La prima tipologia di equazioni che affronteremo `e data da
(8.14) y00= f (t, y0),
dove f `e una funzione continua dipendente da y0 ma non esplicitamen- te da y. Questo tipo di equazioni, come anche tutte quelle della forma y(N ) = f (t, y0, . . . , y(N−1)), possono essere “abbassate di grado” mediante la trasformazione p = y0, per cui da (8.14) si ottiene
p0 = f (t, p)
che `e un’equazione di ordine 1. Trovata la generica soluzione p = p(t), per ottenere y(t) baster`a integrare: y(t) =R p(t) dt.
La seconda classe di equazioni `e data da
(8.15) y00 = f (y, y0),
con f : A⊆ R2 → R continua, che rappresenta la generica equazione auto-
noma del secondo ordine in forma normale. Sappiamo che questa equazione `e equivalente al sistema (autonomo) del primo ordine
( y0 = p p0 = f (y, p).
Come gi`a visto nel capitolo precedente, tale sistema `e formalmente equiva- lente all’equazione (detta totale)
−f(y, p)dy + pdp = 0.
Pensando ora y come variabile indipendente, da quest’ultima equazione si ottiene, ancora formalmente,
pdp
dy = f (y, p),
che pu`o essere vista come un’equazione differenziale del primo ordine per l’incognita p = p(y). Se p = p(y) `e l’integrale generale (sar`a p = p(y, c) con c generica costante), si ricava y = y(t) integrando l’equazione y0 = p(y).
Volendo formalizzare questo metodo con precisione, supponendo di poter invertire l’equazione y = y(t) e dunque di scrivere t = t(y) in funzione di y si ottiene allora f (y, p) = f (y, y0) = y00= d dt dy dt = dp dt = dp dy dy dt = p dp dy.
ALCUNE CLASSI DI EQUAZIONI DI ORDINE 2 161 Dunque, ci si aspetta che il metodo funzioni per ottenere le soluzioni y = y(t) invertibili, il che equivale, per funzioni reali di variabile reale, a soluzioni strettamente crescenti/decrescenti (al limite si pu`o restringere la soluzione ai sottointervalli su cui `e strettamente monotona).
In realt`a questo metodo, come anche molti di quelli che seguiranno, viene spesso applicato senza preoccuparsi di controllare le ipotesi a priori ; la verifica che quella trovata `e effettivamente una (o la) soluzione del problema originale verr`a fatta solo a posteriori.
Si noti infine che il medesimo ragionamento pu`o essere esteso alla gene- rica equazione del secondo ordine anche in forma non normale
F (y, y0, y00) = 0, ottenendo l’equazione di ordine 1 per p = y0
Fy, p, pdp dy
= 0.
Esempio 8.5 Si consideri l’equazione del secondo ordine y00= eyy0
con le condizioni y(0) = 0, y0(0) = v > 1, gi`a studiata nell’Esempio 6.16. In particolare, nell’Esempio 6.16 si era dimostrato che tutte le soluzioni non costanti sono strettamente monotone, quindi p = y0 6= 0 e si pu`o invertire y = y(t) ottenendo t = t(y) per applicare il metodo sopra indicato. Per tali soluzioni si ottiene quindi l’equazione
pdp dy = e
yp =⇒ dp
dy = e
y,
con la condizione p(0) = v. Integrando tra 0 e y si ottiene p(y)− p(0) = Z y 0 dp dy(s) ds = Z y 0 esds = ey− 1,
da cui si ricava p(y) = v−1+ey. A questo punto ci si riduce a calcolare la so-
luzione dell’equazione y0 = p(y), problema gi`a affrontato nell’Esempio 6.16. Esempio 8.6 Consideriamo il problema di Cauchy
(
y00= (y0)2− y
Il campo vettoriale f (y, y0) = (y0)2−y `e di classe C∞(R2) dunque il problema
ammette un’unica soluzione. Operando la sostituzione p = y0 si ottiene
(8.16) pdp dy = p 2− y ⇐⇒ 1 2 d(p2) dy = p 2− y,
e, cambiando ulteriormente la variabile ponendo v = p2, si ottiene l’equa- zione differenziale lineare di ordine 1 a coefficienti costanti non omogenea
dv
dy = 2v− 2y.
Per calcolare la soluzione generale si pu`o utilizzare la formula (8.3), ma `e pi`u conveniente ricordare che la stessa `e somma della soluzione generale dell’omogenea associata dvdy = 2v, ovvero vo(y) = ce2y, e di una soluzione
particolare della non omogenea. Essendo la non-omogeneit`a h(y) =−2y di tipo polinomiale, si pu`o ricercare una soluzione della stessa forma ¯v(y) = Ay + B, per qualche A, B∈ R. Affinch´e questa sia soluzione dovr`a essere A = d¯v(y)
dy = 2¯v(y)−2y = 2(Ay +B)−2y ⇐⇒ 2(A−1)y +2B −A = 0, da cui A = 1, B = 1/2, cio`e ¯v(y) = y + 1/2. In definitiva si ottiene v(y) = vo(y) + ¯v(y) = ce2y+ y + 1/2, con c∈ R. A questo punto si potreb-
be tornare alla variabile p, integrare per trovare y e imporre le condizioni iniziali. Conviene invece imporre una condizione iniziale a questo livello, osservando che se t = 1 allora y = −1/4 e p = y0 = 1/2, ovvero, quando y = −1/4 si ha p = 1/2. La condizione iniziale per p(y) diventa allora p(−1/4) = 1/2 dunque v(−1/4) = 1/4. Imponendo questa condizione si ha 1/4 = ce−1/2+ 1/4 da cui c = 0 ovvero p2(y) = v(y) = y + 1/2. Si
avr`a quindi p(y) = ±py + 1/2, ma essendo p(−1/4) = 1/2 si sceglier`a il segno + (questa scelta appare giustificata almeno per i t vicini a 1 essendo y0(1) = 1/2). Integrando infine l’equazione y0 = py + 1/2 col metodo di separazione delle variabili si ottiene
Z y(t) −1/4 1 pz + 1/2dz = Z t 1 ds =⇒ h2pz + 1/2iy(t) −1/4= t− 1 =⇒ 2py(t) + 1/2 − 1 = t − 1 =⇒ y(t) = t 2 4 − 1 2.
Questa `e effettivamente una soluzione dunque, per l’unicit`a delle soluzioni dei problemi di Cauchy verificata sopra, `e la soluzione del problema in ogget- to. Si osservi che tale soluzione `e stata trovata senza validare con precisione
ALCUNE CLASSI DI EQUAZIONI DI ORDINE 2 163 ciascun passaggio logico: mediante un metodo pi`u o meno formale si `e tro- vata la funzione y(t) = t2/4− 1/2 che a posteriori si verifica essere soluzione del problema in oggetto dunque, per unicit`a, la soluzione. Volendo essere pi`u precisi, l’equazione corretta per y(t) sarebbe in realt`a (y0)2= y +1/2 che `e un’equazione non in forma normale, alla quale corrispondono i due rami y−(t) e y+(t) soluzioni rispettivamente delle equazioni y0 = −py + 1/2 e
y0 =py + 1/2, a loro volta corrispondenti alle soluzioni con y0(t0) < 0 op-
pure y0(t0) > 0 (si veda anche l’Osservazione 1.13) . Essenzialmente, finch´e
y0(t) `e positiva y(t) `e strettamente crescente dunque invertibile e il cambio di variabili t = t(y) che porta all’equazione (8.16) `e pienamente giustificato, come anche la scelta di ricondursi a y0 =py + 1/2. In relazione alla solu- zione y(t) = t2/4− 1/2 cos`ı trovata, ci`o accade per t > 0 mentre per t = 0
si ha y0(0) = 0 e il metodo per risolvere le equazioni del tipo (8.15) non `e pi`u applicabile; ci`o accade quando la soluzione y(t) = t2/4− 1/2 coincide con l’equilibrio ¯y =−1/2 dell’equazione (senza unicit`a!) y0 =±py + 1/2. Per t < 0 l’analisi deve essere modificata. Se per qualche t1, y(t1) =−1/2
e conseguentemente y0(t1) = 0, dall’equazione di partenza y00 = (y0)2− y si
ottiene y00(t1) = 1/2 e la soluzione `e strettamente convessa in t1; ci`o implica
che (almeno localmente) per t > t1 si avr`a y0(t) > 0 per cui si dovr`a uti-
lizzare l’equazione y0 =py + 1/2, mentre per t < t1 si avr`a y0(t) < 0 per
cui si sceglier`a l’equazione y0 =−py + 1/2. Integrando quest’ultima in un intorno sinistro di t1, sempre con dati y(t1) =−1/2, si ottiene
2py(t) + 1/2 = −(t − t1) =⇒ y(t) =
(t− t1)2
4 −
1 2.
Da ci`o segue che l’equazione (y0)2 = y + 1/2 con dato y(1) = −1/4 (e
compatibilmente con la condizione y0(1) = 1/2) ha in realt`a infinite soluzioni: pi`u precisamente per ogni τ ≤ 0 sono soluzioni
yτ(t) := t2/4− 1/2 se t > 0 −1/2 se τ ≤ t ≤ 0 (t− τ)2/4− 1/2 se t < τ.
Tuttavia il problema di Cauchy iniziale ha unicit`a della soluzione: tra tutte le yτ, l’unica compatibile con la condizione y00(0) = (y0(0))2− y(0) = 1/2
`e quella corrispondente a τ = 0 da cui si recupera (necessariamente!) la soluzione gi`a trovata essendo y0(t) = t2/4− 1/2. Per terminare si osservi
che buona parte dell’analisi precedente poteva essere evitata: inserendo la condizione (y0)2 = y + 1/2 nell’equazione y00 = (y0)2− y si ricava y00= 1/2
che integrata due volte conduce a y(t) = t2/4 + at + b da cui, imponendo le condizioni iniziali, si ritrova nuovamente y(t) = t2/4− 1/2.
Per esercizio, si risolva alternativamente il problema iniziale trovando un fattore integrante per la 1-forma associata al sistema 2× 2 equivalente all’equazione y00= (y0)2− y (si veda il Capitolo 7).
Esempio 8.7 Consideriamo il problema di Cauchy
(8.17) y00 = 1 y2 1 + (y0) 23/2 y(0) = 1, y0(0) = 0.
Il campo vettoriale f (y, y0) = (1 + (y0)2)3/2/y2 `e definito e di classe C1 su
tuttoR2al di fuori della retta y = 0, dunque il problema di Cauchy ammette un’unica soluzione. Operando la sostituzione p = y0 si ottiene
pdp dy = 1 y2 1 + p 23/2 ⇐⇒ 1 2 d(p2) dy = 1 y2 1 + p 23/2 . Ponendo v = p2, col metodo di separazione delle variabili si perviene a
1 2 Z 1 (1 + v)3/2dv = Z 1 y2 dy ⇐⇒ − 1 √ 1 + v =− 1 y + c,
con c ∈ R. Dalle condizioni iniziali segue che quando y = 1 si ha y0 = 0,
ovvero p(1) = 0 e anche v(1) = 0. Imponendo questa condizioni si ottiene c = 0 e infine p1 + p2 = y. Sostituendo y0 = p si ottiene il problema di
Cauchy per l’equazione differenziale in forma non normale (8.18)
(p
1 + (y0)2 = y
y(0) = 1.
Si osservi che (8.18) ammette la soluzione banale y(t)≡ 1, ma dalle condi- zioni iniziali y(0) = 1, y0(0) = 0 e dall’equazione (8.17) segue che y00(0) = 1, quindi si ha y0(t) ≷ 0 per t ≷ 0 e vicino a 0 e in particolare y(t) > 1 per t vicino a 0. La soluzione y(t) ≡ 1 va dunque scartata e bisogna trovarne un’altra. Poich´e y0 pu`o cambiare segno solo quando y = 1 e siccome y `e localmente crescente per t > 0, segue facilmente che y0(t) > 0 per ogni t > 0 e dunque anche y(t) > 1 per gli stessi t. Analogamente, per t < 0 si avr`a sempre y0(t) < 0 e y(t) > 1. Invertendo ora la relazione (8.18) per t > 0, per cui y0(t) > 0, si ottiene l’equazione in forma normale
(8.19)
(
y0 =py2− 1
ALCUNE CLASSI DI EQUAZIONI DI ORDINE 2 165 dalla quale, per separazione delle variabili, si ricava la soluzione y(t) = cosh t. Per t < 0 si ottiene invece l’equazione y0 = −py2− 1 da cui, sempre per
separazione delle variabili e tenuto conto della condizione iniziale, si ricava y(t) = cosh(−t) = cosh t, grazie alla parit`a della funzione cosh. Si ottiene infine che la funzione y(t) = cosh t `e soluzione del problema di Cauchy (8.18), e anche di (8.17), per ogni t∈ R (si veda anche l’Esempio 8.8).
Per completezza si osservi che, al contrario di (8.17) e anche tenuto conto delle condizioni iniziali y(0) = 1, l’equazione (8.18) non ammette unicit`a delle soluzioni. Infatti, per quanto visto, a meno del segno e per soluzioni non costanti (8.18) `e equivalente a (8.19), problema di Cauchy il cui campo vettoriale non `e di classe C1, n´e localmente lipschitziano in un intorno dei punti (t0,±1) e in particolare di (0, 1). Quindi ci si aspetta che (8.18) e
(8.19) non abbiano unicit`a delle soluzioni per i problemi di Cauchy; per esempio le funzioni y(t) ≡ 1 e y(t) = cosh t sono entrambe soluzioni tali che y(0) = 1 (e verificano anche la condizione sulla derivata y0(0) = 0), ma ce ne sono infinite altre (quali?). In definitiva, per risolvere (8.17) ci si `e ricondotti a risolvere (8.18) ma i due problemi non sono equivalenti (un problema analogo accadeva anche nell’Esempio 8.6): tra le infinite soluzioni di (8.18) viene selezionata come (unica!) soluzione di (8.17) quella (unica tra queste) che soddisfa y00(0) = 1, condizione necessaria di compatibilit`a imposta da (8.17). In un certo senso, passando da (8.17) a (8.18) si perdono informazioni sul comportamento della derivata seconda.
Il problema della fune inestensibile
Come applicazione dei precedenti metodi alla fisica, consideriamo il caso di una fune omogenea, inestensibile ma perfettamente flessibile, fissata ai due estremi A e B e sotto l’azione del campo gravitazionale g. Introdotto un sistema di coordinate (x, y) in cui l’asse y `e verticale e con verso uguale a quello di g, da considerazioni fisiche si ottiene che la posizione d’equilibrio y(x) assunta dalla fune sotto l’azione di g soddisfa l’equazione
y00= λg
κ p1 + (y0)
2 (·)0= d
dx,
dove λ `e la densit`a lineare di massa della fune, supposta costante (fune omogenea), τ `e la tensione, θ = arctg(y/x) e κ = τ cos θ `e essenzialmente la componente orizzontale del vettore tensione, ed `e una costante che dipende dalla fune. Posto per comodit`a γ = λg/κ, il campo vettoriale f = f (y0) = γp1 + (y0)2 `e definito e di classe C∞ inR, e rientra sia nelle equazioni di
Utilizzando il primo metodo, ponendo p(x) = y0(x) si ottiene l’equazione p0 = γp1 + p2, e separando le variabili si ha Z 1 p1 + p2dp = Z γ dx =⇒ settsenh p = γx + b,
dove b∈ R e settsenh `e il settore seno iperbolico, funzione inversa di senh, data da settsenh x = ln(x+√1 + x2). Invertendo la relazione si trova p(x) =
senh(γx + b) da cui (8.20) y(x) = Z p(x) dx = 1 γ cosh(γx + b) + c = κ λg cosh λg κ x + b + c, con b, c ∈ R. All’equilibrio la fune si dispone secondo una cosiddetta catenaria (cio`e la funzione cosh).
Proviamo ora a utilizzare il secondo metodo: posto p = y0 si ottiene l’equazione pdp dy = γ p 1 + p2 e separando le variabili si ha (8.21) Z p p1 + p2dp = Z γ dy =⇒ p1 + p2 = γy + α,
con α∈ R, da cui p(y) = ±p(γy + α)2− 1. Scegliendo il segno + si ottiene
y0= p(y) =p(γy + α)2− 1,
e utilizzando ancora la separazione delle variabili Z 1 p(γy + α)2− 1dy = Z dx =⇒ 1 γsettcosh(γy + α) = x + β, dove β ∈ R e settcosh `e il settore coseno iperbolico, funzione inversa di cosh in [0, +∞[, data da settcosh x = ln(x −√x2− 1), x ≥ 1. Invertendo la
relazione si trova
y(x) = 1
γ cosh(γ(x + β))− α,
equivalente a (8.21) con la posizione b = γβ, c =−α/γ. Scegliendo il segno −, con calcoli analoghi si ottiene y(x) = 1γcosh(−γx+b)+c, sostanzialmente
ALCUNE CLASSI DI EQUAZIONI DI ORDINE 2 167 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -3 -2 -1 1 2 3 x y A B
Figura 8.4: La fune (catenaria) appesa per i punti A e B
Si osservi che per trovare la soluzione finale del problema fisico, bisogner`a imporre il passaggio della curva per i punti fissati A e B: non si tratter`a dunque di un problema di Cauchy ma di un problema dei due punti o di Dirichlet (che si generalizza, in pi`u dimensioni, al cosiddetto problema al contorno). Per esempio, se i due punti sono orizzontalmente allineati e, per facilit`a, posti in A = (0, 0), B = (L, 0) si dovr`a imporre y(0) = y(L) = 0, cio`e
(1
γcosh b + c = 0 1
γcosh(γL + b) + c = 0.
Sottraendo si ricava cosh(γL + b) = cosh b da cui b =−γL/2 che sostituita nella prima equazione fornisce c =− cosh(−γL/2)/γ. In definitiva
y(x) = κ λg coshλg κ x− L 2 − cosh−λgL2κ ,
il cui grafico `e rappresentato in Figura 8.4. Conoscendo la lunghezza `≥ L della corda, `e possibile trovare anche κ (o, meglio, γ) in funzione di `. Il modo pi`u rapido `e il seguente: la lunghezza di una curva cartesiana rettificabile y : [a, b]→ R `e data da
` = Z b
a
p1 + (y0(x))2dx,
e utilizzando l’equazione differenziale e la forma della soluzione si ottiene ` = 1 γ Z L 0 y00(x) dx = y0(L)− y0(0) γ = 2 γ senh γL 2 .
Si perviene dunque all’equazione ` = γ2senh(L2γ) nell’incognita γ. La fun- zione h(γ) := 2γsenh(L2γ) mappa R+ in ]L, +∞[ ed `e ivi strettamente cre-
scente, dunque per ogni ` > L (che `e un ovvio limite fisico) esiste un unico γ = h−1(`) > 0 tale che ` = h(γ). Si ottiene infine anche κ, essendo κ = λg/γ.