vit`a radiativa
In questo paragrafo riporto i risultati di una serie di simulazioni in cui ho confron- tato i risultati ottenuti col nostro codice evolutivo con quelli del codice evolutivo MESA (Paxton et al. 2011); nel codice infatti `e inserita una subroutine che per- mette di includere nei calcoli la diffusivit`a radiativa con il formalismo di Morel & Thevenin. Trattandosi di codici diversi `e fisiologico ottenere delle piccole discre- panze nei risultati; comunque un confronto, anche non esatto, pu`o confortarci sui risultati da me ottenuti. Una differenza importante fra i due codici `e l’assenza di una zona superficiale di tipo subatmosferico in MESA, dunque sono presenti
-5.5 -5 -4.5 -4 log(mext/M) -4e-07 -3e-07 -2e-07 -1e-07 0 1e-07 v diff (cm/s) H, DR=1 He, DR=1 C, DR=1 N, DR=1 O, DR=1 Fe, DR=1 H, DR=0 He, DR=0 C, DR=0 N, DR=0 O, DR=0 Fe, DR=0
Figura 5.26: Andamento delle velocit`a diffusive a circa 13 Myr in un model- lo di 1.5 M⊙ con efficienza della diffusivit`a radiativa DR = 1, in funzione di
log(mext/M ) dove mext `e la massa esterna al punto considerato.
differenze sul trattamento superficiale della diffusione. In generale il codice ME- SA `e, come il nostro, complesso e composto da molte routine, e dotato di una propria serie di parametri; non `e possibile, dunque, ottenere sempre un confronto fra grandezze a parit`a di parametri. Il codice MESA usa uno schema numeri- co di risoluzione delle equazioni di diffusione analogo al nostro; inoltre, come nel FRANEC, in MESA viene inserito nelle equazioni diffusive un termine proporzio- nale a quella che Morel e Thevenin chiamano “diffusivit`a radiativa”, chiamandolo tuttavia “turbolenza radiativa”, secondo le considerazioni di Alecian & Michaud, richiamando dunque il concetto di una forma di turbolenza.
Il confronto tra le abbondanze superficiali `e stato effettuato per masse di 0.8 e 1.2 M⊙, dotate di inviluppo convettivo, e per una 1.5 M⊙ che ne `e priva. In fi- gura 5.30 vediamo il confronto fra i due codici, in termini del valore superficiale di log(n(F e)/n(H)) in funzione del tempo, nel caso di un modello di 0.8 M⊙; per entrambe `e attiva la turbolenza radiativa, con efficienza DR = 1. I risultati sono
simili, con differenze massime inferiori a 0.05 dex, che reputiamo accettabili dato che le incertezze osservative sono dello stesso ordine. In figure 5.31 vediamo il confronto come per la figura precedente, ma per una massa di 1.2 M⊙. Anche in questo caso gli andamenti sono molto simili, con differenze che possono essere probabilmente ricondotte alla differenza fra i due codici. Le risalite delle abbon- danze al termine delle tracce sono dovute all’affondo dell’inviluppo convettivo; nel caso della 1.2 M⊙ la zona convettiva ha un temporaneo ispessimento (figura
5.29), causando l’oscillazione delle abbondanze superficiali osservate nella figura precedente.
6 7 8 9 10 log(t/yr) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X(el)_sup H, DR=0.2 He, DR=0.2 H, DR=0.1 He, DR=0.1 H, DR=0.05 He, DR=0.05
Figura 5.27: Abbondanza superficiale di H ed He al variare del coefficiente
DR, per un modello di 1.5 M⊙ con metallicit`a Z = 0.006.
6 7 8 9 10 log(t/yr) -5.5 -5.4 -5.3 -5.2 -5.1 -5 -4.9 -4.8 log(n(Fe)/n(H)) DR=0.2 DR=0.1 DR=0.05
Figura 5.28: Valore superficiale di log(n(F e)/n(H)) al variare del coefficiente
6 7 8 9 10 log(t/yr) -4 -3 -2 -1 0 log(m conv /M)
Figura 5.29: Estensione in massa della zona convettiva per un modello di 1.2 M⊙, metallicit`a Z = 0.016 ed elio He = 0.28. Simulazione di FRANEC.
In figura (5.32) vediamo riassunto il confronto tra caso standard e caso con inclu- sione della diffusivit`a radiativa (DR= 1 per entrambe i codici) per la 1.2 M⊙; l’in-
clusione della diffusivit`a radiativa aumenta il valore superficiale di log(n(Fe)/n(H)) in modo simile per i due codici.
Nel caso di assenza di turbolenza radiativa (equivalente a porre DR= 0) anche in
MESA si ha uno svuotamento delle zone esterne in stelle senza inviluppo convettivo (figura5.33per una 1.5 M⊙), come avviene in FRANEC senza la subatmosfera. Il livello di deplezione in MESA `e notevolmente maggiore del nostro, come atteso, per il fatto che il FRANEC mantiene comunque un piccolo spessore della subatmosfera in cui la diffusione `e inattiva. Questo rappresenta una ulteriore conferma che la presenza di un meccanismo di contrasto della diffusione `e necessario per evitare risultati non realistici.
In figura (5.29) vediamo l’estensione in massa della zona convettiva mconv nella
1.2 M⊙ con metallicit`a Z = 0.016; la presenza di diffusivit`a radiativa non induce (tramite variazione della distribuzione degli elementi rispetto al caso non radiativo) un aumento della regione convettiva superficiale; ho verificato un livello nullo di variazione anche nel caso del modello di 0.8 M⊙ e metallicit`a Z = 0.016. In una 1.2 M⊙con Z = 0.008 (modello che sar`a usato anche in seguito per le accelerazioni radiative) si ha una differenza massima di circa 4· 10−6 M⊙ con inclusione della turbolenza radiativa (figura 5.34).
In conclusione, la cosiddetta “diffusivit`a radiativa” inibisce gli effetti diffusivi, cau- sando minor grado di variazione dell’abbondanza di ciascun elemento, senza per`o
2 4 6 8 10 log(t/yr) -4.55 -4.5 -4.45 -4.4 log(n(Fe)/n(H)) MESA FRANEC
Figura 5.30: Valore superficiale di logn(F e)/n(H) per un modello di 0.8 M⊙
con metallicit`a Z = 0.016, con diffusivit`a radiativa DR= 1.
causare sovrabbondanze rispetto al valore iniziale come potrebbe fare un effetto diffusivo. Considerato ci`o, e considerate le valutazione espresse in letteratura sul significato fisico di questo termine, `e pi`u plausibile interpretarlo come un fenomeno di tipo turbolento. Dunque, nel capitolo 7, inserir`o nel FRANEC una turbolenza maggiormente accettata ed usata in letteratura.
3 4 5 6 7 8 9 10 log(t/yr) -4.55 -4.5 -4.45 -4.4 log(n(Fe)/n(H)) FRANEC MESA
Figura 5.31: Valore superficiale di logn(F e)/n(H) per un modello di 1.2 M⊙
con metallicit`a Z = 0.016, con diffusivit`a radiativa DR= 1.
7 8 9 10 log(t/yr) -4.55 -4.5 -4.45 -4.4 log(n(Fe)/n(H)) FRANEC, DR=0 FRANEC, DR=1 MESA, DR=0 MESA, DR=1
Figura 5.32: Confronto fra i due codici per il modello di 1.2 M⊙con Z = 0.016
7 7.5 8 8.5 9 9.5 log(t/yr) -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 log(n(Fe)/n(H)) FRANEC, DR=0 FRANEC, DR=0.5 MESA, DR=0 MESA, DR=1
Figura 5.33: Confronto per il valore superficiale di log(n(F e)/n(H)) per il modello di 1.5 M⊙, Z = 0.006, con e senza turbolenza radiativa.
6 7 8 9 10 log(t/yr) -5 -4 -3 -2 -1 0 log(m ext /M) DR=0 DR=1
Figura 5.34: Estensione in massa della zona convettiva per una M = 1.2 M⊙, Z = 0.008, con e senza turbolenza radiativa.
Calcolo di modelli con
accelerazione radiativa
In questo capitolo calcolo una serie di modelli evolutivi inserendo la levitazione ra- diativa, effettuando il confronto tra le abbondanze superficiali ottenute con e senza levitazione radiativa; i risultati sono messi a confronto anche con quelli ottenuti inserendo nel codice la cosiddetta “diffusivit`a radiativa” discussa nel capitolo pre- cedente (Morel & Thevenin 2002) Ricordo qui brevemente la formula del termine di turbolenza radiativa da aggiungere alla velocit`a diffusiva di ciascun elemento:
δvturbrad =−Dradturb∂lnX
∂r =−DR 4 15 aT4 kRρc2 ∂lnX ∂r (6.1)
Ricordo inoltre che, per il calcolo delle accelerazioni radiative, ho fatto uso delle routine numeriche fornite dal gruppo di ricerca OP (Opacity Project, vedere per esempio Seaton 1997). Nelle simulazioni che ho eseguito, sia qui che nella succes- siva fase di lavoro, ho riscontrato ulteriori anomalie nelle routine OP per il calcolo delle accelerazioni radiative (capitolo4). A volte si verificano dei problemi di pura convergenza nei calcoli dell’accelerazione radiativa per l’idrogeno, oggetto del pro- blema spiegato nel capitolo4. Inoltre, a volte il profilo di densit`a e di temperatura in una stella pu`o comprendere valori troppo alti rispetto a quelli accettati in in- gresso dalle routine di accelerazione radiativa; pi`u precisamente, per ciascun valore di temperatura le routine OP accettano in ingresso un corrispondente intervallo di densit`a per effettuare i calcoli, ed in certi casi si verifica che qualche valore di densit`a cade al di fuori dell’intervallo impostato, dando origine ad un segnale di errore e dunque all’arresto della simulazione. Questo errore pu`o essere solitamente superato assegnando nel FRANEC un tempo di inizio calcolo delle accelerazioni radiative, scelto in modo che queste comincino ad essere calcolate da un certo pun- to in poi della simulazione, comunque sempre nelle fasi iniziali dell’azione diffusiva (tempi dell’ordine di 107 anni). Nei modelli calcolati nel prossimo capitolo, inve-
ce, questo accorgimento non basta, o comunque si richiederebbe di cominciare ad inserire la levitazione radiativa in fase evolutiva troppo avanzata; per questi casi ho notato per`o che usando una mistura ridotta come quelle illustrate nel capitolo
4 non si verifica pi`u l’errore di cui sopra, e si pu`o attivare la levitazione radiativa anche a tempi accettabili.
6.1
La levitazione radiativa in stelle di sequenza
principale superiore
Le stelle con massa maggiore di circa 1.2-1.3 M⊙ in fase di combustione centra- le di idrogeno appartengono alla sequenza principale superiore; per buona parte della sequenza principale possiedono nucleo convettivo ed inviluppo radiativo. In queste strutture, l’assenza di un inviluppo convettivo (o comunque la sua piccola estensione se presente, in modelli con massa attorno al valore di transizione, di- pendente fra l’altro dalla metallicit`a) favorisce i meccanismi diffusivi, sia pure nel gi`a citato limite in cui all’aumentare della massa diminuiscono i tempi evolutivi a disposizione; infatti, come spiegato in precedenza, la convezione agisce su tempi scala molto minori di quelli diffusivi, riducendone dunque gli effetti.
Come primo test vediamo il confronto tra caso non levitativo e levitativo per un modello di 1.5 M⊙ con Z = 0.006 e frazione in massa di elio Y = 0.26. Per il calcolo delle accelerazioni radiative faccio uso della mistura a 6 elementi di H, He, C, N, O, Fe illustrata nel capitolo4. La simulazione si `e arrestata a circa 750 Myr (con abbondanza centrale di idrogeno Xc(H) ≈ 0.46) a causa di valori negativi
dell’abbondanza di 7Li in prossimit`a della superficie; il problema di instabilit`a
numeriche sulle abbondanze si verifica in diversi casi, per cui pu`o essere necessario variare certi parametri di simulazione (spessore subatmosferico, passo temporale massimo etc.) per cercare di superarlo. Nelle figure 6.1, 6.2, 6.3,6.4 osserviamo l’abbondanza superficiale in massa di C, N, O, Fe in funzione del tempo.
Notiamo che per C, N e O la levitazione radiativa ha effetto molto ridotto, se non trascurabile; l’abbondanza di ferro invece aumenta rispetto al valore iniziale. Per C, N e O abbiamo inoltre che la turbolenza radiativa fa aumentare l’abbondanza superficiale in grado assai maggiore di quanto non faccia la levitazione radiativa; la turbolenza, comunque, non pu`o in ogni caso far salire le abbondanze al di sopra del valore iniziale. Solo la levitazione radiativa pu`o dare luogo ad aumento di abbondanza rispetto all’istante iniziale, che in questo caso avviene solo per il ferro. In figura 6.5 vediamo l’evoluzione delle abbondanze superficiali secondo i modelli di Turcotte et al. (1998), nei casi riportati in didascalia (relativi a diverse masse ed equazioni di stato, inclusive o meno della correzione coulombiana alla pressione); da notare che, per il modello di 1.5 M⊙, si ha comunque che l’abbondanza degli elementi pesanti scende nel caso non levitativo.
Per studiare pi`u nel dettaglio la situazione riporto i profili di abbondanza degli elementi considerati all’interno della stella. Le figure 6.6, 6.7, 6.8, 6.9 riportano i profili rispettivamente di C, O, Fe (mext`e la massa esterna al punto in considerazio-
ne); tali profili sono ricavati a 100 Myr, dunque all’inizio della sequenza principale con abbondanza centrale di idrogeno Xc(H)≈ 0.7. Per C e O le variazioni in pros-
6.5 7 7.5 8 8.5 9 log(t/yr) 0 0.0005 0.001 0.0015 X(C)_sup no g_rad g_rad DR=0.5
Figura 6.1: Abbondanza superficiale di carbonio per il modello M = 1.5 M⊙, Z = 0.006.
piccolo aumento di abbondanza nel caso levitativo nella regione di stella attorno a log(mext/M ) ≈ −5, mentre per l’ossigeno si verifica per log(mext/M ) ≤ −5.5.
Nel caso dell’azoto non si notano differenze col caso non levitativo. Per il fer- ro, invece, il profilo levitativo `e minore dell’altro per −5 ≤ log(mext/M ) ≤ −4,
mentre per log(mext/M ) < −5 si ha una decisiva risalita rispetto al caso senza
levitazione radiativa; sono presenti oscillazioni in prossimit`a della superficie, ori- ginate da instabilit`a numeriche. Non `e stato possibile eseguire un confronto con il codice MESA per lo stesso modello stellare, in quanto questo codice ha subito delle instabilit`a numeriche che hanno reso impossibile la fine della simulazione. Vediamo gli effetti dell’accelerazione radiativa sulla velocit`a diffusiva degli ele- menti. Nelle figure 6.10 e 6.11 sono riportati rispettivamente per il carbonio ed il ferro, sempre a 100 Myr, i vari termini che contribuiscono alla velocit`a diffusi- va in funzione della coordinata in massa: il termine dovuto al gradiente chimico, quello dovuto ai gradienti di pressione e temperatura, il termine di levitazione e la velocit`a diffusiva risultante. In entrambi i grafici si riconoscono delle variazio- ni, fra caso levitativo e non, fra termini di chimica e di pressione/temperatura, a parit`a di elemento, dovute al fatto che l’accelerazione radiativa cambia, trami- te il termine diffusivo associato, la composizione chimica all’interno della stella. La variazione del termine chimico nel caso del carbonio, difficilmente visibile nel grafico, `e positiva: la traccia si sposta pi`u in alto nel caso levitativo. Il termine dovuto al gradiente di pressione e di temperatura si sposta invece in basso, da log(mext/M ) ≈ −5.5 verso l’esterno. Il termine radiativo `e dello stesso ordine di
grandezza di quello chimico, ed ha un massimo a log(mext/M ) ≈ −4.5. La velocit`a
6.5 7 7.5 8 8.5 9 log(t/yr) 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 X(N)_sup no g_rad g_rad DR=0.5
Figura 6.2: Abbondanza superficiale di azoto per il modello M = 1.5 M⊙, Z = 0.006. 6.5 7 7.5 8 8.5 9 log(t/yr) 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 X(O)_sup no g_rad g_rad DR=0.5
Figura 6.3: Abbondanza superficiale di ossigeno per il modello M = 1.5 M⊙, Z = 0.006.
6.5 7 7.5 8 8.5 9 log(t/yr) 0.00000 0.00025 0.00050 0.00075 0.00100 0.00125 X(Fe)_sup no g_rad g_rad DR=0.5
Figura 6.4: Abbondanza superficiale di ferro per il modello M = 1.5 M⊙, Z =
0.006.
radiativa ostacola la sedimentazione gravitazionale) fino a log(mext/M ) = −5.5,
per poi aumentare andando verso l’esterno. Per il ferro l’accelerazione radiativa ha effetti molto maggiori. La radiazione provoca, come nel caso del carbonio, lo spostamento a valori maggiormente negativi del termine di pressione/temperatura, ma il termine puramente radiativo `e dominante nelle zone esterne, tanto da pro- vocare velocit`a diffusiva positiva oltre log(mext/M ) = −4.5. Come accennato, la
presenza di levitazione radiativa altera la composizione chimica, e di conseguenza variano i coefficienti diffusivi (i quali pure dipendono dalla composizione chimica, si veda il capitolo 1); questo porta alla variazione, fra caso levitativo e non, dei singoli termini diffusivi illustrati nelle figure precedenti.
Nel test successivo ho simulato una 1.2 M⊙ con Z = 0.008. In questo caso `e pre- sente un inviluppo convettivo (in figura6.12 la massa mconv della zona convettiva,
e M la massa della stella), la cui estensione in massa tuttavia non inibisce eccessi- vamente gli effetti diffusivi che siamo interessati a confrontare. In figura6.13 sono riportati i risultati relativi alle abbondanze superficiali (sotto forma della variabile log(n(i)/n(H) dove n `e la densit`a numerica superficiale) in funzione del tempo. Nel caso con accelerazione radiativa le abbondanze scendono rispetto al caso non levitativo. Il solo elemento la cui deplezione viene maggiormente contenuta dalla radiazione `e il ferro, che rimane quasi allo stesso livello del caso non levitativo. I risultati ottenuti con MESA sono analoghi (6.14): anche secondo questo codice, le abbondanze scendono nel caso levitativo (compreso il ferro, che nei risultati del FRANEC invece segue un andamento di minor deplezione). La diversa entit`a della diminuzione di abbondanza `e da imputarsi al diverso trattamento, nei due codici,
Figura 6.5: Abbondanza superficiale di metalli e di ferro per i modelli: 1.1 M⊙ (linea a tratti lunghi), 1.3 M⊙ con equazione di stato senza correzione coulombiana alla pressione (linea a tratti brevi e sottili), 1.3 M⊙ con equazione di stato inclusiva della correzione coulombiana alla pressione (linea a tratti brevi e spessi), 1.4 M⊙ con EFF (linea continua spessa), 1.4 M⊙ con CEFF (linea continua sottile), 1.45 M⊙ (linea a punti), 1.5 M⊙(linea a tratti e punti).
Figura tratta e adattata da Turcotte et al. (1998).
della diffusione e del trattamento delle regioni superficiali. In figura6.15 vediamo, per lo stesso modello e codice, le abbondanze superficiali in massa; l’andamento si conferma analogo al nostro.
Nell’inviluppo convettivo la materia viene rimescolata dai moti convettivi, quindi le abbondanze chimiche (omogenee in tutta la regione) sono dovute al flusso diffu- sivo di materia, per ciascun elemento, attraverso il bordo inferiore di questa zona. Vediamo in figura 6.16 l’andamento in funzione del tempo dei valori di accelera- zione radiativa degli elementi indicati alla base della zona convettiva, confrontati con il corrispondente valore di gravit`a. Ad eccezione del ferro, per i vari elementi l’accelerazione radiativa si mantiene sempre inferiore alla gravit`a; per il ferro `e invece costantemente maggiore. Tuttavia, come sappiamo dal capitolo 1, in ge- nerale la velocit`a diffusiva di ciascun elemento `e la risultante di diversi termini (gradienti di concentrazione, di pressione etc.), per cui un valore di accelerazione radiativa maggiore della gravit`a non implica necessariamente un flusso diffusivo diretto verso la superficie. Per avere conferma di questo quadro vediamo le velo- cit`a diffusive sempre alla base della zona convettiva, in figura 6.17. Per C, N e O le velocit`a diffusive si mantengono in effetti negative, sotto l’effetto prevalente della sedimentazione gravitazionale. Come spiegato nel caso del modello di 1.5 M⊙, l’accelerazione radiativa induce variazioni nelle abbondanze chimiche, e di conseguenza cambiano i singoli termini diffusivi di velocit`a; questo spiega anche le variazioni di velocit`a diffusiva che, in certi momenti, possono essere negative (inducendo, cio`e, una velocit`a diffusiva maggiormente negativa, per esempio si veda il carbonio). Anche per il ferro, nonostante grad > g, la velocit`a diffusiva
rimane negativa; poco dopo 1 Gyr il ferro comincia a risalire, e la velocit`a diffusi- va raggiunge il massimo a 3.2 Gyr per poi riprendere a scendere (e l’abbondanza
-6 -5.5 -5 -4.5 -4 log(mext/M) 0 0.00025 0.0005 0.00075 0.001 0.00125 X(C) no g_rad g_rad
Figura 6.6: Abbondanza interna di carbonio per il modello M = 1.5 M⊙, Z =
0.006, all’et`a di 100 Myr.
superficiale pure riprende la discesa, salvo invertire nuovamente il cammino nelle fasi finali a causa dell’affondo della zona convettiva).
Ho deciso di ripetere i calcoli per un modello con la stessa massa (1.2 M⊙) ma con metallicit`a incrementata a Z = 0.016 per poter valutare le differenze. L’estensione dell’inviluppo convettivo aumenta come illustrato in figura 6.18; da notare come, all’aumentare della metallicit`a, aumentano i tempi evolutivi, conseguenza della maggiore opacit`a dovuta ai metalli.
Per ragioni di stabilit`a numerica la frazione subatmosferica `e stata qui impostata a 2·10−6. In questo caso il ferro (figura6.20) diminuisce nel tempo in misure mag- giore rispetto al caso senza grad, come avviene per gli altri elementi nello stesso
modello visto prima. Anche la simulazione di MESA per lo stesso modello preve- de deplezione di ferro almeno temporanea (figura 6.21); questo induce a ritenere che non si tratti di un fenomeno localizzato unicamente nel nostro codice evolu- tivo, e che l’aumento di frazione subatmosferica possa non essere la sola causa della deplezione osservata. L’inserimento della turbolenza radiativa, con fattore di efficienza DR = 1, fa invece aumentare l’abbondanza, come verificato nei casi
studiati finora. La figura6.19mostra che la zona convettiva ha, nel caso levitativo, un temporaneo aumento in massa rispetto al caso non levitativo (circa il 50%), in corrispondenza del quale il ferro raggiunge il suo valore minimo. Le abbondanze superficiali di carbonio e azoto (l’ossigeno non viene riportato in quanto il suo andamento `e simile a quello degli altri) sono riportate nelle figure 6.22 e 6.23; la situazione `e simile a quella vista nel caso di minore metallicit`a, con l’accelerazione radiativa che causa minore abbondanza superficiale.
-6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 log(mext/M) 0 5e-05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035 X(N) no g_rad g_rad
Figura 6.7: Abbondanza interna di azoto per il modello M = 1.5 M⊙, Z =
0.006, all’et`a di 100 Myr. -6 -5.5 -5 -4.5 -4 log(mext/M) 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 X(O) no g_rad g_rad
Figura 6.8: Abbondanza interna di ossigeno per il modello M = 1.5 M⊙, Z =
-6 -5 -4 -3 -2 log(m_ext/M) 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 X(Fe) no g_rad g_rad
Figura 6.9: Abbondanza interna di ferro per il modello M = 1.5 M⊙, Z =
0.006, all’et`a di 100 Myr.
Il profilo di abbondanza interno di ferro a 1 Gyr (figura6.24) mostra un incremento dovuto alla levitazione radiativa nella regione−2.8 ≤ log(mext/M )≤ −1.5, per poi
scendere e ritrovarsi, appena al di sotto della zona convettiva, a livello inferiore rispetto al caso non levitativo. In figura 6.25 vediamo il profilo di abbondanza interno per gli altri elementi nello stesso istante; il profilo di ciascuno si mantiene uguale a quello non levitativo fino a log(mext/M )≈ −2.8, per poi scendere a valori
inferiori e mantenersi tali fino alla superficie.
I risultati fin qui ottenuti illustrano che la levitazione radiativa ha effetti diversi e contrastanti sulle abbondanze superficiali. Nel caso di masse sufficientemente grandi da non avere inviluppo convettivo, la levitazione radiativa ha effetto note- vole sul ferro, la cui abbondanza superficiale aumenta rispetto al valore iniziale; per gli altri elementi l’effetto `e molto ridotto. Quando compare una zona con- vettiva la situazione cambia: le abbondanze superficiali scendono maggiormente rispetto al caso senza levitazione. Fa eccezione il ferro, la cui abbondanza diminui- sce comunque nel tempo, ma meno di quanto farebbe senza grad. All’aumentare
della metallicit`a anche per il ferro si ha maggior deplezione rispetto al caso non