Ottica geometrica 4

Ottica geometrica 4

10 gennaio 2014

Lenti sottili, eq. delle lenti, fuochi, ingrandimento Sistemi di lenti, doppietti addossati

Trattamento degli oggetti virtuali Telescopio di Galileo e di Keplero Microscopio

Lenti sottili

• Una lente può essere considerata l’insieme di due diottri

• L’azione totale della lente è data dalla rifrazione successiva dei due diottri

• Le lenti più semplici sono quelle sottili, cioè con spessore trascurabile rispetto alle altre lunghezze in gioco

• Solitamente le lenti sono immerse in aria

• Siano R₁ e R₂ i raggi di curvatura delle superfici della

lente e n l’indice di rifrazione del materiale relativo all’aria

2

Lenti sottili

• Sia P l’oggetto, a distanza o = o₁ dalla prima superficie (S1)

• La distanza i₁ dell’immagine formata dalla rifrazione di S1 è data dalla formula del diottro



1

o

 n

i

 n 1 R

Q₁ P Q

o = o₁ i₁

i = i₂ S1 S2

s o₂

3

Lenti sottili

• L’immagine formata da S1 (virtuale nel nostro caso) diventa l’oggetto per S2

• Poiché davanti alla superficie le distanze degli oggetti sono positive e quelle delle immagini negative, vale la relazione



o

 i

 s

Q₁ P Q

o = o₁ i₁

i = i₂ S1 S2

s o₂

4

Lenti sottili

• La distanza dell’oggetto da S2, trascurato lo spessore s della lente, è uguale, in valore assoluto, a quella

dell’immagine da S1

• La rifrazione di S2 si trova applicando l’eq. del diottro con n₁ = n e n₂ = 1, i₂ = i



o

 i



n

o

 1

i

 1  n R



 n

i

 1

i  1  n R

Q₁ P Q

o = o₁ i  - o

i = i₂ S1 S2

5

Distanza focale

Eq. delle lenti sottili

• Sommando membro a membro con l’eq. del primo diottro otteniamo

• Poiche’ la distanza focale è la distanza dell’immagine (f=i) quando la distanza dell’oggetto è infinita (o=), otteniamo

• detta formula dei fabbricanti di lenti

• e l’eq. delle lenti sottili assume la forma

 



 



 





2 1

1 1 1

1

R n R

f



1

o  1

i  1 f

 



 



 







2 1

1 1 1

1 1

R n R

i o

6

Lente convergente

• Consideriamo una lente biconvessa con indice n > n_amb cioè maggiore di quello dell’ambiente circostante

• I fronti d’onda piani incidenti devono attraversare uno spessore di vetro maggiore al centro della lente che nella parte esterna

• Poiché la velocità della luce è minore nel vetro che

nell’aria, la parte centrale di ciascun fronte d’onda è in ritardo rispetto alla parte esterna

• Questo produce un’onda sferica che converge nel fuoco F’, e i raggi, perpendicolari ai fronti, passano per F’

F’ • Simbolo della lente convergente

Lente divergente

• Consideriamo una lente biconcava con indice n > n_amb

• I fronti d’onda piani incidenti devono attraversare uno spessore di vetro minore al centro della lente che nella parte esterna

• La parte centrale di ciascun fronte d’onda è in anticipo rispetto alla parte esterna

• Questo produce un’onda sferica che diverge e i

prolungamenti dei raggi, perp. ai fronti, passano per F’

• Simbolo della lente divergente

F’

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Distanza focale

• La distanza focale di una lente è data dalla formula

• Per una lente convergente

biconvessa, le convenzioni del diottro stabiliscono che R₁ è positivo e R₂ è negativo, ne segue che la distanza focale risulta positiva

• Le lenti convergenti sono anche dette positive

• Per una lente divergente biconcava, al contrario, R₁ è negativo e R₂ è

positivo, la distanza focale risulta negativa

• Le lenti divergenti sono anche dette negative



1

f  n 1

 

R₁  1 R₂



 



9

Fuochi

• Se sistemiamo l’oggetto in modo che il fascio emergente dalla lente sia costituito da raggi paralleli (ovvero

l’immagine vada all’infinito), individuiamo il primo fuoco F della lente

• Viceversa, il punto in cui un fascio parallelo (quello emesso da un oggetto posto all’infinito) viene fatto convergere dalla lente è detto secondo fuoco F’

F’

F

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Fuochi

• Per lenti divergenti occorre considerare non i raggi, ma i loro prolungamenti

• primo fuoco F: fascio emergente parallelo

• secondo fuoco F’: fascio incidente parallelo

F’

F

Distanza focale

• In una lente ci sono due fuochi, ma una sola distanza focale

• Infatti, ribaltando la lente, le superfici S1, S2 si scambiano e anche i due raggi si scambiano

• E inserendo nella formula della distanza focale otteniamo lo stesso valore



1

f  n 1

 

R₁  1 R₂



 



R₁ > 0

R₂ < 0 R’₂ < 0

R’₁ > 0



R'₁  R₂



R'₂  R₁

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Tracciamento dell’immagine

• I raggi principali emessi dall’oggetto sono, in questo caso – Il raggio parallelo all’asse che viene rifratto nel secondo

fuoco

– Il raggio passante per il primo fuoco che viene rifratto parallelamente all’asse

– Il raggio passante per il centro della lente che viene rifratto senza deviazione (le facce della lente sono parallele per questo raggio e quindi esso emerge nella stessa direzione, ma lievemente spostato. Poiché la lente è sottile, tale

spostamento è trascurabile)

Ingrandimento

• Usiamo il raggio incidente nel centro della lente: dai triangolo PP’C e QQ’C abbiamo

• e tenendo conto della convenzione dei segni

P P’

Q Q’

C



QQ'

PP'  Q'C P'C



G  I

O   i o

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• La potenza, o potere diottrico, di una lente è l’inverso della distanza focale

• L’unità di misura della potenza è la diottria D corrispondente all’inverso del metro

• Come conseguenza del segno di f, la potenza è – positiva per lenti convergenti

– negativa per lenti divergenti



P  1 f

Potenza di una lente



D  m^1

• Se si hanno più lenti, si può trovare l’immagine del sistema procedendo una lente per volta

• L’immagine di una lente, reale o virtuale che sia, sarà l’oggetto della lente consecutiva

• P.e. nel caso di due lenti si usa la distanza

immagine della prima lente, assieme alla distanza d tra le lenti, per determinare la distanza oggetto della seconda lente

Sistemi di lenti

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• Si dicono addossate lenti la cui distanza è nulla

• Si può dimostrare (nel caso di due lenti) che vale la seguente relazione tra le distanze focali delle lenti e la distanza focale equivalente del sistema

• Ovvero, in termini di potenza

Lenti sottili addossate



1

f_eq  1

f₁  1 f₂



P_eq  P₁  P₂

• Sia dato un sistema di due lenti addossate di fuochi rispettivi f₁ e f₂, troviamo l’immagine Q di un punto oggetto P

• A tal fine troviamo dapprima l’immagine Q₁ dovuta alla lente L1

Lenti sottili addossate

L1 P₁=P

Q₁ P



1

o₁  1

i₁  1

o  1

i₁  1 f₁

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Oggetti virtuali

• I raggi principali per la prima lente, che ci hanno

permesso di costruire l’immagine della prima lente, non lo sono necessariamente per la seconda

• Per trovare i raggi principali per la seconda lente si puo` procedere come segue

• Ricordiamo che l’immagine della prima lente diviene

l’oggetto della seconda lente

Oggetti virtuali

• Tracciamo allora all’indietro, cioe` da DX a SX i raggi uscenti dall’oggetto, principali per la seconda lente, fino a

oltrepassare la lente, e come se questa non agisse

• Invertiamo ora il verso dei raggi e costruiamo i raggi rifratti dalla lente

• Otterremo cosi’ l’immagine della seconda lente

L2

P₂=Q₁

L2

Q₂=Q

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• E quindi l’immagine dovuta alla lente L2

• Sommando membro a membro le due eqq., otteniamo

• Poiché il primo membro è l’inverso della distanza focale equivalente del doppietto, otteniamo la tesi

Lenti sottili addossate



1

o₂  1

i₂  1

i₁  1

i  1 f₂



1

o  1

i  1

f₁  1 f₂



1

f_eq  1

f₁  1 f₂

P

Q L2

Q₂=Q

P₂=Q₁

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Strumenti ottici composti

• Tra gli strumenti composti particolare importanza rivestono i telescopi

• Scopo di questi strumenti e` aumentare le dimensioni angolari di oggetti molto lontani

• Si definisce ingrandimento visuale V il rapporto tra la tangente dell’angolo  sotto cui l’oggetto e` visto con lo strumento e la tangente dell’angolo  sotto cui e`

visto senza strumento



 tg V  tg

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Telescopio

• Nella versione piu` semplice un telescopio e`

formato da due lenti

• Una, la piu` vicina all’occhio dell’osservatore e`

detta oculare (distanza focale f

)

• L’altra e` detta obiettivo (distanza focale f

)

Telescopio di Galileo

• E` formato da due lenti convergenti

• Diciamo l la lunghezza del telescopio, definita come somma delle distanze focali delle lenti

• e y’ la dimensione dell’immagine dell’oggetto all’infinito

• L’ingrandimento visuale risulta

• Storicamente V~30X ^c

b b

c

f f f

y f y tg

V  tg  _'^' 



obiettivo



oculare l 

 y’

c

b f

f

l  

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Telescopio di Keplero

c b b

c

f f f

y f y tg

V  tg  _'^' 





• L’obiettivo e` una lente convergente, l’oculare e` ora una lente divergente

• La lunghezza l del telescopio, e`

con il vantaggio di compattezza rispetto al TdG

• L’ingrandimento visuale risulta

c b

c

b f f f

f

l    

obiettivo

oculare

 l

 y’

Telescopio di Newton

• Nel 1671 Newton propose un telescopio riflettore, fino ad allora i telescopi erano stati di tipo rifrattore

• In questo modo si elimina l’aberrazione cromatica dell’obiettivo

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Specchio obiettivo Lente oculare

Specchio deflettore

Strumenti ottici composti

• Tra gli strumenti composti particolare importanza rivestono i microscopi

• Scopo di questi strumenti e` aumentare le dimensioni angolari di oggetti molto piccoli

• Si definisce ingrandimento visuale V il rapporto tra la tangente dell’angolo  sotto cui l’oggetto e` visto con lo strumento e la tangente dell’angolo  sotto cui e`

visto senza strumento alla distanza prossima di visione nitida (d=25 cm)





tg

V  tg

Microscopio

• Nella versione piu` semplice un microscopio e`

formato da due lenti convergenti

• Una, la piu` vicina all’occhio dell’osservatore e`

detta oculare (distanza focale f

)

• L’altra e` detta obiettivo (distanza focale f

molto piccola)

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Microscopio

• Diciamo l la lunghezza del microscopio, definita come distanza tra il 2° fuoco della prima lente e il 1° fuoco della seconda lente

• Siano y e y’ le dimensioni dell’oggetto e dell’immagine

obiettivo

oculare

 y l

y’

Microscopio

• La distanza dell’oggetto dev’essere di poco maggiore della distanza focale dell’obiettivo, di modo che l’immagine sia reale e molto ingrandita

• Si sposta l’obiettivo mantenendo fermi sia l’oggetto che l’oculare, fintanto che l’immagine dell’obiettivo cada nel 1°

fuoco dell’oculare

• L’ingrandimento visuale risulta

c 30 b c

c

f d f

l f

d y y d

y f y tg

V  tg  ^'  ^' 





obiettivo

oculare

 y l

y’