Per studiare il problema dell’eccessivo grado di diffusione nelle regioni esterne di una stella ho studiato un approccio proposto da Morel & Thevenin (2002). Tali autori si sono occupati di cercare una soluzione per stelle con massa M ≥ 1.2− 1.4 M⊙, in quanto l’inviluppo convettivo in tali strutture `e sottile o assente, e la diffusione microscopica agisce in modo efficiente fino alle regioni superficiali. Se la diffusione agisse senza inibizione nelle zone esterne si osserverebbero forti deplezioni di elio e metalli, mentre tali effetti non vengono rivelati osservativamente (Varenne e Monier 1999, Daflon et al. 2000). Per spiegare tali discrepanze si ipotizzano in letteratura diversi meccanismi fisici, ma il problema `e ancora aperto:
• Accelerazioni radiative, le quali sono tuttavia maggiormente efficienti su ele-
menti ad alto Z; essendo questi poco abbondanti non si riesce a limitare la sedimentazione gravitazionale per l’elio ed altri elementi pesanti.
• Mixing turbolento generato dalla rotazione differenziale della struttura stel-
lare. Schatzman et al. (2000) hanno rilevato tuttavia come tale meccanismo coinvolga una piccola regione e possa non essere cos`ı efficiente come richiesto.
• fenomeni di perdita di massa (Chaboyer et al. 1999)
• Miglior trattamento fisico della zona di convezione nei modelli. Turcotte et
al. (1998) e Richer et al. 2000 trovano, in alcuni modelli di stelle di classe dalla A a G, la formazione di una zona convettiva dovuta all’accumulo di ferro, che inibisce gli effetti diffusivi. Rimangono tuttavia discrepanze con le osservazioni, in quanto non vengono correttamente riprodotte le abbondanze osservate in stelle appartanenti all’ammasso delle Iadi (Varenne & Monier 1999).
Morel & Thevenin (2002) focalizzano la loro attenzione su un ulteriore meccanismo fisico normalmente non incluso nella trattazione standard della diffusione, che `e quello della componente isotropa dello scambio di impulso nelle collisioni ioni- fotoni. Essi ipotizzano che un tale meccanismo possa contenere gli effetti della sedimentazione gravitazionale e migliorare l’accordo teoria-osservazioni, come in effetti verificano nel caso delle stelle appartenenti all’ammasso delle Iadi. Gli autori mostrano che, in un plasma immerso in un campo di radiazione, la viscosit`a `
e dovuta alla somma di due termini:
ν = νmol+ νrad (5.38)
Il primo termine `e la viscosit`a cinematica molecolare, e trae origine dagli scambi energetici che avvengono nelle collisioni termiche che causano eccitazione e ioniz- zazione di atomi e ioni. Il secondo termine `e la viscosit`a cinematica radiativa, ed `
e dovuto alla trasmissione di impulso dai fotoni al mezzo nel quale vengono assor- biti. La viscosit`a radiativa in un mezzo a temperatura T `e espressa da (Thomas
Figura 5.18: Profilo della viscosit`a radiativa νrad (linea piena), della viscosit`a
molecolare νmol (linea a tratti), coefficiente di diffusione dell’idrogeno dH (linea
a tratti e punti) e dell’elio dHe (linea a punti), in funzione del raggio, per due
modelli stellari di 1 e 1.8 M⊙ a 700 Myr. Grandezze espresse in unit`a cgs. Figura tratta da Morel et al. (2002).
1930, Mihalas et al. 1984) νrad = 4 15 aT4 kRcρ2 (5.39) dove a `e la costante di radiazione e kR`e l’opacit`a media di Rosseland. Il formali-
smo di Burgers, da noi adottato per le equazioni di diffusione (capitolo 1), tratta solo le collisioni ioni-ioni e ioni-elettroni, trascurando dunque il contributo delle interazioni ioni-fotoni; quest’ultimo viene incluso da Morel & Thevenin con il no- me di “diffusivit`a radiativa”. La diffusione molecolare comprende due contributi: uno isotropo, che genera rimescolamento, ed uno anisotropo, responsabile della sedimentazione gravitazionale. Quindi lo scambio di impulso tra fotoni e mezzo genera anch’esso due diversi contributi: uno anisotropo che genera accelerazione radiativa (Alecian 1996), e uno isotropo che genera mescolamento. Il termine di diffusivit`a radiativa quindi rappresenta la parte isotropa dello scambio di impulso fra fotoni e ioni, e agisce in modo da inibire la separazione chimica degli elementi. Inoltre, essendo il libero cammino medio dei fotoni molto maggiore di quello dei protoni, il termine radiativo della viscosit`a `e dominante; per questa ragione, come fanno gli autori, nella trattazione che segue si parametrizza in funzione della sola viscosit`a radiativa.
Il grafico (5.18) riporta un esempio dei valori di coefficienti di diffusione e di viscosit`a molecolare e radiativa. Le varie grandezze mostrano un andamento simile
Figura 5.19: Abbondanze superficiali (dex) di C, O, Fe, Mg per modelli di Iadi a 570 Myr, calcolati don DR = 0 (punto), DR = 0.5 (dashed), DR = 1
(pieno), DR= 5 (dash dot dash dot) e DR= 9 (dash dot dot dot dash)
all’interno della stella. `E dunque lecito, come prima approssimazione, supporre una relazione di tipo lineare tra il coefficiente di diffusivit`a radiativa e la viscosit`a radiativa:
Ddiffrad = DRνrad (5.40)
Il coefficiente di proporzionalit`a DR `e adimensionale, in quanto la viscosit`a ra-
diativa ha le stesse dimensioni fisiche ([l2] [t−1]) di un coefficiente di diffusione.
Il coefficiente DR viene calibrato imponendo l’accordo teoria-osservazioni essendo
trattato dunque come parametro libero. Un primo test si basa sulla modellistica solare, grazie alla precisione con cui, dagli studi eliosismologici, si pu`o calcolare la velocit`a delle onde sonore all’interno del sole; questo primo controllo indica che, per rimanere entro una discrepanza di∼ 10−3 sulle velocit`a del suono nella nostra stella, si deve avere DR ≤ 10 (Morel & Thevenin 2002). I risultati di Morel &
Thevenin sono riportati in figura 5.19, dove sono illustrati i risultati teorici sulle abbondanze superficiali degli elementi indicati in funzione della temperatura ef- ficace e per diversi valori del parametro DR; l’abbondanza di ciascun elemento `e
espressa dalla variabile [x H ] = log (x H ) t− log (x H ) t=0 .
Morel & Thevenin trovano che DR= 1+2.0−0.2`e un valore che fornisce un buon accordo
per i loro dati sulle Iadi, ma come vedremo tale parametro non ha carattere di universalit`a perch´e deve essere variato a seconda dei casi considerati. Al diminuire
della metallicit`a si pu`o richiedere un aumento del valore di DRfino a qualche unit`a,
in quanto la zona convettiva diminuisce e dunque `e necessaria un maggiore azione controdiffusiva (Thevenin, comunicazione privata).
5.4.1
Inserimento nel codice FRANEC
Il coefficiente di diffusivit`a radiativa viene aggiunto alla velocit`a diffusiva calcolata con la routine di Thoul et al. 1994. Abbiamo visto nel capitolo1che, in generale, la velocit`a diffusiva di ciascun elemento `e data dalla somma di una serie di termini (pressione, temperatura e concentrazione, vedere equazioni 1.29 e 1.30):
vdiff,i = ∑ j Di,j ∂lnXj ∂r + RP, T terms (5.41)
L’aggiunta della diffusivit`a radiativa richiede la seguente modifica sui coefficienti diagonali dei termini di concentrazione (Morel et al. 2008, Morel comunicazione privata):
Di,i → Di,i− Draddiff (5.42)
Ci`o implica che, quando la velocit`a diffusiva per ciascun elemento i `e stata normal- mente calcolata tramite le routine viste nei capitoli precedenti ottenendo vThoul
diff,i ,
ad essa va aggiunto l’opportuno termine dovuto alla diffusivit`a radiativa:
vdiff,i= vThouldiff,i − D rad diff
∂lnXi
∂r (5.43)
La scelta del segno negativo va nell’ovvia direzione secondo cui l’effetto deve contrastare i gradienti di concentrazione.
5.4.2
Controversie sull’interpretazione fisica della diffusi-
vit`a radiativa
Come evidenziato da Morel & Thevenin stessi, la descrizione e parametrizzazione della diffusivit`a radiativa `e fenomenologica ed incompleta: nella modifica dei coef- ficienti di cui sopra si `e assunto che il coefficiente di diffusione radiativa sia uguale per tutti gli elementi e per tutti gli stadi di ionizzazione. Questa assunzione non ha una solida base fisica. Gli autori precisano che `e necessario guardare a questo aproccio come ad un primo passo a cui potranno seguire miglioramenti e rifiniture. L’interpretazione fisica della diffusivit`a radiativa e il suo inserimento nelle velocit`a diffusive nel modo seguito da Morel & Thevenin sono stati inoltre contestati in letteratura: Alecian & Michaud (2005) hanno obiettato che le caratteristiche ed il comportamento della diffusivit`a radiativa sono pi`u propriamenente attribuibili, in realt`a, ad un fenomeno turbolento, e che la stessa valutazione di Morel & Thevenin `
e un errore derivante dalla confusione tra diffusione atomica e trasporto turbolento. Infatti gli autori fanno notare che, in una mistura gassosa, la velocit`a diffusiva vi,j
della specie i rispetto alla specie j `e data da (Chapman & Cowling 1970, Alecian & Michaud 2005): ∑ j PiPj P Di,j Vi,j = Ri (5.44)
dove P `e la pressione totale, Pk la pressione parziale della specie k, Di,j il coeffi-
ciente di mutua diffusione della specie i rispetto a j e Ri rappresenta l’insieme dei
termini che causano il moto diffusivo (gradienti di concentrazione, gravit`a etc.). Si vede, dunque, che il coefficiente totale di diffusione di una specie chimica `e derivato dalla somma degli inversi dei singoli coefficienti di mutua diffusione, in contrasto col comportamento di una viscosit`a. Inoltre, un coefficiente di mutua diffusione `e proporzionale ai tempi di collisione intermolecolari; essendo il coefficiente di dif- fusione totale derivato dagli inversi dei singoli coefficienti, la velocit`a diffusiva `e dominata dalle interazioni con il pi`u basso tempo caratteristico, contrariamente alla viscosit`a. Infine la velocit`a diffusiva in generale viene calcolata sommando una serie di termini, ciascuno dei quali `e il prodotto di un termine legato ad una certa causa diffusiva (gradiente di pressione, di concentrazione, di temperatura, e termine di levitazione radiavita) per il relativo coefficiente diffusivo (capitolo 1), e queste grandezze sono valutate usando le informazioni relative alle componenti del plasma stellare; quindi l’inclusione dei fotoni come parte del gas stellare deve essere svolta in modo autoconsistente influendo dunque anche sugli altri termini diffusivi, cio`e l’aggiunta di un termine radiativo come proposto da Morel & The- venin non pu`o avvenire in modo cos`ı semplice, senza andare ad influire anche sugli altri termini.
In conclusione, tenendo inoltre conto che il termine radiativo diminuisce le anoma- lie di abbondanze dovute alla diffusione, `e probabilmente pi`u corretto interpretarlo come un termine di diffusione turbolenta, con coefficiente DT = DR. Nel codice
evolutivo MESA `e inclusa la diffusivit`a radiativa, ma viene indicata col nome di “turbolenza radiativa”, trattandola dunque come una pi`u probabile manifesta- zione di turbolenza. Questo trattamento rimane comunque incerto e fattibile di future analisi e miglioramenti; in ogni caso potrebbe essere un modo per inserire in maniera semplice alcuni effetti dovuti alla levitazione o molto pi`u probabilmente ad una turbolenza, la cui efficienza viene calibrata per ottenere un accordo teoria- osservazioni, come viene fatto da molti autori in letteratura e come far`o anch’io (capitolo 7).