente favorita

• Questa reazione "consuma" elettroni del metallo

• L'elettrodo si carica positivamente

• Vengono attratti ioni negativi nella soluzione

• Si forma un doppio strato

• Gli ioni H

⁺

che hanno ridotto il Pb tetravalente hanno attraversato il doppio strato contro il campo elettrico

• Ancora una volta è comparsa una forza elettromotrice

• Per finire il piombo bivalente si combina con gli ioni solfato formando un sale che precipita

• Complessivamente al catodo è avvenuta la seguente reazione

• ^†Barak M. ed. – Electrochemical Power Sources -The Institution of Engineering and Technology (1980) p. 188

(27)

Batteria ricaricabile

• Anche all'elettrodo positivo si raggiunge una condizione di equilibrio

• Il campo elettrico del doppio strato diventa molto intenso e il passaggio di ioni H

⁺

all'elettrodo PbO

₂

richiederebbe un'energia maggiore di quella

guadagnata dalla riduzione del Pb tetravalente

• In queste condizioni fra gli elettrodi della batteria c'è una differenza di potenziale di circa 2 V

• Se adesso colleghiamo una resistenza fra gli elettrodi comincia a scorrere una corrente

• Dall'elettrodo positivo a quello negativo

• Gli elettroni passano dall'elettrodo Pb al PbO

₂

• I campi elettrici dei due doppi strati si indeboliscono

• Le reazioni riprendono

• La batteria mantiene la corrente e cede energia al sistema esterno

• Durante il funzionamento la batteria consuma Pb metallico e biossido PbO

₂

• Questo processo può essere invertito

• Se si collega un generatore agli elettrodi con una forza elettromotrice maggiore di quella della batteria tutte le reazioni hanno luogo in senso inverso

• La batteria si ricarica

(28)