Grazie al Teorema di Peano (o di Cauchy-Lipschitz) il problema di Cauchy (3.6)
(
y0 = f (t, y) y(t0) = y0,
con f continua, ammette una soluzione locale y0(t) definita in un opportuno
intervallo I0 := Iδ0(t0) = [t0− δ0, t0+ δ0]. A sua volta il punto (t1, y1) =
(t0 + δ0, y0(t0 + δ0)) appartiene ancora al dominio di definizione Ω di f ,
perci`o `e possibile considerare il problema di Cauchy con dati y(t1) = y1
che, sempre per Peano, ammette una soluzione locale y1(t) definita in un
intervallo I1 := Iδ1(t1). Si osservi che anche y0 `e soluzione di tale problema
in un intorno sinistro di t1, ma se non c’`e unicit`a delle soluzioni non `e detto
che y0 e y1coincidano nell’intersezione dei loro domini I0∩ I1. Comunque, `e
possibile definire una nuova soluzione di (3.6) in I0∪ I1 “incollando” quelle
due gi`a trovate; pi`u precisamente si pu`o definire y0,1(t) :=
(
y0(t) se t∈ [t0− δ0, t0+ δ0]
y1(t) se t∈ ]t0+ δ0, t0+ δ0+ δ1] =]t1, t1+ δ1],
rappresentata in Figura 3.4. Tale funzione `e banalmente derivabile in tutti i punti diversi da t1, ed `e ivi soluzione dell’equazione differenziale, perch´e
coincide localmente attorno a ogni punto diverso da t1 con y0 o con y1 che
sono soluzioni. Soddisfa inoltre le condizioni iniziali y0,1(t0) = y0. Per
costruzione la funzione y0,1 `e continua nel punto t1 ma, essendo un incol-
PROLUNGAMENTI - SOLUZIONI MASSIMALI 45 un incollamento di due soluzioni della medesima equazione differenziale, `e automaticamente anche derivabile in t1, e di conseguenza soluzione in tutto
I0∪ I1. Infatti lim t→t1− y0,10 (t) = lim t→t1− y00(t) = y00(t1) = f (t1, y0(t1)) = f (t1, y1(t1)) = y10(t1) = lim t→t1+ y10(t) = lim t→t1+ y00,1(t), quindi y0 e y1 hanno un contatto del primo ordine in t1, dunque y0,1 `e ivi
derivabile e soddisfa chiaramente y0,10 (t1) = f (t1, y0,1(t1)). La medesima
costruzione si pu`o fare partendo dal punto t0 − δ0 fino ad arrivare a un
qualche punto t0− δ0− δ01. t Rn t0 t0− δ0 t1− δ1 t1 t1+ δ1 (t1, y1) (t0, y0) y1(t) y0(t) t Rn t0 t0− δ0 t1+ δ1 (t0, y0) y0,1(t)
Figura 3.4: Prolungamento di una soluzione
In definitiva, siamo riusciti a prolungare la soluzione y0 a un intervallo di
definizione maggiore di quello iniziale I0. A questo punto la medesima co-
struzione pu`o proseguire per induzione, ottenendo un prolungamento di y0,1,
dunque di y0, a un intervallo [t2, t2+ δ2] = [t1+ δ1, t1+ δ1+ δ2], e cos`ı via.
In questo maniera sembrerebbe possibile estendere y0 su tutto [t0, +∞[ (e
analogamente su ]− ∞, t0]); in realt`a, se per esempio il dominio Ω di f
`e limitato, poich´e tutti i punti (tk, yk) cos`ı ottenuti stanno in Ω, si avr`a
supktk < +∞ e non si potr`a estendere y0 a tutto [t0, +∞[. Ma anche nel
caso in cui Ω fosse tutto Rn+1, tale costruzione porterebbe comunque a de- finire un prolungamento di y0(t) definito in [t0, t0+P∞k=0δk[ e nel caso in
cui la serie convergesse, tale intervallo sarebbe limitato. Le soluzioni yk(t)
che in successione prolungano y0(t) saranno infatti definite su intervalli con,
possibilmente, differenti ampiezze δk; nulla vieta che la successione δktenda
a 0 per k → +∞ e che la serie di termine generale δk converga (anzi, ci`o
dovr`a per forza accadere nel caso in cui Ω `e limitato).
Nel caso (per semplicit`a) in cui Ω =]a, b[×A con A ⊆ Rn vedremo che • con questa costruzione non `e detto che si riesca a ricoprire tutto ]a, b[;
• (nelle ipotesi del Teorema di Peano) non esiste nemmeno un unico modo per farlo.
Si affronter`a questa problematica introducendo il concetto di prolungamento di una soluzione.
Definizione 3.10 Data y : I → Rn soluzione di un’equazione differenziale
y0 = f (t, y), si dice prolungamento di y una funzione y∗ : I∗ → Rn che sia ancora soluzione, conI ( I∗ e tale che y∗|I ≡ y.
Definizione 3.11 Una soluzione y : I → Rn di un’equazione differenziale
y0 = f (t, y) si dice soluzione massimale se non ammette prolungamenti. Il suo intervallo di definizione I viene allora detto intervallo massimale di esistenza di y.
Si osservi subito la seguente propriet`a dell’intervallo massimale d’esistenza.
Proposizione 3.12 L’intervallo massimale d’esistenza I di una soluzione massimale `e aperto.
Dimostrazione Se per assurdo I fosse chiuso a destra (analogamente a sinistra) cio`e I =]a, b], per quanto visto nell’introduzione alla presente sezione sarebbe possibile trovare un prolungamento della soluzione y in un intervallo [b, b + δ] per qualche δ, contro la massimalit`a di y. L’intervallo massimale d’esistenza si denota generalmente con ]α, β[ op- pure con ]α, ω[. Diamo ora due teoremi di esistenza di soluzioni massimali nel caso in cui l’equazione abbia, oppure non abbia, unicit`a delle soluzioni dei relativi problemi di Cauchy.
Teorema 3.13 (di esistenza di soluzioni massimali (I)) Data una equazione y0 = f (t, y), con f : Ω ⊆ R × Rn → Rn continua, tale che ab-
bia unicit`a locale per tutti i relativi problemi di Cauchy (per esempio se f `e localmente lipschitziana), allora ogni problema di Cauchy ammette un’u- nica soluzione massimale. Inoltre, ogni soluzione dell’equazione pu`o essere prolungata in maniera unica a una soluzione massimale.
Dimostrazione Fissato un punto (t0, y0) ∈ Ω si consideri l’insieme di
tutte le possibili soluzioni del relativo problema di Cauchy S :=y : Iy → Rn| y `e soluzione tale che y(t0) = y0 .
PROLUNGAMENTI - SOLUZIONI MASSIMALI 47 Sia I∗ = ∪y∈SIy (`e un intervallo contenente t0) e si definisca y∗(t) = y(t)
se t∈ Iy. Bisogna verificare che questa `e una buona definizione, cio`e che il
valore di y∗(t) non dipende dalla scelta dell’intervallo Iy a cui t appartiene.
Sia dunque t∈ Iy1∩ Iy2 con y1, y2 soluzioni del problema di Cauchy. Grazie
all’unicit`a, per il Teorema 3.2 si ha y1 ≡ y2in Iy1∩Iy2, in particolare y1(t) =
y2(t), dunque quella data `e una buona definizione e y∗ `e una soluzione del
problema di Cauchy in considerazione. Se ora ˜y : ˜I → Rn `e una soluzione
che prolunga y∗ allora ˜y ∈ S, perci`o per costruzione ˜I ⊆ I∗, ovvero y∗ non ammette prolungamenti ed `e quindi soluzione massimale.
Data infine una qualsiasi soluzione ˜y in ˜I, fissato t0 ∈ ˜I sia y∗ l’unica
soluzione massimale del problema di Cauchy con dati (t0, ˜y(t0)). Allora y∗
`e l’unico prolungamento massimale di ˜y.
Teorema 3.14 (di esistenza di soluzioni massimali (II)) Data una equazione y0 = f (t, y), con f : Ω⊆ R × Rn→ Rn continua, allora ogni solu-
zione dell’equazione pu`o essere prolungata (non necessariamente in maniera unica) a una soluzione massimale.
Dimostrazione La dimostrazione del teorema precedente non si adatta al presente caso perch´e, a causa della mancanza di unicit`a, quella di y∗non `e pi`u una buona definizione. Fissata una soluzione ˜y : ˜I → Rn, si dimostrer`a il teorema utilizzando il Lemma di Zorn, introducendo nell’insieme dei possibili prolungamenti
S :=(y, Iy)| y : Iy → Rn`e soluzione, ˜I ⊆ Iy, y|I˜≡ ˜y
un ordine parziale definito come segue. Dati (y, Iy), (z, Iz)∈ S si pone
(y, Iy)≺ (z, Iz) ⇐⇒ Iy ⊆ Iz e z|Iy ≡ y.
Si verifica facilmente che (S, ≺) `e un insieme parzialmente ordinato. Di- mostriamo che `e induttivo, cio`e che ogni sottoinsieme totalmente ordinato ammette maggiorante in S. Dato allora T ⊂ S totalmente ordinato, sia J = ∪(y,Iy)∈TIy e si definisca z : J → R
n tale che z(t) = y(t) se t ∈ I y.
Anche in questo caso bisogna verifica che si tratta di una buona definizione. Sia dunque t ∈ Iy1 ∩ Iy2 con (y1, Iy1), (y2, Iy2) ∈ T ; poich´e T `e totalmente
ordinato i due elementi (y1, Iy1) e (y2, Iy2) sono confrontabili. Senza perdere
in generalit`a sia (y1, Iy1)≺ (y2, Iy2); si ha dunque Iy1 ∩ Iy2 = Iy1 e y2 = y1
in Iy1, in particolare y2(t) = y1(t). In definitiva z `e ben definita, `e soluzio-
ne dell’equazione differenziale e prolungamento di ˜I perch´e lo sono tutte le y, dunque (z, Iz) ∈ S e per costruzione `e un maggiorante di T . L’insieme
massimale. Tale elemento `e una soluzione massimale dell’equazione (e pro- lungamento di ˜y). Infatti, se per assurdo esistesse un suo prolungamento w : W → Rn con I∗ ( W e w|
I∗ ≡ y∗ allora sarebbe (y∗, I∗) (w, W )
contro la massimalit`a di (y∗, I∗) rispetto alla relazione d’ordine. Del teorema esiste una dimostrazione che non fa uso del Lemma di Zorn.
Osservazione 3.15 Nel caso in cui si perde l’unicit`a delle soluzioni dei problemi di Cauchy, una soluzione pu`o essere effettivamente prolungata a soluzioni massimali differenti. `E interessante osservare che tali soluzioni mas- simali potrebbero avere anche intervalli massimali differenti. Per esempio, si consideri il problema di Cauchy
(
y0 = maxp|y|, y2 y(0) = 0.
Il campo vettoriale autonomo f (y) = maxp|y|, y2 `e continuo, essendo
massimo tra due funzioni continue; pi`u precisamente f (y) =(p|y| se |y| ≤ 1
y2 se |y| > 1.
In particolare si osserva che localmente per y(t) vicino a zero le soluzioni si comportano come quelle dell’equazione y0 =p|y| dunque non sono uniche, mentre per |y(t)| > 1 le soluzioni si comportano come quelle dell’equazione y0 = y2 che non sono globalmente definite.
La soluzione identicamente nulla ˜y(t) = 0 definita nell’intervallo I = [−δ, δ] si pu`o prolungare a una soluzione massimale in infiniti modi. Per esempio pu`o essere prolungata alla soluzione (massimale) y0(t) identicamen-
te nulla su tutto R, il cui intervallo massimale di definizione `e quindi R. Oppure, per ogni c ≥ δ pu`o essere prolungata alla soluzione yc(t) definita
da yc(t) = 0 se t≤ c (t−c)2 4 se c < t≤ c + 2 1 c+3−t se c + 2 < t≤ c + 3.
Poich´e limt→(c+3)−yc(t) = +∞ non `e possibile prolungare ulteriormente
questa funzione; yc `e dunque soluzione massimale in ]− ∞, c + 3[. Si noti
che tutte queste soluzioni, al contrario di y0, non sono globalmente definite