DERIVATA di una funzione DERIVATA di una funzione
Sia e x*
Sia e x*∈∈AA punto di accumulazione punto di accumulazione di Adi A
R A
f : →
*
*) (
) (
x x
x f x
f x
f
−
= −
∆
∆ èè il il RAPPORTO INCREMENTALERAPPORTO INCREMENTALE
Il rapporto incrementalerapporto incrementale di f calcolato in x*
rappresenta il coefficiente angolarecoefficiente angolare della secante passante per i punti P0 e P
Se Se
esiste esiste
ed ed èèfinito finito
ilil*
*) (
)
lim
(* x x
x f
x f
x
x −
−
→
allora
allora
f f è è derivabile in x* derivabile in x*
; ;il valore finito del limite si chiama il valore finito del limite si chiama
DERIVATA
DERIVATA di f in x* e si indica condi f in x* e si indica con
*
o
*) (
dx x
x df f ′
Significato
Significato GEOMETRICOGEOMETRICO della derivatadella derivata
f derivabile in x*
f derivabile in x*
xx→→x* x* ⇒⇒ ss→→tt
⇓⇓ xx→→x*x*
⇓⇓
t
s m
x m x
x f
x
f = →
−
−
*
*) (
)
( ( *)
*
*) (
)
( f x
x x
x f
x
f → ′
−
−
mt
x
f ′ =
⇓
*) (
Sia e x*
Sia e x* f : A → R ∈∈ AA
*)
*)(
(
*)
( x f x x x
f
y = + ′ −
SeSe f f èè derivabilederivabile in x*, la curva y=f(x) in x*, la curva y=f(x) èè dotata didotata di retta tangenteretta tangente nel punto nel punto P*=(x*,f(x*)) e
P*=(x*,f(x*)) e ll’’equazione di tale rettaequazione di tale retta èè
La derivata La derivata di f in x* rappresenta di f in x* rappresenta il il coefficiente angolare coefficiente angolare della della
retta tangente alla curva
retta tangente alla curva nel nel punto P*=(x*,f(x*))
punto P*=(x*,f(x*))
ESEMPIO ESEMPIO C=C(q)
C=C(q) Costo che unCosto che un’’impresa deve sostenere impresa deve sostenere per produrre una certa quantit
per produrre una certa quantitàà q di q di merce (
merce (costo in funzione della quantitcosto in funzione della quantitàà))
*
*) (
) (
q q
q C q
C
−
− Rapporto incrementale di C(q) cioRapporto incrementale di C(q) cioèè
rapporto tra la variazione del costo di rapporto tra la variazione del costo di
produzione e la variazione della produzione e la variazione della
quantit
quantitàà prodotta, quando l’prodotta, quando l’impresa impresa passa da una produzione q* ad una passa da una produzione q* ad una
produzione q (
produzione q (tasso di variazione dei tasso di variazione dei costi
costi))
*
*) (
) lim (
*) (
* q q
q C q
C q C
q
q −
= −
′ =
→
Variazione di C relativa ad una Variazione di C relativa ad una
variazione
variazione “infinitesima“infinitesima”” di q di q ((costo marginale in q*costo marginale in q*))
Sia e x*
Sia e x*∈∈ AA punto di accumulazione punto di accumulazione di Adi A f : A → R
Si dice che
Si dice che f f èè
differenziabile differenziabile
in x* in x*se se ∃∃aa∈∈R:R: 0
*
*) (
*) (
)
lim
(*
− =
−
−
−
→ x x
x x
a x
f x
f
x x
a(xa(x--x*)x*) si chiama si chiama DIFFERENZIALEDIFFERENZIALE di f in x*di f in x*
[ ]
[
( ) ( *)]
( *) 00
*) (
*) (
) (
abile differenzi
f : NB
lim lim
lim
*
*
*
=
−
=
−
⇒
⇒
=
−
−
−
⇒
⇒
→
→
→
x x
a x
f x
f
x x
a x
f x
f
x x x
x
x x
f differenziabile
f differenziabile ⇒⇒ f continuaf continua
a (x*)
f e
* x in derivabile f
*
*) (
) 0 (
*
*) (
) (
* 0
*) (
*) (
) (
:
* x in abile differenzi
f
lim lim
lim
*
*
*
′ =
⇒
⇒
− =
⇒ −
⎥⎦ =
⎢⎣ ⎤
⎡ −
−
⇒ −
⇒
− =
−
−
−
∈
∃
⇒
→
→
→
x a x
x f x
a f x
x
x f x
f
x x
x x
a x
f x
f
R a
x x x
x
x x
f differenziabile in x*
f differenziabile in x* ⇔⇔ f derivabile in x*f derivabile in x*
⇒⇒
(x*) f
a e
* x in abile differenzi
f
* 0
*)
*)(
(
*) (
) (
* 0
*) *
* (
*) (
) (
* x in derivabile f
lim lim
*
*
= ′
⇒
⇒
− =
′ −
−
⇒ −
⇒
− =
′ −
− −
−
⇒
→
→
x x
x x
x f
x f x
f
x x
x x x
x f x
x f x
f
x x
x x
⇐⇐
{ }
* 0
*)
*)(
(
*) (
)
lim
(*
− =
′ − +
−
→ x x
x x
x f
x f
x f
x x
Se f
Se f èè differenziabile in x*differenziabile in x*
⇓⇓
Da un punto di vista geometrico questo significa Da un punto di vista geometrico questo significa
che se f
che se f èè differenziabile in x*, nei punti differenziabile in x*, nei punti ““vicinivicini”” ad x*, la curva
ad x*, la curva èè ben approssimata dalla retta ad ben approssimata dalla retta ad essa tangente in (x*,f(x*))
essa tangente in (x*,f(x*))
Sia e x*
Sia e x* f : A → R ∈∈ AA
f derivabile in x*
f derivabile in x*
8
NB:NB: f continua in x*f continua in x*⇒⇒f derivabile in x*f derivabile in x*
f differenziabile in x*
f differenziabile in x*
⇓
f continua in x*
f continua in x*
ESEMPIO 1 ESEMPIO 1
0 x*
in continua
è x f(x)
0 x
limx 0 = ⇒ = =
→
f(x)=
f(x)=⏐⏐xx⏐⏐
x 1 lim x 1
0 lim x
1 -
0 x
1 x
x
infatti 0
0 lim x
lim
0 x 0
x 0
x 0
−
=
≠
=
⎩ ⇒
⎨⎧
<
= >
− ∃
= −
∆
∆
−
+ →
→
→
→ Λ
x x
x x
f
x
f(x)=
f(x)=⏐⏐xx⏐⏐ èè continuacontinua in x*=0 ma in x*=0 ma non non èè derivabilederivabile in quel punto
in quel punto
Il punto x*=0 si chiama
Il punto x*=0 si chiama punto angolosopunto angoloso
ESEMPIO 2 ESEMPIO 2
0 x*
in continua
è f(x)
0
lim 3 2 3 2
0
x = ⇒ = =
→ x x
−∞
=
≠ +∞
=
∃
− =
= −
∆
∆
−
+ →
→
→
→
→ Λ
lim 1 lim 1
infatti
1 0 lim
lim 0 lim
0 3 3 x
0 x
0 3 x
3 2
0 x 0
x x
x x x x
f
x
èè continuacontinua in x*=0 ma in x*=0 ma non non èè derivabile
derivabile in quel puntoin quel punto Il punto x*=0 si chiama
Il punto x*=0 si chiama cuspidecuspide
3 2
)
( x x
f =
3 2
)
( x x
f =
Calcolo della derivata di alcune funzioni Calcolo della derivata di alcune funzioni
elementari elementari
1) 1) Sia Sia f(x)=c f(x)=c f: f: ℜ→ℜ ℜ→ℜ
* 0 lim 0
lim *
*
*) (
) lim (
,
*
*
*
*
− =
=
− =
= −
−
∈ −
∀
→
→
→
x x
x x
c c
x x
x f
x R f
x
x x
x x x
x
f f èè derivabilederivabile ∀∀x*x*∈∈R e la sua derivata R e la sua derivata èè zerozero
∀∀x*x*∈∈R; resta quindi definita unaR; resta quindi definita una nuova nuova funzione
funzione ff’’::ℜ→ℜ, derivata di f : fℜ→ℜ, derivata di f : f’’(x)=0 (x)=0 ∀∀xx∈∈RR
2) 2) Sia Sia f(x)=x f(x)=x f: f: ℜ→ℜ ℜ→ℜ
1 1
lim
* lim *
*
*) (
) lim (
,
*
*
*
*
=
=
− =
= −
−
∈ −
∀
→
→
→
x x
x x x
x x x
x x
x x
x f
x R f
x
f f èè derivabilederivabile ∀∀x*x*∈∈R R La funzione
La funzione ff’’::ℜ→ℜℜ→ℜ, derivata di f , derivata di f èè ff’’(x)=1 (x)=1
∀∀xx∈∈RR
3) 3) Sia Sia
f: f: ℜ→ℜ ℜ→ℜ
( )
1 1
2 1
*
*
*
*)
* (
)
*) (
...
*
*)(
lim (
* lim *
*
*) (
) lim (
,
*
−
−
−
−
→
→
→
− =
+ +
+
= −
− =
= −
−
∈ −
∀
n n
n n
x x
n n
x x x
x
x x n
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x f
x R f
x
f f èè derivabilederivabile ∀∀x*x*∈∈R R La funzione
La funzione ff’’::ℜ→ℜℜ→ℜ, derivata di f , derivata di f èè
∀∀xx∈∈RR
x
nx
f ( ) =
) 1
( = −
′ x nx n f
NB: NB:
una funzione f:Auna funzione f:A→→R si diceR si dicederivabile
derivabile
(differenziabile) (differenziabile)in A in A
sese
è è derivabile derivabile
(differenziabile) (differenziabile)∀ ∀ x* x* ∈ ∈ A A
In maniera analoga alla precedente, In maniera analoga alla precedente,
in base a definizione in base a definizione
,,si possono calcolare le derivate delle si possono calcolare le derivate delle
altre funzioni elementari altre funzioni elementari
e compilare la seguente e compilare la seguente
tabella riepilogativa tabella riepilogativa
delle derivate di
delle derivate di
funzioni elementari
funzioni elementari
TABELLA DELLE DERIVATE DI ALCUNE TABELLA DELLE DERIVATE DI ALCUNE
FUNZIONI ELEMENTARI FUNZIONI ELEMENTARI
f(x)f(x) ff’’(x)(x)
tgx
x x e
a x x c
x x c n
cos sen
x x x e
a a
cx nx
x x
c n
2 1
1
cos 1
sen cos
ln 0
−
−
−
{ }
{ } { }
{
k k Z}
R x
R x
R x
R x
R a
R x
R c
R x
Z n
R x
R x
∈ +
−
∈
∈
∈
∈
−
∈
∈
−
∈
∈
−
∈
∈
∈
+ +
, 2
1 ,
0 ,
0 ,
*
*
π π
Siano f,g:A
Siano f,g:A→→R e derivabili in x*R e derivabili in x*
REGOLE di derivazione
REGOLE di derivazione (ricavate (ricavate utilizzando la definizione di derivata) utilizzando la definizione di derivata)
*) (
'
*) (
'
*) (
)' (
e
* x in derivabile
è
x g
x f
x g
f
g f
±
=
±
±
•
*) (
'
*) (
*) (
*) (
'
*) (
)' (
e
* x in derivabile
è
x g
x f
x g
x f
x g
f g f
+
=
⋅
⋅
•
[
*)( )
*]
(2 *) ' ( *)(
*) (
*) ' (
e
* x in derivabile
è ,
0
*) (
inoltre se
x g
x g
x f
x g
x x f
g(x) f(x)
g(x) x f(x)
g
= −
′
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
≠
•
ESEMPIO ESEMPIO
cos 1 cos
sen cos
cos sen
2 2
2 2
x x
x x
x x dx
tgx d dx
d
=
+ =
=
=
=
Sia Sia f f :I :I → → R, R, f f invertibile e continua in I. invertibile e continua in I.
DERIVATA
DERIVATA di funzione inversadi funzione inversa
( )
11
f'(x*) (y*)
f
-′ =
Se f Se f è è derivabile in derivabile in x x * * e f e f ’ ’ ( ( x x *) *) ≠ ≠ 0 0 , , allora
allora
la sua inversa
la sua inversa è è derivabile in derivabile in
y y *= *= f f ( ( x x *) *) e e
ESEMPIO ESEMPIO
y e
dx e y d
dy d
y
y x
x
1 1 log 1
log
log
=
=
=
=
=
=
In maniera analoga alla precedente, In maniera analoga alla precedente,
utilizzando la regola di utilizzando la regola di
derivazione della funzione derivazione della funzione
inversa inversa
,,si possono
si possono
aggiungere aggiungere
alla tabella alla tabella delle derivate di funzioni elementari le delle derivate di funzioni elementari leseguenti derivate
seguenti derivate
TABELLA DELLE DERIVATE DI ALTRE FUNZIONI TABELLA DELLE DERIVATE DI ALTRE FUNZIONI
ELEMENTARI ELEMENTARI
f(x)f(x) ff’’(x)(x)
x x
x x
a x
arctg arccos arcsen log
log
2
2 2
1 1
1 1 1
1 1
log 1
x
x x x
a x
+
− −
−
{ }
R x
x x
R x
R a
R x
∈
<
<
∈
−
∈
∈ +
1 1
1 ,
*
*
*
Sia definita la funzione
Sia definita la funzione f f
oog g :I :I → → R R e sia
e sia x x * * ∈ ∈ I. I.
DERIVATA
DERIVATA di funzione compostadi funzione composta
( f D g ) ′ (x*) = f ' ( g ( x *)) g ' ( x *)
Se g Se g è è derivabile in derivabile in x x * * e f e f è è derivabile in
derivabile in y*=g y*=g ( ( x* x* ) ) , allora , allora
f f
oog g è è derivabile in derivabile in x x * * e e
ESEMPIO ESEMPIO
)) (
( )
(
sen )
( e
) (
sen )
(
x g
f x
h
x x
g y
y f
x x
h Sia
=
=
=
⇒
=
x x
x g
x g
f dx x
d
sen cos 2
1
) (
' )) (
( ' sen
=
=
=
ELASTICITA ELASTICITA’’
In molti modelli economici, per esempio quando si studia la quantitàquantità di merce di merce
domandata in funzione del prezzo
domandata in funzione del prezzo, è più
significativo considerare, piuttosto che gli incrementi assoluti delle variabili
dipendente e indipendente, gli incrementi incrementi relativi
relativi (o percentuali) di queste:
per due motivi:due motivi
f(x*)
f(x*) f(x)
x
x
x − −
e
*
*
1)1) ll’’incremento percentuale evidenzia incremento percentuale evidenzia meglio l
meglio l’’importanza delle variazioni importanza delle variazioni considerate.
considerate. Per es. se x rappresenta un prezzo, una Per es. se x rappresenta un prezzo, una aumento x
aumento x--x*=100 ha un significato molto diverso a x*=100 ha un significato molto diverso a seconda che il prezzo iniziale sia x*=500 o x*=10000 seconda che il prezzo iniziale sia x*=500 o x*=10000
(aumento del 20 % nel primo caso e del 1% nel secondo) (aumento del 20 % nel primo caso e del 1% nel secondo)
2) 2) gli incrementi relativi sono numeri puri gli incrementi relativi sono numeri puri ciocioèè non dipendono dalle unitnon dipendono dalle unitàà di misura di misura
usate.
usate. Per es. se si considera la variazione del prezzo Per es. se si considera la variazione del prezzo xx--x*=100, il significato di tale incremento x*=100, il significato di tale incremento èè diverso a diverso a
seconda che tale prezzo sia calcolato in lire oppure in seconda che tale prezzo sia calcolato in lire oppure in
dollari mentre non importa quale sia l
dollari mentre non importa quale sia l’’unitunitàà di misura di misura usata se consideriamo l
usata se consideriamo l’’incremento relativo (il prezzo incremento relativo (il prezzo èè aumentato del 10%)
aumentato del 10%)
Si chiama ELASTICITAELASTICITA’’ DD’’ARCOARCO per una funzione f in un punto x*, il rapporto tra rapporto tra
gli incrementi relativi gli incrementi relativi
*) (
*
*
*) (
) (
*
*
*) (
*) (
) (
x f
x x
x
x f
x f
x x x
x f
x f
x f
−
= −
−
−
Se xSe x→→x*x* ⇒⇒ elasticitelasticitàà puntualepuntuale di f in x*di f in x*
*
*) (
*) (
'
*) (
*) * (
'
*) (
x x f
x f
x f
x x f
x
E f = =
ESEMPIO ESEMPIO
Sia q=q(p)q=q(p) la funzione di domanda di un bene rispetto al prezzo p
•• Se ESe Eqq(p)=(p)=--22 significa che significa che in corrispondenza in corrispondenza di un aumento del prezzo del 10% si ha una di un aumento del prezzo del 10% si ha una
diminuzione della domanda del 20%
diminuzione della domanda del 20%
•• Se ESe Eqq(p)=(p)=--1/51/5 significa che significa che in in
corrispondenza di un aumento del prezzo corrispondenza di un aumento del prezzo
del 10% si ha una diminuzione della del 10% si ha una diminuzione della
domanda del 2%
domanda del 2%
) ) (
( ' )
( q p
p p q
p
Eq =
DERIVATA E PUNTI DI MAX E DI MIN DERIVATA E PUNTI DI MAX E DI MIN
Sia f:I→R, x* punto interno di max (o min) relativo, f derivabile in x*
0
*) (
' =
⇓ x f
NB:NB: x* punto interno di I significa, per definizione, x* punto interno di I significa, per definizione, che che ∃∃ I(x*,r)I(x*,r)⊂⊂ II
Dimostrazione Dimostrazione
x* punto di
x* punto di max rel.max rel. ⇒⇒ ∃∃ I(x*,r)I(x*,r)⊂⊂ I I tctc ∀∀xx∈∈ I(x*,r) I(x*,r) f(x)f(x)≤≤f(x*)f(x*)
Poich
Poichéé f f
derivabile in x*
derivabile in x*⇒⇒
( *) ( *)
0
0
lim 0 e lim 0
x x x x
f(x) - f(x*) se x x* e x I(x*,r)
x x*
f(x) - f(x*) se x x* e x I(x*,r)
x x*
f(x) - f(x*) f(x) - f(x*)
x x* x x*
+ −
→ →
> ∈ ≤
−
< ∈ ≥
−
⇒ ≤ ≥
− −
( *) ( *)
lim lim
x x x x
f(x) - f(x*) f(x) - f(x*)
x x* x x *
+ −
→ = →
− −
lim* 0
x x
f(x) - f(x*) x x *
⇒ → =
−
NB: NB: LL’’annullarsi della derivata primaannullarsi della derivata prima in un in un punto interno di massimo o minimo relativo punto interno di massimo o minimo relativo èè condizione necessaria ma non sufficientecondizione necessaria ma non sufficiente
Come si vede dal grafico x* non x* non èè nnéé di di massimo n
massimo néé di minimo relativodi minimo relativo 0
) 0 ( '
3 )
( '
:
) (
:
2 3
=
=
→
=
f x
x f
R R
f x
x f
Es
Alla luce del precedente risultato, Alla luce del precedente risultato,
i punti di massimo o minimo relativo si i punti di massimo o minimo relativo si
possono trovare possono trovare: :
•• in corrispondenza di punti interni in cui in corrispondenza di punti interni in cui si annulla la derivata prima
si annulla la derivata prima
•• in corrispondenza di punti di non in corrispondenza di punti di non derivabilit
derivabilitàà
•• in corrispondenza degli estremi in corrispondenza degli estremi delldell’’intervallo di definizioneintervallo di definizione
5 4
3 2
1
0 , x , x , x , x , x
x sono sono possibilipossibili massimi e massimi e minimi relativi
minimi relativi
0 1
2 2
3 4
p.to di max rel (estremo dell'intervallo) p.to di min rel (p.to di non derivabilità)
p.to di max rel (in cui ( ) 0) nè di max nè di min rel
nè di max nè di min rel (p.to di non derivabi x
x
x f' x
x x
=
5
lità) p.to di min rel (estremo dell'intervallo)
x
