Esercizio 1. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove G(s) = (s 2 + 11s + 31) 7 (s 2 + s + 30) 3
(s 3 − s 2 − s − 1) 7 .
Si dica se esiste un controllore proporzionale che rende la catena chiusa BIBO-stabile.
y 0 (t) y(t)
d(t) - i +
−
- C(s) - G(s) - i + +
? -
6
Soluzione. Il controllore deve avere la forma C(s) = K dove la costante K deve essere scelta in modo da rendere la catena chiusa BIBO-stabile. Si noti che il numeratore di G(s) ` e hurwitziano (come si conclude a prima vista usando il Criterio di Catesio). Quindi, poich´ e il grado relativo di G(s) ` e pari a 21 − 20 = 1, si pu` o usare il risultato relativo alla stabilizzazione ad alto guadagno e concludere immediatamente che esistono valori di K che rendono il sistema a catena chiusa BIBO-stabile.
Si osservi anche che si pu` o facilmente trovare un tale valore di K incrementando il guadagno fino a trovare un valore che rende il sistema a catena chiusa BIBO-stabile.
Esercizio 2. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove G(s) = (s 2 − 30) 3
(s + 10) 2 (s + 1) 2 (s 2 + s + 1) 7 .
Si dica se esiste un controllore proporzionale che rende la catena chiusa BIBO-stabile.
y 0 (t) y(t)
d(t) - i +
−
- C(s) - G(s) - i +
+
?
- 6
Soluzione. Il controllore deve avere la forma C(s) = K dove la costante K deve essere scelta in modo da rendere la catena chiusa BIBO-stabile. Si noti che il denominatore di G(s)
`
e hurwitziano (come si conclude a prima vista usando il Criterio di Catesio). Quindi, si pu` o usare il risultato relativo alla stabilizzazione a basso guadagno e concludere immediatamente che esistono valori di K che rendono il sistema a catena chiusa BIBO-stabile.
1
Esercizio 3. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove G(s) = 1. Si dica se esiste un controllore con funzione di trasferimento razionale e senza zeri tale che quando d(t) = sin(t) e y 0 = t · 1(t), si abbia errore a regime nullo.
y 0 (t) y(t)
d(t) - i +
−
- C(s) - G(s) - i + +
? -
6
Soluzione. Viste le specifiche il controllore deve avere la forma C(s) = s 2 (s 2 +1)D K 1 (s) dove la costante K il polinomio D 1 (s) devono essere scelti in modo da rendere la catena chiusa BIBO-stabile. Dunque la funzione di trasferimento della catena chiusa ` e
W (s) = K
s 2 (s 2 + 1)D 1 (s) + K .
Il denominatore di W (s) ` e dunque D W (s) = s 2 (s 2 + 1)D 1 (s) + K. Comunque si scelgano la costante K il polinomio D 1 (s) ` e ovvio che D W (s) ha il coefficiente di s che ` e nullo. Pertanto, D W (s) non pu` o essere hurwitziano e quindi non esiste un controllore che soddisfa tutte le richieste.
Esercizio 4. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove
G(s) = s(s + 1) 14 (s − 1) 15 .
Si dica se esiste un controllore proporzionale che rende la catena chiusa BIBO-stabile.
y 0 (t) y(t)
d(t) - i +
−
- C(s) - G(s) - i +
+
?
- 6
Soluzione. Si consideri il luogo delle radici relativo a G(s). Esso presenta un intero ramo che ` e formato da un segmento che si trova sull’asse reale e congiunge il punto 1 con l’origine del piano complesso. Pertanto, in corrispondenza a qualunque controllore proporzionale la funzione di trasferimento del sistema a catena chiusa presenta almeno un polo a parte reale positiva e quindi non esiste un controllore proporzionale che rende la catena chiusa BIBO-stabile.
2
Esercizio 5. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove G(s) = s + 3
s − 3 .
Si progetti la funzione di trasferimento C(s) di un controllore tale che:
1. Si abbia reiezione asintotica perfetta di disturbi sinusoidali alla pulsazione di 1 rad/sec.
2. Quando y 0 = t · 1(t) (e in assenza di disturbi) |e r | < 1/10 (dove e r ` e l’errore a regime).
3. I poli della funzione di trasferimento a C.C. si trovino nella regione corrispondente ad un tempo di assestamento all’uno per cento inferiore a 2.3 secondi.
y 0 (t) y(t)
d(t) - i +
−
- C(s) - G(s) - i + +
?
- 6
Soluzione. Per soddisfare il punto 1. il controllore deve avere la forma C(s) = C 1 (s) 1
s 2 + 1 . Per soddisfare il punto 2. C 1 (s) deve avere la forma
C 1 (s) = C 2 (s) 1 s
e il guadagno di Bode del prodotto G(s)C(s) deve essere maggiore di 10.
Per soddisfare il punto 3. i poli della funzione di trasferimento a C.C. devono essere a sinistra di una retta verticale di ascissa pari a −2.
Poich´ e l’unico zero di G(s) si trova a sinistra di −2 (e precisamente in −3) se si scelgono anche gli zeri di C(s) a sinistra di −2 e in numero (o molteplicit` a) sufficiente a rendere il grado relativo del prodotto G(s)C(s) pari a 0 o a 1, si possono facilmente soddisfare tutte le specifiche scegliendo un guadagno sufficientemente elevato (per convincersi di questo fatto basta lo stesso ragionamento che permette di concludere il risultato sulla stabilizzazione ad alto guadagno). Per esempio, si pu` o scegliere
C(s) = K (s + 3) 2 (s 2 + 1)s .
Si noti che il guadagno di Bode del prodotto G(s)C(s) ` e K B = −9K. Pertanto, di deve avere
|K| > 10/9.
Il luogo delle radici relativo a
G(s) (s + 3) 2 (s 2 + 1)s
ossia relativo al prodotto di G(s) per la funzione di trasferimento del controllore privata del relativo guadagno di Evans, ` e rappresentato nella figura da cui ` e ancora pi` u evidente che, per K sufficientemente elevato, tutte le specifiche sono soddisfatte.
3
−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4
−10
−8
−6
−4
−2 0 2 4 6 8 10
