La routine di diffusione calcola la variazione nelle abbondanze chimiche punto per punto nella stella. Lo schema di aggiornamento temporale si basa sull’approssima- zione della differenza finita in avanti: la derivata temporale di una quantit`a viene approssimata con il rapporto incrementale
dq dt →
q(t + ∆t)− q(t)
∆t (3.26)
da cui si ottiene la nota espressione dello sviluppo in serie di Taylor al primo ordine:
q(t + ∆t) = q(t) +∂q
∂t∆t. (3.27)
Per l’abbondanza Xi,k di ciascun elemento i e per ogni punto k della stella, dunque,
il codice calcola l’abbondanza chimica al passo temporale successivo tramite lo schema
Xi,knew = Xi,k+
∂Xi,k
∂t ∆t. (3.28)
La derivata temporale viene calcolata tramite l’equazione 3.19: si costruisce il vettore della quantit`a r2ρX
funzione da derivare con un polinomio p(r) che la interpola in un certo numero di punti.
p(rj) = rj2ρjXi,jvi,j per j ={k − N1, ..., k + N1} (3.29)
da cui ∂r2ρXiv ∂r rk ≈ dp dr rk (3.30) Al centro della sruttura, non potendo dividere per r come dettato dall’equazione
3.19, l’abbondanza chimica `e assegnata pari a quella del primo punto diverso da zero, ovvero
Xi,0 = Xi,1 (3.31)
Anche ad aggiornamento della composizione chimica avvenuta, il programma con- trolla che le abbondanze non assumano valori non permessi, pena il blocco del programma. Coerentemente con le assunzioni di Thoul, l’abbondanza di elio viene calcolata tramite la formula
X(He) = 1− ∑
i̸=He
X(i).
La routine verifica inoltre che non ci siano perdite numeriche di massa.
Nelle zone convettive si ha rimescolamento di materia, su tempi scala molto infe- riori a quelli evolutivi. L’abbondanza di ciascuna specie chimica Xi viene dunque
omogeneizzata: se la massa della zona convettiva `e Mconv allora l’abbondanza
omogeneizzata `e Xiconv = ∫ convXidm Mconv (3.32)
Calcoli di accelerazione radiativa
In questo capitolo viene illustrato il lavoro svolto per l’introduzione del meccanismo di accelerazione radiativa e le problematiche associate. I primi articoli sull’inseri- mento dell’accelerazione radiativa nei codici evolutivi sono apparsi nel 1998, ma nonostante siano passati quasi 20 anni i calcoli disponibili in letteratura sono an- cora pochi, essendo difficili e problematici. Riporter`o anche per completezza un breve confronto con i risultati ottenuti dagli autori citati che utilizzano non solo un database di opacit`a diverso dal nostro, ma anche diversi metodi di calcolo. Questo pu`o dare un’idea delle incertezze tuttora presenti in questo genere di stime.
4.1
Uso del database OPAL
Il calcolo dell’accelerazione radiativa richiede la conoscenza dell’opacit`a monocro- matica di ciascun elemento ed il calcolo di opportuni integrali (capitolo 1). I pi`u grandi e completi database di opacit`a monocromatiche sono due:
• il database OPAL (Iglesias et al. 1996, opalopacity.llnl.gov), prodotto ai
laboratori di Livermore;
• il database OP (Seaton 1997, Opacity project, cdsweb.u-strasbg.fr/topbase/TheOP.html).
Le prime valutazioni disponibili in letteratura sugli effetti dell’accelerazione ra- diativa sulle caratteristiche stellari, principalmente sulle abbondanze superficiali, sono state effettuate utilizzando le opacit`a OPAL (per esempio Richer et al. 1998, 2000 ed articoli correlati), anche se per alcuni effetti (come l’impulso trasporta- to dall’elettrone dopo la fotoionizzazione) sono stati usati dagli autori correzioni fornite dall’Opacity Project (vedere ad esempio Hu et al. 2011).
In questo lavoro faccio uso dei dati OP per il calcolo delle accelerazioni radiative, essendo i dati OPAL non pubblicamente disponibili (comunicazione privata); da ricordare per`o che usiamo OPAL per il calcolo delle opacit`a medie di Rosseland
adottate nel nostro codice evolutivo (equazioni di struttura stellare nel capitolo2, e appendice A).
L’inserimento dell’accelerazione radiativa in un modello evolutivo `e un processo oneroso, in quanto richiede di calcolare grad per ciascuno degli elementi che com-
pongono il gas e per ciascun punto della stella; il processo viene inoltre ripetuto per ogni passo temporale. Ogni singola valutazione dell’accelerazione radiativa richiede a propria volta molti calcoli per trovare le opacit`a monocromatiche nelle condizione fisiche di interesse.
Il database OPAL fornisce le opacit`a tabulate in un grigliato di diversi valori (T, R) dove R `e la variabile
R = ρ
T3 6
(4.1) essendo T6 la temperatura espressa in unit`a di 106 K. Richer et al. 1998 cal-
colano dunque le accelerazioni radiative in base alla medesima tabulazione, per poi ricavare le accelerazioni per gli altri valori di T e R tramite interpolazioni. Le opacit`a monocromatiche cos`ı ottenute vengono utilizzate per il calcolo dell’opacit`a radiativa.
Riprendiamo l’espressione per la formula per il calcolo dell’accelerazione radiativa gi`a vista nel primo capitolo:
grad(l) = Lrad 4πr2c kR Xl ∫ ∞ 0 ku ku(total) f (u)du. (4.2)
Il metodo di calcolo di questo integrale `e quello dell’“opacity sampling”: si calcola- no le opacit`a monocromatiche per un certo numero di valori discreti delle frequen- ze, e si stima l’integrale con metodi numerici classici come il metodo trapezoidale. Definita la variabile u = hν/kBT , il dominio di integrazione viene diviso in un
certo numero di sottointervalli di ampiezza ∆u; in base alle prove effettuate dagli autori si `e visto che 104÷ 105 punti sono normalmente sufficienti per ottenere una
precisione accettabile (condizioni fisiche particolari possono comunque richiedere un aumento dei punti). La funzione integranda assume inoltre valori trascurabili per grandi valori di u, per cui l’integrazione avviene sull’intervallo [0, 20]. Se G(u) `
e la funzione da integrare nell’equazione 4.2, il risultato `e la somma degli integrali ottenuti per ciascun intervallo; nel caso di Richer et al., per ciascun intervallo ∆u si calcola l’opacit`a in un valore ui appartenente ad esso, e si approssima l’integrale
in quell’intervallo col prodotto G(ui)∆u. Il risultato `e dunque
∫
G(u)du≈∑
i
G(ui)∆u. (4.3)
Data l’irregolarit`a delle opacit`a e la forma molto piccata delle righe (figura 4.1), Richer et al. ripetono l’integrazione variando di volta in volta, in modo random, i valori di ui all’interno dei rispettivi intervalli; le accelerazioni cos`ı ottenute vengono
mediate tra loro: grad = 1 N N ∑ j=1 grad(j). (4.4)
Il numero di valutazioni necessarie aumenta se la funzione integranda ha righe strette e piccate in ciascun intervallo. Comunque aumentare il numero di righe da includere nel calcolo ha effetto equivalente ad effettuare il campionamento di cui sopra mediando tra tanti valori ottenuti; dunque se si usa OPAL nei casi in cui il campionamento non `e sufficiente non ci si attender`a un errore di tipo sistematico, quanto piuttosto una fluttuazione random intorno al valore vero.
I dati OPAL non consentono di tener conto dell’impulso acquisito dal fotoelettrone dopo un fenomeno di fotoionizzazione, effetto in cui bisogna anche tener conto che ciascun elemento possiede diversi stati di ionizzazione (effetto di redistribuzione). Richer et al. hanno dunque usato i dati OP per apportare tali correzioni. In figura
4.2 vediamo un esempio dell’effetto della ridistribuzione di impulso tra elettrone e ione, confrontando l’accelerazione radiativa del ferro nei casi indicati: la curva a tratti assume che l’impulso del fotone assorbito nella transizione n → n + 1 sia mantenuto nello stato di ionizzazione finale (caso ∆n = 1), mentre la curva continua assume che ciascuno stato di ionizzazione mantenga l’impulso proveniente da transizioni che terminano nello stesso stato n (∆n = 0).
Nel capitolo 1 abbiamo detto che ciascun elemento presenta diversi stati di io- nizzazione, per cui l’accelerazione radiativa agente su ciascun elemento `e data da un’opportuna media delle accelerazioni radiative agenti su ogni stato di ionizza- zione (equazione 1.51). La situazione reale si presenta pi`u complicata, in quanto nell’equazione 1.51 si assume che ciascuno stato di ionizzazione sia indipendente dagli altri, cio`e si trascurano le ionizzazioni e ricombinazioni. Per poter fornire risultati pi`u realistici sono dunque necessari i rate β di questi processi, che consen- tono dunque di valutare l’accelerazione radiativa efficace associata ad ogni stato di ionizzazione (Montmerle et al., 1976); tali valutazioni sono comunque assai com- plesse, e sono state risolte in dettaglio solo per pochi casi (elio in Michaud et al. 1979, mercurio in Proffitt et al. 1999). Gli errori commessi trascurando questi contributi sono comunque accettabili.
Un metodo alternativo di calcolo dell’integrale per l’accelerazione radiativa `e quello sviluppato Gonzalez et al. (1995, GLAM). L’integrale viene eseguito per ogni riga dell’elemento k, per poi ottenere l’accelerazione radiativa grad(k) sommando
i diversi integrali. Nella (1.49) che serve a calcolare l’accelerazione radiativa si divide inoltre l’opacit`a totale in due contributi: opacit`a dovuta alla specifica riga l (indicata con k(l)) e opacit`a di background, cio`e l’opacit`a alla frequenza ν senza il contributo della riga in questione, dovuta anche alla presenza degli altri elementi:
kν = kν(back) + k(l) (4.5)
Per il contributo di k(l) viene usato il profilo di riga esatto, mentre il termine di background viene opportunamente mediato, cio`e assunto come costante (indi- pendente da u). L’intervallo in u tra 0 e 20 viene diviso in 4000 sottointervalli uguali ∆u, e kν(back) viene mediato per ciascun intervallo. Il background viene
Figura 4.1: Esempio di opacit`a del ferro, per kBT = 20 eV e Ne= 1019cm−3.
Figura tratta da Richer et al. (1998)
calcolato assumendo che ciascuna riga che abbia il proprio centro in ∆u sia total- mente compresa in esso, e abbia forma rettangolare con larghezza, appunto, ∆u. Il procedimento trova parziale giustificazione per ragioni statistiche, in quanto le lunghezze d’onda associate alla transizioni di una mistura sono calcolate e non misurate, dunque non conosciute esattamente. Il vantaggio di tale sistema `e che si prendono in considerazione tutte le righe dell’elemento in questione e del back- ground, ma si pu`o perdere precisione se l’intervallo ∆u `e sensibilmente diverso dalla larghezza di riga.
In figura 4.3 `e riportato un confronto fra i risultati di calcolo di accelerazioni radiative ottenute dai vari gruppi, nella variabile log (kRF (A)/XA) dove F (A) `e
la frazione di impulso assorbito dall’elemento A:
F (A) = ∫ ∞ 0 ku ku(total) f (u)du (4.6)
Le differenze tra metodo del campionamento e dati di Seaton 1997 sono dovuti principalmente all’inclusione da parte di quest’ultimo della struttura fine. Diversi database di opacit`a, inoltre, sono responsabili delle differenze soprattutto per il ferro, a temperature minori di 106K. I grafici seguono comunque andamenti simili,
per cui possiamo assumere come validi i calcoli che andremo a fare ed i risultati ottenuti.
Figura 4.2: Accelerazioni radiative corrette per la redistribuzione dell’impulso fra elettrone e ione, a logRe = 2.5 essendo Re = Ne/T3. Le linee continue
indicano il calcolo per ∆n = 0, le linee tratteggiate ∆n ≤ 1, essendo n il numero quantico principale. Figura da Richer et al. (1998)
Figura 4.3: Confronto tra le accelerazioni radiative di C, Mg, Si, Fe calcolate per abbondanze solari. I risultati di LeBlanc et al. (2000) sono rappresentati dai cerchi pieni, quelli di Seaton 1997 dai triangoli e quelli di GLAM dai cerchi