SEGNALI E SISTEMI 19 settembre 2017

SEGNALI E SISTEMI 19 settembre 2017

Esercizio 1. [4+2+2+4+1 punti] Si consideri il seguente sistema descritto da una equazione alle differenze lineare e a coefficienti costanti, inizialmente riposo:

v(k) − v(k − 1) + (a − a²)v(k − 2) = u(k) − u(k − 1), dove a `e un parametro reale.

i) Si studi la stabilit`a asintotica e la stabilit`a BIBO del sistema, al variare di a ∈

R

^;

ii) si determini, al variare di a ∈

R

\ {0}, l’espressione dell’evoluzione libera del sistema a partire dalle generiche condizioni iniziali;

iii) si determini, al variare di a ∈

R

, la risposta impulsiva del sistema;

iv) si determini, al variare di a ∈

R

, la risposta forzata del sistema al segnale in ingresso u(k) = 2^kδ₋₁(k);

v) si determini per a = 1/2 (se esiste) la risposta del sistema all’ingresso u(k) = 10, k ∈

Z

^.

Esercizio 2. [3+3+1 punti] Si consideri il segnale (periodico) u(t) = (cos(2πf0t) + b)², t ∈

R

^.

con f0= 1/T e b assegnato numero reale. Determinare i) l’uscita v(t) del filtro con risposta in frequenza

H(f ) = Π f − 1/T 2W



+ Π f + 1/T 2W

 , 0 < W < 1/T , al segnale di ingresso u(t);

ii) i coefficienti dello sviluppo in serie esponenziale di Fourier del segnale u(t);

iii) eventuali valori del parametro b nell’espressione del segnale u(t), per cui la potenza del segnale v(t), di cui al punto i), vale 1.

SEGNALI E SISTEMI 19 settembre 2017

Teoria 1. [2+3 punti] Per un sistema descritto da una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, inizialmente a riposo, fornire la definizione di asintotica stabilit`a e di BIBO stabilit`a. Per un sistema reale e BIBO stabile di risposta in frequenza H(jω) calcolare la risposta al segnale

u(t) = A cos (2πf0t + φ) , t ∈

R

^.

Teoria 2. [5 punti] Enunciare e dimostrare il teorema del campionamento ideale.

SOLUZIONI

Esercizio 1. i) [4 punti] Per a = 0, 1 l’equazione caratteristica del sistema `e z − 1 = 0 ed il sistema non `e asintoticamente stabile. Per a 6= 0, 1, l’equazione caratteristica del sistema `e

0 = z²− z + a − a²= (z − a)(z − 1 + a) = 0.

E immediato rendersi conto del fatto che il sistema `e asintoticamente stabile se e solo se`

 |1 − a| < 1

|a| < 1 ovvero

 −1 < 1 − a < 1

−1 < a < 1 e quindi

 0 < a < 2

−1 < a < 1.

In definitiva il sistema `e asintoticamente stabile per a ∈ (0, 1) .

Per quanto concerne la stabilit`a BIBO, certamente per tutti i valori del parametro a per cui c’`e stabilit`a asintotica c’`e pure stabilit`a BIBO. Per vedere se esistono valori del parametro a in corrispondenza ai quali abbiamo stabilit`a BIBO senza avere la stabilit`a asintotica consideriamo la funzione di trasferimento (fdt) del sistema

H(z) = z(z − 1) (z − a)(z − 1 + a).

La fdt non `e in forma irriducibile per a = 0 e per a = 1. Per tali valori del parametro la fdt diventa

H(z) = 1

ed il sistema `e BIBO stabile. Quindi il sistema `e BIBO stabile se e solo se a ∈ [0, 1] .

ii) [2 punti] Per a = 1 la radice dell’equazione caratteristica `e pari a 1. Quindi l’evoluzione libera `e data da

vℓ(k) = c1, k ≥ −1 con c1= v₋₁.

Per a 6= 1 le soluzioni dell’equazione caratteristica sono a e 1 − a e sono distinte per a 6= 1/2.

Quindi l’espressione dell’evoluzione libera `e data da

vℓ(k) = c1a^k+ c2(1 − a)^k, k ≥ −2.

per a 6= 1, 1/2 e

vℓ(k) = c1

 1 2

k

+ c2k  1 2

k

, k ≥ −2 per a = 1/2. Pertanto, per a 6= 1, 1/2, tenendo conto del fatto che

v₋₁ ≡ v(−1) = vℓ(−1) = ^c_a¹ +_1−a^c2 , v₋₂ ≡ v(−2) = vℓ(−2) = ^c_a¹² +_(1−a)^{c2 2},

`e immediato verificare che c2=^a(1−a)_2a−1² v₋₂−^v−_a¹
e c1= a

v₋₁−_1−a^c2 

= _2a−1^a2 (v₋₁− (1 − a)v₋₂) . Inoltre, per a = 1/2, il sistema nelle incognite c1 e c2 diventa

v₋₁ ≡ v(−1) = vℓ(−1) = 2c1− 2c2, v₋₂ ≡ v(−2) = vℓ(−2) = 4c1− 8c2, e restituisce c2=^2v−1₄^−v−2 e c1= v₋₁−^v−₄².

iii) [2 punti] La fdt del sistema `e data da

H(z) = z(z − 1) (z − a)(z − 1 + a). Quindi

H1(z) = H(z)

z = z − 1

(z − a)(z − 1 + a) che si decompone in fratti semplici come

H1(z) = A

z − a+ B z − 1 + a per a 6= 1/2 e

H1(z) = A

z − 1/2+ B (z − 1/2)²

per a = 1/2. Di conseguenza, l’espressione della risposta impulsiva `e data da h(k) =h

Aa^k+ B (1 − a)^ki δ₋₁(k) per a 6= 1/2 e

h(k) =

"

A 1 2

^k

+ 2Bk 1 2

^k# δ₋₁(k)

per a = 1/2. Inoltre, i coefficienti A e B sono immediatamente calcolabili per a 6= 1/2 come A = lim

z→a(z − a)H1(z) = a − 1 2a − 1 e

B = lim

z→1−a(z − 1 + a)H1(z) = −a 1 − 2a. Infine, per a = 1/2, risolvendo il sistema

A(z − 1/2) + B = z − 1

troviamo A = 1 e B = −1/2. Si noti che l’espressione della risposta impulsiva per a 6= 1/2 include come casi particolari a = 0, 1 (infatti, per a = 0, 1 la fdt `e data da H(z) = 1 e la risposta impulsiva diventa h(k) = δ(k)).

iv) [4 punti] La trasformata zeta di u(k) `e data da U (z) = z

z − 2.

Quindi la trasformata zeta della corrispondente evoluzione forzata `e Vf(z) = H(z)U (z) = z²(z − 1)

(z − 2)(z − a)(z − 1 + a). Lo sviluppo in fratti semplici di Vf 1(z), i.e.,

Vf 1(z) = Vf(z)

z = z(z − 1)

(z − 2)(z − a)(z − 1 + a) necessita di considerare i seguenti casi

• a = 1/2: Vf 1(z) `e data da

Vf 1(z) = z(z − 1)

(z − 1/2)²(z − 2) = A

z − 1/2+ B

(z − 1/2)²+ C z − 2 a cui corrisponde una espressione nel dominio del tempo

vf(k) =

"

A 1 2

k

+ 2Bk 1 2

k

+ C2^k

# δ₋₁(k).

Inoltre, i coefficienti sono dati da B = lim

z→1/2(z − 1/2)²Vf 1(z) = 1/2(−1/2)

−3/2 =1 6, C = lim

z→2(z − 2)Vf 1(z) = 2 (3/2)² = 8

9, A + C = 1 ovvero A = 1 − C = ¹₉.

• a = 2, −1: Vf 1(z) `e data da

Vf 1(z) = z(z − 1)

(z − 2)²(z + 1) = A

z − 2+ B

(z − 2)² + C z + 1 a cui corrisponde una espressione nel dominio del tempo

vf(k) =



A2^k+1

2Bk2^k+ C(−1)^k

 δ₋₁(k).

Inoltre, i coefficienti sono dati da B = lim

z→2(z − 2)²Vf 1(z) = 2 3, C = lim

z→−1(z + 1)Vf 1(z) = −1(−2)

9 = 2

9, A + C = 1 ovvero A = 1 − C = ⁷₉.

• a 6= −1, 1/2, 2: Vf 1(z) `e data da Vf 1(z) = z(z − 1)

(z − 2)(z − a)(z − 1 + a) = A

z − 2 + B

z − a+ C z − 1 + a a cui corrisponde una espressione nel dominio del tempo

vf(k) =A2^k+ Ba^k+ C(1 − a)^k δ₋₁(k).

Inoltre, i coefficienti sono dati da A = lim

z→2(z − 2)Vf 1(z) = 2 (2 − a)(1 + a), B = lim

z→a(z − a)Vf 1(z) = a(a − 1) (a − 2)(2a − 1) e

C = lim

z→1−a(z − 1 + a)Vf 1(z) = (1 − a)(−a)

(−1 − a)(1 − 2a)= a(a − 1) (1 + a)(2a − 1).

v) [1 punto] Per a=1/2 il sistema `e BIBO stabile e la risposta in frequenza H e^j2πν
cor- risponde alla fdt H(z) ristretta alla circonferenza di raggio unitario e centro nell’origine (del piano complesso) ovvero H(z) per z = e^j2πν, ν ∈ [0, 1). D’altro canto, la risposta al segnale costante (interpretabile come un fasore con frequenza ν = 0) si ottiene come prodotto del guadagno in continua del filtro per il segnale d’ingresso, i.e.,

v(k) = H(z)_|z=ej2π0u(k), k ∈

Z

^.

Poich`e il guadagno in continua `e nullo la risposta del sistema `e identicamente nulla.

Esercizio 2. i) [3 punti] Il segnale in questione pu`o essere riscritto come u(t) = b²+ 2b cos(2πf0t) + cos²(2πf0t) = 1

2 + b²+ 2b cos(2πf0t) +1

2cos(2π2f0t), t ∈

R

a cui corrisponde la risposta

v(t) = 2b cos(2πf0t), t ∈

R

^.

ii) [3 punti] Osservando che u(t) = 1

2 + b²+ b e^j2πf0t+ e^−j2πf0t
+1

4 e^j2π2f0t+ e^−j2π2f0t

i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier del segnale in questione, periodico di periodo f0= 1/T , sono dati da u0= ¹₂+ b², u_±1 = b e u_±2= ¹₄.

iii) [1 punti] La potenza del segnale

v(t) = 2b cos(2πf0t)

`e Pv= ^(2b)

2

2 = 2b². Quindi la condizione 2b²= 1 restituisce b = ±^√1₂.

Teoria 1. [2+3 punti] Si veda il libro di testo, capitolo 2, paragrafo 2.2.4 e 2.6.

Teoria 2. [5 punti] Si veda il libro di testo, capitolo 5, paragrafo 5.6.