Analisi A ( 12 crediti, I semestre, I anno)
Sistema dei Numeri Reali. Assioma di Dedekind. Estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Proprieta’ di densita’ dei razionali. Topologia della retta: insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione, frontiera e chiusura di insiemi. Teorema di Bolzano-Weiestrass. Numeri naturali e principio d’induzione.
Successioni Numeriche. Limiti di successioni e loro proprieta’. Operazioni con i limiti.
Successioni monotone e definizione del numero di Nepero. Sottosuccessioni, massimo e minimo limite. Criterio di convergenza di Cauchy.
Funzioni di una variabile reale. Generalita’.Grafico di funzione. Funzione composta e funzione inversa. Limite di funzione, limite destro e limite sinistro. Limite di funzioni monotone. Funzioni continue. Punti di discontinuita’. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi e Teorema di Weiestrass. Uniforme continuita’ e Teorema di Heine - Cantor. Funzioni continue invertibili.
Calcolo Differenziale. Definizione geometrica e analitica di derivata. Regole di derivazione. Punti di non derivabilita’ Intervalli di monotonia e derivabilita’. Massimi e minimi relativi e Teorema di Fermat. Massimi e minimi assoluti su insiemi compatti.
Teoremi di Rolle,Lagrange e Cauchy. Teoremi di De L’Hopital . Studio di funzioni e grafici.
Sviluppi di Taylor con resto di Lagrange, resto di Cauchy, applicazioni al calcolo dei limiti e al calcolo di valori numerici approssimati. Funzioni convesse, massimi, minimi, flessi. Studi di funzione.
Integrazione secondo Riemann. Primitive di funzioni continue e integrale indefinito.
Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Alcune sostituzioni speciali (integrali binomi).Integrale di Riemann e sue proprieta’. Criterio di integrabilità’. Integrabilita’ di funzioni continue e di funzioni monotone. Teorema fondamentale del Calcolo integrale. Formula di derivazione di Leibnitz, studio delle funzioni integrali.
Serie Numeriche, proprieta’ generali, criterio di Cauchy, serie a termini non negativi, criteri della radice e del rapporto. Criterio di condensazione di Cauchy. Convergenza assoluta. Serie di segno alterno. Formula di sommazione di Abel e criteri di Abel e Dirichlet. Applicazioni alle serie trigonometriche.
Integrali impropri. Teoremi di confronto, confronto asintotico, assoluta integrabilita’.
Cenni di equazioni differenziali lineari del primo ordine e del secondo ordine a coefficienti costanti.
Analisi B ( 9 crediti, I semestre, II anno)
Spazi metrici e normati, limiti di successioni e funzioni, continuita’. Spazi metrici completi, teorema delle contrazioni.
Calcolo Differenziale in piu’ variabili, derivate parziali e direzionali, differenziali e gradienti, linee di livello, massimi e minimi, teorema del Dini, teoremi di inversione locale e teorema delle funzioni implicite.
Estremi vincolati, moltiplicatori di Lagrange.
Integrazione di Riemann per funzioni di due, tre variabili, integrazione su domini normali, applicazioni geometriche e fisiche, cambi di variabile. Cenni alla misura di Peano-Jordan, Integrali multipli in n-variabili, cambi di variabile, applicazioni.
Forme differenziali, richiami sulle curve piane, curve rettificabili, integrali curvilinei Integrazioni di campi vettoriali, forme chiuse, forme estate. Campi irrotazionali e conservativi. Formula di Gauss - Green.
Richiami sulle superfici in forma parametrica, orientamenti, integrali di superficie.
Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza (detto anche di Gauss Ostrogradskij), Teorema di Stokes. Applicazioni.
Analisi C ( 6 crediti, II semestre, II anno)
Equazioni differenziali ordinarie in forma normale e in forma implicita. Riduzione al primo ordine di problemidi ordine superiore. Problema di Cauchy.
Teorema di Cauchy Lipschitz di esistenza e unicita’ locale, teoremi di prolungamento e di dipendenza continua dai dati. Esplosione in tempi finiti. Fenomeno di Peano. Studi qualitativi per equazioni differenziali ordinarie.
Operatori differenziali lineari a coefficienti costanti. Sistemi del primo ordine, matrici esponenziali. Operatori a coefficienti variabili, wronskiani. Formule di variazione delle costanti.
Successioni eserie di funzioni, convergenza puntuale e uniforme. Serie di funzioni, serie di potenze, funzioni analitiche reali. Passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata.
Serie di Fourier, teoremi di convergenza.
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