5.4 Risultati
5.4.2 Accuratezza del modello
1890
L’altra quantità fondamentale per studiare la rete è l’accuratezza della formazione e del test
1891
della rete definita come:
1892
Acc = ΣT P + ΣF P
T otal population = ΣT P + ΣF P
ΣT P + ΣF P + ΣT N + ΣF N (5.4) In figura 5.4(a) è riportato un esempio di curve per il campione di convalida e di test,
1893
attraverso lo studio di queste si può compendere se il modello ha problemi o meno di overfitting.
1894
(a) Rappresentazione della funzione di accuratezza in funzione del numero di iterazioni o epoche che si effettuano per compiere l’apprendimento della rete.
(b) Rappresentazione della funzione di accuratezza in funzione del numero di iterazioni o epoche che si effet-tuano per compiere l’apprendimento della rete ottenuto analizzando i dati di PADME.
Figura 5.4: Plot relativi allo studio della funzione di accuratezza.
1895
La curva in blu rappresenta un accuratezza del campione di convalida molto piccola rispetto
1896
alla curva determinata per il campione pcon il quale si testa il modello, questo è indice del fatto
1897
che il modello subisce un overfitting. Per l’analisi dell’esperimento PADME si ottine la curva
1898
riportata in figura 5.4(b).
1899
Si può osservare come la curva di accuratezza ottenuta con il campione di convalida si trovi
1900
sopra quella della stessa ottenuta dal processo di test, anche se di poco. Questo indica che
1901
la rete sta modellizzando il problema compiendo un problema di underfitting, si costruisce un
1902
modello con un numero di parametri inferiori a quelli che effettivamente sono necessari.
1903
Analisi cinematica
1905
Per ricavare la variabile mA0 consideriamo il problema dal punto di vista cinematico. Nello
1906
stato iniziale abbiamo il positrone del fascio che incide su di un eletttrone della targhetta.
1907
Quest’interazione produce uno stato finale caratterizzato da un fotone e da un fotone oscuro,
1908
per cui possiamo scrivere per le particelle del fascio:
1909
pe+ = (Ebeam, ~pe+); (A.1)
per gli elettroni apparteneti alla targhetta, considerando che sono fermi, il momento è nullo:
1910
pe− = (me, 0); (A.2)
. nell’interazione questi producono un fotone e un fotone oscuro di momento generico:
1911
pγ = (Eγ, ~pγ), pA0 = (EA0, ~pA0). (A.3) Per la conservazione del quadrimomento possiamo affermare che
1912
pe+ + pe− = pγ+ pA0 (A.4)
per cui possiamo scrivere
1913
pA0 = pe+ + pe−− pγ (A.5)
considerando il modulo quadro dei membri e osservando che |pA0|2 = (EA20 − p2A0) = m2A0,
1914
otteniamo:
1915
m2A0 = (Ee+ + me− Eγ)2− (~pe+− ~pγ)2 (A.6)
m2A0 = Ee2+ + m2e− Eγ2+ 2Ee+me− 2EγEe+ − 2Eγme− p2e+ − Eγ2+ 2pe+Eγcosθ (A.7) dove θ è l’angolo incluso tra la direzione del fascio e quella del fotone. Proseguendo nel calcolo:
1916
m2A0 = 2m2e+ 2meEe+ − 2Eγme− 2EγEe+ + 2pe+Eγcosθ (A.8) 96
97
1917
= 2m2e+ 2meEe+ − 2Eγme(1 + Ee+ me +pe+
mecosθ) (A.9)
considerando che il momento può anche essere dato da pe+ = Ee+βe+, dove βe+ = ve+/c con ve+
1918
data dalla velocità del positrone, si può riscrivere l’equazione nella seguente maniera:
1919
m2A0 = 2m2e+ 2me[Ee+ − Eγ(1 + Ee+
me (1 − βe+cosθ))] (A.10)
1920
∼ 2me[Ee+ − Eγ(1 + Ee+
me (1 − (1 −θ2
2)))] (A.11)
1921
= 2me[Ee+ − Eγ(1 + Ee+
2meθ2)]. (A.12)
Dunque si ottiene che
1922
mA0 = r
2me[Ee+ − Eγ(1 + Ee+
2meθ2)]. (A.13)
Analisi del bremsstrahlung senza la
1924
correlazione in energia
1925
Nella sezione 4.4 è stata descritta la stegia per il riconoscimento degli eventi di bremsstrahlung
1926
utilizzando il rivelatore ECAL e il veto per i positroni. Si è osservato come in questi
rivela-1927
tori esistono due correlazioni in particolare: tra i tempi in cui si registrano i segnali nei due
1928
calorimetri, si consulti la figura 4.11, e tra l’energia del positrone con quella del fotone. Nel
1929
rivelatore dedicato alla rivelazione dei positroni si osserva una correlazione tra energia di e+ e
1930
finger che ha registrato il segnale, come si può osservare in figura 4.13. Questa viene utilizzata
1931
per ricostruire il valore dell’energia che il positrone dovrebbe avere secondo la correlazione, se
1932
questo sommato con l’energia ricostruita del fotone restituisce un risultato in un intervallo di
1933
[500, 650]M eV , allora si considera lo stesso come evento di bremsstrahlung.
1934
La distribuzione riportata in figura 4.14 però non ci suggerisce che i parametri utilizzati per
1935
la ricostruzione siano i migliori, ragion per cui ci si chiede se ci siano degli errori
nell’imple-1936
mentazione del taglio. Se così fosse omettendo questo particolare studio le efficienze e i limiti
1937
del parametro di accoppiamneto per l’esperimento dovrebbero migliorare. Si decide quindi di
1938
osservare come variano le efficienze del segnale, il numero di eventi di fondo e infine il
parame-1939
tro 2 quando la determinazione di eventi di bremsstrahlung viene effettuata solo attraverso la
1940
correlazione temporale.
1941
In particolare si può osservare l’anadamento dell’efficienza per la selezione applicata al
1942
campione di segnale, per le diverse masse, immerso nel pileup in figura B.1, in cui vengono
1943
rappresentate le efficienze per il taglio utilizzando sia la correlazione energetica che quella
1944
temporale, sia quelle in cui il riconoscimento dell’evento di bremsstrahlung viene effettuato solo
1945
con la richiesta della coicidenza temporale. Essendo quest’ultimo metodo meno stringente, le
1946
efficienze risultano essere, coerentemente con ciò che ci si aspetta, più basse.
1947
E’ utile studiare l’andamento del numero di eventi di fondo atteso riportato in figura B.2,
1948
in cui si hanno le curve rosse e blu, che sono relative all’analisi precedente e quelle nere e verdi
1949
invece sono costruite attraverso gli eventi a cui è stata richesta solo la coincidenza temporale.
1950
In particolare in nero si hanno il numero di eventi per il fondo totale (rappresentato dai “•”)
1951
e per quello solo di tre fotoni (“”) nell’intervallo [µ − 3σ, µ + 3σ], dove con µ si è intesa la
1952
98
99
M(MeV)
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
ε
0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
EffBrem_1 EffBrem3sigma_1 EffBrem2sigma_1 EffBrem_1NOEne EffBrem3sigma_1NOEne EffBrem2sigma_1NOEne
Figura B.1: Efficienze per i campioni di segnale immersi nel pileup generati alle diverse masse.
Con la simbologia “*” si rappresentano le efficienze ottenute attraverso il riconoscimento di eventi di bremsstrahlung utilizzando la correlazione temporale tra il tempo del fotone e quello del positrone e quella tra l’energia depositata da e+ con il rispettivo finger per eventi che superano il taglio (nero) per eventi interni a 3σ (rosso) e a 2σ (blu) dalla media di MA0; utilizzando “N” invece si rappresentano gli stessi eventi sopracitati (rispettango la colorazione) ma con il taglio determinato dalla sola correlazione temporale.
media della distribuzione di MA0 e σ la corrispondente larghezza per le diverse ipotesi di massa.
1953
In verde invece, con la stessa simbologia, vengono rappresentati gli eventi interni all’intervallo
1954
[µ − 2σ, µ + 2σ].
1955
Infine si osservi in figura B.3 l’andamento del parametro di accoppiamento 2 al livello
1956
di confidenza del 68%, in cui i nuovi limiti vengono rappresentati per l’intervallo di 2σ e 3σ
1957
attraverso il simbolo “*”.
1958
Si può osservare, quindi, come la scelta del taglio effettuato considerando la correlazione
1959
temporale ed energetica migliora i limiti della costante.
1960
M(MeV)
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
evBkgN
10 102
103
104
NBkg1_3sigma NBkg1_2sigma N3gamma1_3sigma N3gamma1_2sigma NBkg1_3sigmaNOEne NBkg1_2sigmaNOEne N3gamma1_3sigmaNOEne N3gamma1_2sigmaNOEne
Figura B.2: Rappresentazione del numero totale (rappresentato con il simbolo “•”) e solo per il campione di e+e−→ 3γ (“”) di eventi che superano la selezione nei 2σ e 3σ rispetto alla media della distribuzione di MA0. In particolare in rosso e in blu vengono rappresentati gli eventi taggati utilizzando entrambe le correlazioni, mentre in nero e in verde quelli che superano il taglio in cui si richiede la sola coincidenza temporale.
M(MeV)
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2ε
6
10− 5
10− 4
10−
3sigma 2sigma 3sigmaNOEne 2sigmaNOEne
Figura B.3: Andamento del parametro di accoppiamento 2 con livello di confidenza al 68% per gli eventi in 2σ (blu) e 3σ (rosso) rispetto alla media della distribuzione di MA0. Attraverso la simbologia si intende dividere le due strategie di analisi: “*” per gli eventi taggati come bremsstrahlung utilizzando la sola correlazione temporale tra γ e e+, e “N” utilizzando non solo questa correlazione ma anche quella tra energia del positrone e finger in cui si registra il segnale.
Appendice C
1961
Analisi dei positroni di alta energia
1962
L’interazione del positrone del fascio con un nucleo della targhetta, come si è già detto, causa
1963
un rallentamento del positrone che genera un fotone. Questo fenomeno è stato analizzato
1964
utilizzando il calorimentro elettromagnetico ECAL e il veto per i positroni, ciò nonostanete
1965
nel progetto dell’esperimento c’è un altro rivelatore volto a registrare i segnali provenienti
1966
da positroni altamente energetici: il “HEPVeto”(High Energy Positron Veto). Come nel caso
1967
di ECAL, anche in questo calorimetro si vuole determinare la correlazione esistente tra le
1968
caratteristiche del fotone e quelle del positrone. In particolare si osserva che tra il tempo
1969
ricostruito del fotone e il tempo in cui viene registrato un segnale nel HEPVeto sono correlati,
1970
si osservi la figura C.1. Si determinano in particolar modo i parametri caratteristici della retta
0 10 20 30 40 50 60
Figura C.1: Correlazione esistenta tra i tempi in cui si registra un fotone in ECAL e un positrone in HEPVeto per il campione di fondo da bremsstrahlung.
1971
101
in cui la densità di eventi è più alta, e attraverso questi, noto il tempo del fotone, si ricostruisce
1972
quello che dovrebbe avere il positrone te+recall. Per determinare gli eventi di bremsstrahlung in
1973
cui il positrone ha perso solo una piccola frazione di energia si confronta il tempo ricostruito
1974
te+recall con quello registrato dal rivelatore, e si considera di rigettare tutti quegli eventi che
1975
sono in tempo con quello previsto entro 2ns.
1976
Implementando questo taglio nell’analisi descritta nel capitolo 4, si osserva che per il
cam-1977
pione di fondo da bremsstrahlung vengono rigettati gran parte degli eventi. In figura C.2 si può
1978
osservare la popolazione degli eventi che supera la selezione rispetto al taglio subito
precedente-1979
mente (relativo alla correlazione esistente per il il veto dei positroni). Come si può osservare il
200
− −100 0 100 200 300 400 500 600
2)
A'(MeV M2 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura C.2: Per gli eventi di fondo da bremsstrahlung viene riportato il grafico ottenuto dalla divisione della MA20 tra la distribuzione ottenuta dal campione che supera il taglio per positroni di alta energia e quella relativa agli eventi che superano il taglio utilizzando solo il veto dei positroni.
1980
taglio è funzionale ad alte masse di A0, queste infatti corrispondono a piccole energie dei fotoni
1981
quindi ad alte energie dei e+.
1982
Quindi si implementa il taglio anche per il campione di segnale immerso nel pileup ottenendo
1983
i risultati riportati in figura C.3. Si può osservare come si riduce l’efficienza del segnale oltre
1984
quella di fondo, ragion per cui i limiti per il parametro di accoppiamento 2 con livello di
1985
confidenza al 68% si riducono notevolmente. Infatti si passa da 2 ∼ 3 · 10−6 per la selezione
1986
iniziale a un 2 ∼ 7 · 10−6 considerando questo ultimo taglio descritto per il campione generato
1987
con MA0 = 10M eV e immerso nel pileup.
1988
103
200
− −100 0 100 200 300 400 500 600
2)
A'(MeV M2 0
20 40 60 80 100 120 140 160 180
Figura C.3: In blu è rappresentata la distribuzione per il campione di segnale per MA0 = 10M eV immerso nel pileup che supera i tagli descritti nel capitolo 4, in rosso invece la popolazione di eventi che supera il taglio implementato per il HEPVeto.
Scelta della soglia energetica per i segnali
1990
registrati in ECAL
1991
Nella sezione 4.2 si è studiato come un segnale viene registrato in ECAL e come poterlo
cor-1992
reggere per poter definire le caratteristiche del fotone. Nella medesima sezione si argomenta
1993
che la scelta più ragionevole, per il campione genetato con MA0 = 10M eV , è implementare una
1994
energia di soglia per gli eventi registrati in ECAL pari a 50M eV . Successivamente in figura
1995
4.22 si è osservato che tale soglia tagliava parte del segnale per i campioni generati con masse
1996
superiori a 17.5M eV , quindi si è impostata al valore di Ethr = 20M eV per poi proseguire lo
1997
studio. In questa sezione ci si propone di studiare il campione imponendo Ethr = 50M eV .
1998
I risultati che si ottengono per il campione di fondo sono rappresentati in figura D.1. Si
M(MeV)
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2ε
6
10− 5
10− 4
10−
(thr=20MeV) σ 2
(thr=50MeV) σ 2
Figura D.1: Rappresentazione del numero totale (rappresentato con il simbolo “*” nel caso di Ethr= 50M eV e “” per Ethr = 20M eV ) e solo per il campione di e+e−→ 3γ (“•” per Ethr= 50M eV e “♦”
per Ethr = 20M eV ) di eventi che superano la selezione nei 2σ (blu) e 3σ (rosso) rispetto alla media della distribuzione di MA0.
1999
possono osservare in rosso le curve relative agli eventi interni all’intervallo [µ − 3σ, µ + 3σ] e in
2000
blu quelli interni a [µ − 2σ, µ + 2σ], dove con µ si è intesa la media della distribuzione di MA0 e σ
2001
104
105 la corrispondente larghezza per le diverse ipotesi di massa. In figura inoltre sono rappresentati
2002
i due andamenti relativi al numero di eventi attesi per il fondo totale (caratterizzato da un
2003
numero maggiore di eventi) e per il solo fondo dei tre fotoni, rappresentato dalle curve con il
2004
numero di eventi minore.
2005
Si può osservare che per le analisi condotte con le due soglie, il numero di eventi atteso è
2006
sempre lo stesso fatta eccezione per la massa MA0 in cui il numero di eventi attesi è maggiore
2007
se si impone Ethr = 20M eV .
2008
M(MeV)
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
evBkgN
102
103
104
NBkg1_3sigma_50 NBkg1_2sigma_50 N3gamma1_3sigma_50 N3gamma1_2sigma_50
NBkg1_3sigma NBkg1_2sigma N3gamma1_3sigma N3gamma1_2sigma
Figura D.2: Rappresentazione della costante di accoppiamento 2 con livello di confidenza al 68%, per l’analisi in cui Ethr= 20M eV (rappresentata con “•”) e per quella con Ethr= 50M eV (“N”).
Si può osservare in figura D.2 come per basse masse impostare Ethr = 50M eV migliori
2009
il limite anche se di piccole quantità, la stessa cosa però non si osserva per il campione di
2010
MA0 = 20M eV in cui, come ci si aspettava, l’imposizione della soglia energetica a quel valore
2011
fa perdere gran parte del segnale che come conseguenza porta il peggioramento del valore di 2.
2012
Tabelle riassuntive per i diversi metodi
2014
Massa 10MeV
Tabella E.1: Cl(0)
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 26395 23938 12131
taglio su R 19592 17574 4632
taglio su Eγ 19168 17089 2367
like-bremsstrahlung(t) 0 8836 2288
like-bremsstrahlung(E) 0 5016 2141
segnale 19168 12073 226
in 3σ 19083 12020 39
in 2σ 18368 11664 27
2015
106
107 Tabella E.2: Cl(0)*
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 26395 23938 12131
taglio su R 19592 17574 4632
taglio su Eγ 0 0 0
like-bremsstrahlung(t) 0 9107 3928
like-bremsstrahlung(E) 0 5128 3112
segnale 19592 12446 1520
in 3σ 19466 12304 49
in 2σ 18693 11870 32
Tabella E.3: leading1Cl
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 33310 32527 17594
taglio su R 22830 22010 5813
taglio su Eγ 22323 21362 2929
like-bremsstrahlung(t) 0 11004 2835
like-bremsstrahlung(E) 0 6245 2622
segnale 22323 15117 307
in 3σ 22096 14990 67
in 2σ 21011 14331 45
Tabella E.4: leading1Cl*
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 33310 32527 17594
taglio su R 22830 22010 5813
taglio su Eγ 0 0 0
like-bremsstrahlung(t) 0 11345 4920
like-bremsstrahlung(E) 0 6388 3847
segnale 22830 15622 1966
in 3σ 22530 15341 80
in 2σ 21369 14615 51
Tabella E.5: Leading3Cl
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 33354 34155 23035
taglio su R 22831 22757 7970
taglio su Eγ 22324 21909 3692
like-bremsstrahlung(t) 0 11335 3258
like-bremsstrahlung(E) 0 6455 2826
segnale 22324 15454 866
in 3σ 22096 15280 144
in 2σ 21011 14599 68
Tabella E.6: leading3Cl*
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 33354 34155 23035
taglio su R 22831 22757 7970
taglio su Eγ 0 0 0
like-bremsstrahlung(t) 0 11797 6054
like-bremsstrahlung(E) 0 6656 4291
segnale 22831 16101 3679
in 3σ 22530 15640 224
in 2σ 21369 14887 83
Tabella E.7: true 1cl
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 33150 21857 17311
taglio su R 22876 21213 5822
taglio su Eγ 22355 17089 2925
like-bremsstrahlung(t) 0 10915 2830
like-bremsstrahlung(E) 0 6163 2645
segnale 22355 15552 280
in 3σ 20918 15260 60
in 2σ 20918 14396 43
109 Tabella E.8: true 1cl*
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 33150 32068 17311
taglio su R 22876 21857 5822
taglio su Eγ 0 0 0
like-bremsstrahlung(t) 0 11263 4928
like-bremsstrahlung(E) 0 6305 3884
segnale 2286 15552 1938
in 3σ 22589 15260 68
in 2σ 21293 14396 50
Tabella E.9: true1cl +cl
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 30425 29280 14972
taglio su R 22208 21084 5581
taglio su Eγ 21705 20465 2810
like-bremsstrahlung(t) 0 10548 2717
like-bremsstrahlung(E) 0 5963 2542
segnale 21705 14502 268
in 3σ 21533 15382 54
in 2σ 20437 13676 39
Tabella E.10: true1Cl+Cl*
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 30425 29280 14972
taglio su R 22208 21084 5581
taglio su Eγ 0 0 0
like-bremsstrahlung(t) 0 10884 4729
like-bremsstrahlung(E) 0 6097 3738
segnale 22208 14987 1843
in 3σ 21976 14721 61
in 2σ 20798 13955 45
Tabella E.11: true 3cl
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 33357 34155 23128
taglio su R 22901 22837 8049
taglio su Eγ 22377 21951 3669
like-bremsstrahlung(t) 0 11344 3251
like-bremsstrahlung(E) 0 6434 2857
segnale 22377 15517 812
in 3σ 22152 15337 181
in 2σ 20932 14513 71
Tabella E.12: true 3cl*
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 33357 34155 23128
taglio su R 22901 22837 8049
taglio su Eγ 0 0 0
like-bremsstrahlung(t) 0 11838 6113
like-bremsstrahlung(E) 0 6640 4361
segnale 22901 16197 3688
in 3σ 22612 15712 362
in 2σ 21308 14813 104
Tabella E.13: true3cl +cl
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 30487 30458 15489
taglio su R 22232 21770 5733
taglio su Eγ 21726 21037 2874
like-bremsstrahlung(t) 0 10855 2780
like-bremsstrahlung(E) 0 6159 2599
segnale 21726 14878 275
in 3σ 21552 14750 57
in 2σ 20450 14028 41
111
Tabella E.14: true3Cl+Cl*
Contatori Campioni
degli eventi: Puro Pile-up Fondo
prima selezione 30487 30458 15489
taglio su R 22232 21770 5733
taglio su Eγ 0 0 0
like-bremsstrahlung(t) 0 11268 4852
like-bremsstrahlung(E) 0 6336 3827
segnale 22232 15434 1906
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