Esame scritto di Geometria 2

Esame scritto di Geometria 2

Appello del 16 gennaio 2018

Esercizio 1 Sia R _t =





cos t − sin t 0 sin t cos t 0

0 0 1



 la matrice di rotazione positiva di angolo t intorno all’asse delle z in R ³ . Si consideri la curva γ : R → R ³ data da

γ(t) = R t



 e ^t e ^t t



 1. Si dimostri che γ ` e una curva biregolare.

2. Si determini il triedro di Frenet (T (t), N (t), B(t)) al variare di t ∈ R.

3. Sia Σ = {(x, y, z) ∈ R ³ |x ² + y ² = 2e ^2z } Si mostri che Σ `e una superficie regolare e che γ ` e contenuta in Σ. Si discuta infine se γ sia o non sia una geodetica di Σ.

Esercizio 2 Si consideri la mappa

σ : (−π, π) × (−1, 1) → R ³ definita da

σ(θ, s) = ( √

1 − s ² cos θ, √

1 − s ² sin θ, s) .

1. Si dimostri che σ ` e una parametrizzazione di un aperto U della sfera unitaria S ² determinando esplicitamente U .

2. Si calcoli la prima e la seconda forma fondamentale di U nella parametriz- zazione data.

3. Sia U _a l’immagine tramite σ dell’insieme {(θ, s) ∈ (−π, π) × (−1, 1)|θ ² + s ² ≤ a ² }. Per a < 1 si determini l’area di σ(U _a ).

4. Si consideri per a < 1 la curva in U definita da γ _a (r) = σ(a cos r, a sin r).

Detta k a la curvatura geodetica di γ si calcoli R

γ

k a d` a . Esercizio 3

Siano

X = {(x, y, z) ∈ R ³ | x ² + y ² − z ² = 1}, Y = {(x, y, z) ∈ R ³ | y ² + x ² = 1}, Z = {(x, y, z) ∈ R ³ | 1 ≤ x ² + y ² ≤ 4, z = 0}, P = (1, 1, 0).

1. Dire se X ∪ Y ` e connesso per archi.

2. Determinare il gruppo fondamentale di X ∪ Y . 3. Determinare il gruppo fondamentale di X ∪ (Z \ P ) . 4. Dire se X ∪ Y e X ∪ (Z \ P ) sono omeomorfi.

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