c < Vminchiaramente Ec`e vuoto). Inoltre V (y) = c−kpk
2
2 ≤ c, e per ipotesi
esiste r = rc > 0 tale che se kzk > r si ha V (z) > c. Dunque per kyk > r
non possono esistere soluzioni di E(y, p) = c e in definitiva il generico punto (y, p) di Ec deve necessariamente soddisfare kpk ≤ pmax e kyk ≤ r, perci`o
Ec`e limitato ed essendo anche chiuso `e compatto.
Esempio 7.8 Le soluzioni dell’equazione del secondo ordine y00 =−y3
sono tutte globalmente definite e limitate. Infatti V (y) = Ry
s3ds = y4/4 tende all’infinito per y→ ±∞ e basta utilizzare l’osservazione precedente. Si osservi che il campo vettoriale del sistema di ordine 1 associato `e F (y, p) = (p,−y3) che non `e sublineare n´e globalmente lipschitziano. Non si potevano
dunque applicare i teoremi di esistenza globale 4.12 e 4.13.
Il pendolo non lineare senza attrito
In questa sezione presentiamo un’analisi qualitativa delle soluzioni dell’equa- zione del pendolo non lineare senza attrito. Supponiamo quindi di avere un pendolo di lunghezza `, al cui estremo `e fissata una massa m e il tutto `e inse- rito all’interno del campo gravitazione con accelerazione g. Preso un sistema di riferimento come in Figura 7.1, con l’asse delle ordinate diretto verso il basso, si denoti con θ l’angolo che il pendolo forma col semiasse positivo di y. Dalla fisica, supponendo che l’asta abbia massa trascurabile rispetto a m e che non ci sia attrito, l’equazione che governa il moto del pendolo `e data da
m x y g θ " Figura 7.1: Il pendolo (7.6) θ00=−g `sen θ.
Introdotta la velocit`a angolare ω := θ0, l’e-
quazione `e equivalente al sistema di ordine 1 nelle incognite (θ, ω)
(7.7)
( θ0 = ω
ω0=−g`sen θ.
Poich´e g(θ) = −g`sen θ `e globalmente 1- lipschitziana, per il Lemma 2.14 e il Teo- rema 4.13 si hanno esistenza e unicit`a glo-
Per quanto visto nella sezione precedente il sistema `e conservativo con V (θ) =−Rθ
(−g`sen s) ds =−g` cos θ, dunque l’energia `e data da E(θ, ω) = ω
2
2 −
g `cos θ
ed `e costante lungo le soluzioni, ovvero si ha E(θ(t), ω(t)) = E(θ0, ω0) per
ogni t dove (θ(t), ω(t)) `e la soluzione di (7.7) con dati iniziali (θ(0), ω(0)) = (θ0, ω0). Studiamo quindi le curve di livello Ec di E nel piano delle fasi
θ− ω. Anzitutto si osservi che l’energia ha periodo (2π, 0) nel senso che E(θ + 2π, ω) = E(θ, ω) per ogni (θ, ω). Basta quindi restringere l’analisi alla striscia [−π, π] × R e poi estendere i risultati per periodicit`a su tutto R2.
Cerchiamo gli equilibri, soluzioni di F (θ, ω) = (ω,−g` sen θ) = 0. Si ottengono quindi (θk, ωk) := (kπ, 0) al variare di k ∈ Z. Studiamo la loro
stabilit`a lineare: il differenziale di F `e dato da DF (θ, ω) = 0 1 −g` cos θ 0 , per cui DF (θ2k, ω2k) = 0 1 −g/` 0 , DF (θ2k+1, ω2k+1) = 0 1 g/` 0 . Gli autovalori di DF (θ2k, ω2k) sono±ipg/`, immaginari puri, mentre quelli
di DF (θ2k+1, ω2k+1) sono ±pg/`. Per il Teorema 6.23 (θ2k+1, ω2k+1) sono
equilibri linearmente instabili mentre (θ2k, ω2k) sono stabili (ma non asin-
toticamente stabili; nella terminologia corretta sono detti centri ). Per il Teorema 6.22 gli equilibri (θ2k+1, ω2k+1) sono instabili anche per il sistema
nonlineare (7.7) mentre nulla si pu`o dire della stabilit`a di (θ2k, ω2k), k∈ Z.
La medesima analisi poteva essere fatta tramite lo studio dell’energia: i punti critici di E sono soluzioni di∇E(θ, ω) = (g`sen θ, ω) = 0 e coincidono con gli equilibri del sistema (θk, ωk) = (kπ, 0). Studiando la natura dei punti
critici mediante l’Hessiano di E HE(θ, ω) = g `cos θ 0 0 1 .
Essendo det HE(2kπ, 0) = g/` positivo con traccia positiva, i punti critici (θ2k, ω2k) = (2kπ, 0) sono tutti dei minimi locali (e anche globali); diver-
samente, poich´e det HE((2k + 1)π, 0) = −g/` `e negativo, i punti critici (θ2k+1, ω2k+1) = ((2k + 1)π, 0) sono tutti punti di sella. Dal punto di vista
IL PENDOLO NON LINEARE SENZA ATTRITO 127 fisico i punti di sella sono degli equilibri instabili: spostandoci leggermente da essi lungo alcune direzioni si tende ad allontanarsi; i minimi locali sono, per lo stesso motivo, equilibri stabili. Il grafico e le curve di livello di E sono rappresentati in Figura 7.2.
θ ω
Figura 7.2: Curve di livello e grafico di E(θ, ω)
Studiamo ora le curve di livello di E. Per quanto visto nella sezione precedente gli insiemi di livello sono delle curve e le orbite delle soluzioni saranno archi di queste curve. In questo caso, l’insieme di livello c = E0 =
E(θ0, ω0) `e dato da
ω2
2 −
g
`cos θ = E0 e si pu`o esplicitare ω in funzione di θ ottenendo
(7.8) ω = ω(θ) =± r 2E0+ g `cos θ .
Si tenga ben presente che quella ottenuta non `e la soluzione, quest’ultima essendo una funzione t7→ (θ(t), ω(t)), mentre si `e esplicitato ω in funzione di θ e non di t. Potendo scrivere θ = θ(t) in funzione di t (ma ci`o, vedremo, in generale non `e possibile) si otterrebbe anche ω(θ(t)) in funzione di t.
Ci sono diversi casi, a secondo dell’energia iniziale del pendolo.
I caso: E0 > g/` . L’argomento della radice in (7.8) `e sempre strettamente
positivo per ogni θ∈ R e la funzione ω(θ) `e definita e strettamente positiva su tutto R. L’insieme di livello non `e limitato ed `e costituito da due curve periodiche una contenuta nel semipiano ω > 0 e l’altra nel semipiano ω < 0 (si veda la Figura 7.3). Essendo θ0(t) = ω(t), la funzione θ(t) `e stretta- mente monotona (crescente o decrescente) e l’orbita della soluzione copre interamente uno dei due rami dell’insieme di livello.
-10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 -5 -2,5 2,5 θ ω
Figura 7.3: Curve di livello, caso E0> g/`
Dal punto di vista fisico, l’energia iniziale `e sufficiente a fare arrivare il pendolo nella posizione verticale (corrispondente a θ =±π o a loro multipli) con un’energia cinetica non nulla pari a E0 − g/` > 0. Ci`o permette al
pendolo di oltrepassare l’equilibrio instabile e “ricadere dall’altra parte”. Le soluzioni corrispondono quindi a oscillazioni circolari periodiche del pendolo, in senso orario se ω0 < 0, antiorario se ω0 > 0. Le orbite e le traiettorie
delle soluzioni sono rappresentate in Figura 7.4.
t θ(t)
ω(t)
Figura 7.4: Orbite e traiettorie delle soluzioni, caso E0 > g/`
II caso: E0= g/` . Corrisponde al caso limite, detto caso delle separatrici,
le quali sono le curve di livello date da ω =±r 2g ` 1 + cos θ=±2r g ` cos θ 2 .
Le curve di livello sono ancora definite per ogni θ∈ R ma ora in corrispon- denza di θ = (2k + 1)π, k ∈ Z, la componente ω si annulla: gli equilibri instabili appartengono dunque all’insieme di livello E0 = g/` che `e anche
IL PENDOLO NON LINEARE SENZA ATTRITO 129 parte dalla posizione (θ0, ω0) con energia g/` e, per facilit`a, con−π < θ0 < π
e ω0 > 0. La restrizione dell’insieme di livello a θ ∈ [−π, π] e ω > 0 `e un
arco di curva che connette i due equilibri (−π, 0) e (π, 0).
-10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 -5 -2,5 2,5 5 θ ω
Figura 7.5: Curve di livello, caso E0 = g/`
Si avr`a dunque θ0(t) = ω(t) > 0 e θ(t) `e crescente: l’orbita corrispondente percorre in futuro l’arco dell’insieme di livello in senso orario e tende all’equi- librio (π, 0) ma senza mai arrivarci. Infatti, per l’unicit`a nessuna soluzione non costante pu`o entrare in un equilibrio in tempo finito. Analogamente, in passato la soluzione tende all’altro equilibrio (−π, 0). Dal punto di vista fi- sico, l’energia iniziale `e tale che la soluzione tende alla posizione verticale, in futuro e passato, in tempo infinito, senza mai arrivarci (chiaramente questo `e un modello!). Le orbite e le traiettorie delle soluzioni sono rappresentate in Figura 7.6.
t θ(t)
ω(t)
Figura 7.6: Orbite e traiettorie delle soluzioni, caso E0 = g/`
III caso: E0< g/` . Pi`u precisamente si avr`a −g/` < E0 < g/` dove
l’energia−g/` `e il minimo globale dell’energia che corrisponde a tutti e soli gli equilibri stabili. Per valori inferiori di E0 l’insieme di livello `e dunque
vuoto. Nel presente caso l’argomento della radice in (7.8) non `e sempre positivo; nell’intervallo [−π, π] si annulla per θ = ±α, con α ∈ ]0, π[ soluzione
dell’equazione E0+ g `cos α = 0 ⇐⇒ α = arccos −`E0 g . L’equazione (7.8) pu`o dunque riscriversi nella forma
ω =±r 2g
` (cos θ− cos α)
e dunque ha senso per θ ∈ [−α, α] e per periodicit`a in tutti gli intervalli [2kπ− α, 2kπ + α], k ∈ Z. -10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 -5 -2,5 2,5 5 θ ω
Figura 7.7: Curve di livello, caso E0< g/`
Ogni insieme di livello `e costituito da infinite componenti connesse, una per ogni striscia [(2k− 1)π, (2k + 1)π] e rappresentante il supporto di una curva chiusa semplice (si veda la Figura 7.7). Nella striscia [−π, π] × R, le soluzioni associate corrispondono a oscillazioni periodiche del pendolo tra le due posizioni estreme di θ date da−α e α. Nel piano delle fasi, l’orbita di tali
α −α
Figura 7.8: Oscillazioni perio- diche di ampiezza α
soluzioni apparterr`a alla componente con- nessa del relativo insieme di livello. Verifi- chiamo che l’orbita copre l’intera curva in tempo finito da cui seguir`a che la soluzio- ne `e periodica. Pi`u precisamente, fissato un dato iniziale (θ0, ω0) con, per facilit`a,
−α < θ0 < α e ω0 > 0, dimostriamo che
esiste t1 > 0 tale che ω(t1) = 0. Infatti si
ha θ0(0) = ω(0) = ω0 > 0 quindi θ(t) `e cre-
scente in t0 = 0 e rimarr`a crescente finch´e
ω(t) rester`a positiva. Per assurdo supponia-
mo che ω(t) 6= 0 per ogni t > 0; per continuit`a necessariamente ω(t) > 0 per ogni t > 0 dunque θ(t) `e crescente. Per monotonia esiste allora il limite limt→+∞θ(t) =: θ∞ e per confronto−α < θ0< θ∞≤ α. Essendo
(7.9) ω(t) =r 2g
IL PENDOLO NON LINEARE SENZA ATTRITO 131 esiste anche lim t→+∞ω(t) = r 2g ` (cos θ∞− cos α) =: ω∞.
In definitiva (θ(t), ω(t)) tende al punto (θ∞, ω∞). Poich´e l’orbita `e contenuta nell’insieme di livello, che `e chiuso, anche (θ∞, ω∞) vi appartiene. Per il Corollario 6.11 (θ∞, ω∞) deve essere un equilibrio, il che `e assurdo perch´e essendo 0 < α < π nessuno dei relativi insiemi di livello contiene equilibri del sistema. In conclusione esiste t1 > 0 tale che ω(t1) = 0 e di conseguenza
θ(t1) = α. Al tempo t1 si ha θ0(t1) = ω(t1) = 0 e ω0(t1) = −g`sen α < 0
quindi in un intorno destro di t1 si avr`a ω(t) < 0. In maniera del tutto
analoga si pu`o provare che se ω0 < 0 esiste un tempo t2 > t0 tale che
(θ(t2), ω(t2)) = (−α, 0) e che in un intorno destro di t2 si ha ω(t) > 0.
Mettendo insieme tutti i pezzi risulta chiaro che esiste un T > 0 tale che (θ(T ), ω(T )) = (θ0, ω0) perci`o l’orbita (come anche la soluzione) `e periodica.
Le orbite e le traiettorie delle soluzioni sono rappresentate in Figura 7.9.
t θ(t)
ω(t)
Figura 7.9: Orbite e traiettorie delle soluzioni, caso E0 < g/`
`
E possibile scrivere una formula per il periodo di oscillazione delle solu- zioni in dipendenza da α e in ultima analisi dall’energia iniziale E0. Visto
che ogni soluzione `e periodica, supponiamo che al tempo t0 = 0 sia (θ0, ω0) =
(−α, 0). Detta (θ(t), ω(t)) la relativa soluzione, almeno inizialmente si avr`a allora ω(t) > 0. Inoltre, per (7.7) e (7.9) si ottiene
(7.10) θ0(t) =r 2g
` (cos θ(t)− cos α),
che `e un’equazione differenziale autonoma del primo ordine nella sola in- cognita θ. L’integrazione di questa equazione permetterebbe di trovare la
soluzione θ(t). Separando le variabili si ottiene s ` 2g Z θ(t) −α 1 √cos ϕ − cos αdϕ = Z t 0 ds.
Se τ `e il primo tempo positivo per cui θ(τ ) = α, per simmetria τ `e il semiperiodo di oscillazione. Si ricava che il periodo di oscillazione T = 2τ `e
T = 2 s ` 2g Z α −α 1 √cos ϕ − cos αdϕ = 4 s ` 2g Z α 0 1 √cos ϕ − cos αdϕ. Mediante il cambio di coordinate sen ψ = sen(ϕ/2)sen(α/2) si ricava
(7.11) T = 4 s ` g Z π/2 0 1 p1 − sen2(α/2) sen2ψdψ.
Questa formula fornisce un’espressione per il periodo T = Tα del pendolo
in dipendenza da α, cio`e dall’energia iniziale. Al contempo, l’analisi svolta dimostra che se 0 < α < π non `e possibile trovare esplicitamente la soluzione θ(t), visto che l’integrazione dell’equazione (7.10) coincide col calcolo dell’in- tegrale (ellittico, di prima specie) in (7.11), problema non elementarmente risolubile. Si osservi che limα→0+Tα= 2πp`/g. Se α `e piccolo l’oscillazione
`e piccola e in definitiva il limite del periodo per α→ 0 coincide proprio con la formula classica del periodo delle piccole oscillazioni, cio`e 2πp`/g. Per esercizio, si scriva il sistema linearizzato di (7.7) relativamente all’equilibrio (0, 0) e si dimostri che tale sistema `e equivalente all’equazione del pendolo lineare (oscillatore armonico) θ00 =−gθ/`. Si verifichi che ogni soluzione di quest’ultimo `e periodica e che il periodo (delle piccole oscillazioni) `e 2πp`/g e non dipende dall’energia iniziale. In definitiva si `e dimostrato che il limite del periodo delle soluzioni di (7.6) quando l’ampiezza dell’oscillazione tende a zero `e il periodo delle soluzioni del problema linearizzato in 0.
Per terminare l’analisi del problema, si osservi che `e possibile ottenere una formula esplicita per le soluzioni con energia iniziale E0 = g/`. Infatti,
procedendo come sopra, ci`o equivale a integrare l’equazione θ0(t) =±r 2g
` (1 + cos θ(t)).
Fissato per facilit`a il dato iniziale (θ0, ω0) = (0, 2pg/`) (in modo tale che
E0 = E(θ0, ω0) = g/`), per separazione delle variabili si ottiene
s ` 2g Z θ(t) 0 1 √ 1 + cos ϕdϕ = Z t 0 ds = t.
IL PENDOLO NON LINEARE SENZA ATTRITO 133 Essendo per ogni ϕ∈ ] − π, π[
p1 + cos ϕ =√2 cosϕ 2 = √ 2 cos2ϕ 4 − sen 2ϕ 4 = √ 2 cos2ϕ 4 1− tg 2 ϕ 4, mediante la sostituzione z = tg(ϕ/4), tale che dz = 4 cos21(ϕ/4)dϕ, si ottiene
Z 1 √ 1 + cos ϕdϕ = 1 √ 2 Z 1 1− tg2 ϕ 4 ·cos12 ϕ 4 dϕ = √4 2 Z 1 1− z2 dz =√2 ln1 + z 1− z = 2 √ 2 settanhz = 2√2 settanh tg(ϕ/4), da cui segue 2p`/g settanh tg(θ(t)/4) = t.
Risolvendo questa equazione nell’incognita θ(t) si ottiene infine θ(t) = 4 arctg tanh1 2 r g `t .
Si osservi che θ(t) tende ai valori −π e π (cio`e la relativa soluzione di (7.7) tende ai due equilibri (−π, 0) e (π, 0)) rispettivamente se t → −∞ e t → ∞, dunque l’orbita non `e periodica. Una tale orbita, che connette due equilibri distinti in tempo infinito, viene detta eteroclina; nel caso in cui connette un equilibrio con se stesso si dice invece omoclina. Vale la pena notare che per dimostrare, come a volte si dice in casi come questo, che il “periodo di oscillazione `e infinito” non serviva calcolare esplicitamente la soluzione. Infatti tale tempo di oscillazione coincide col valore dell’integrale
s ` 2g Z π −π 1 √ 1 + cos ϕdϕ,
che `e un integrale improprio in entrambi gli estremi di integrazione. Per valutarne la convergenza basta utilizzare il criterio di asintoticit`a: svilup- pando il coseno in serie di Taylor con punto iniziale π si ottiene cos ϕ = cos π − sen π(ϕ − π) − cos π2 (ϕ − π)2 + o (ϕ − π)2
da cui 1 + cos ϕ = 1 2(ϕ− π)2+ o (ϕ− π)2. Di conseguenza la funzione √ 1 + cos ϕ `e asintotica a √1 2(π− ϕ) per ϕ → π−, perci`o Z π 1 √ 1 + cos ϕdϕ∼ Z π 1 π− ϕdϕ = +∞,
e l’integrale, dunque il tempo di oscillazione (o, meglio, di percorrenza dell’orbita) `e infinito.
Osservazione 7.9 Per la generica equazione conservativa di ordine due y00 = g(y)
e il relativo integrale primo dato dall’energia E(y, y0) = (y0) 2 2 + V (y) = (y0)2 2 − Z y g(s) ds,
`e sempre possibile risolvere l’equazione E(y, y0) = E0:= E(y0, y00) in funzio-
ne di y0 ottenendo l’equazione differenziale di ordine 1 y0 =±p2(E0− V (y)),
la quale permette di ricavare informazioni sulla soluzione nonch´e, potendola integrare, la soluzione stessa.