In questa sezione vogliamo studiare le propriet`a e lo spazio vettorialeS delle soluzioni (massimali) di un generico sistema lineare omogeneo
(9.4) y0 = A(t)y.
Anzitutto si ha il seguente risultato
Proposizione 9.1 S `e una spazio vettoriale di dimensione n.
Dimostrazione Fissato t0∈ I, consideriamo la mappa di valutazione
δt0 :S → R
n
y(·) 7→ y(t0),
che a ogni soluzione y(·) associa il valore che assume in t0. Tale applicazione
`e banalmente lineare. Inoltre, per l’unicit`a delle soluzioni (massimali) dei problemi di Cauchy, per ogni y0∈ Rnesiste un’unica soluzione di (9.4) tale
che y(t0) = y0, ovvero esiste un’unica y ∈ S tale che δt0y = y0. L’appli-
cazione δt0 `e allora biiettiva, dunque isomorfismo tra spazi vettoriali. Di
conseguenza dimS = dim Rn= n.
Per ottenere la generica soluzione y di (9.4) `e allora sufficiente individuare n soluzioni linearmente indipendenti ϕ1, . . . , ϕnin S, per cui sar`a
y = c1ϕ1+ . . . + cnϕn,
per qualche c1, c2, . . . , cn ∈ R. Ricordiamo che in questa caso la lineare
indipendenza `e intesa in senso funzionale, come nella seguente definizione. Definizione 9.2 Le funzioniϕ1, . . . , ϕp diS si dicono linearmente indipen-
denti se sono linearmente indipendenti come elementi dello spazio C1(I,Rn),
cio`e sec1ϕ1+ . . . + cpϕp = 0 in C1(I,Rn) implica c1= . . . = cp= 0.
Dire che c1ϕ1+ . . . + cpϕp = 0 in C1(I,Rn) significa dire che tale somma `e
nulla come funzione cio`e che c1ϕ1(t) + . . . + cpϕp(t) = 0 per ogni t∈ I.
Proposizione 9.3 Date ϕ1, . . . , ϕp ∈ S, cio`e p soluzioni dell’equazione
omogeneay0 = A(t)y, le seguenti affermazioni sono equivalenti: i) ϕ1, . . . , ϕp sono linearmente indipendenti in S;
ii) esiste t0 ∈ I tale che ϕ1(t0), . . . , ϕp(t0) sono vettori linearmente indi-
SISTEMI LINEARI OMOGENEI 181 iii) per ogni t∈ I i vettori ϕ1(t), . . . , ϕp(t) sono linearmente indipendenti
in Rn.
Dimostrazione Banalmente iii) implica ii). Dimostriamo che ii) impli- ca i) (analogamente iii) implica i)). Supponiamo quindi che esista t0∈ I tale
che i vettori ϕ1(t0), . . . , ϕp(t0) siano linearmente indipendenti in Rn. Presa
una combinazione lineare c1ϕ1+ . . . + cpϕp = 0 nulla in S, per definizione
si avr`a c1ϕ1(t) + . . . + cpϕp(t) = 0 per ogni t∈ I, in particolare per t = t0.
Per l’ipotesi ii) segue allora che c1 = . . . = cp = 0, da cui i).
Verifichiamo infine che i) implica iii) (analogamente i) implica ii)). Sup- poniamo che valga i) e che per assurdo non valga iii). Allora esiste t0 ∈ I per
cui ϕ1(t0), . . . , ϕp(t0) sono linearmente dipendenti, cio`e esistono c1, . . . , cp
non tutti nulli tali che c1ϕ1(t0) + . . . + cpϕp(t0) = 0. In relazione a questi
ck, poniamo y = Ppk=1ckϕk. Essendo S spazio vettoriale si ha y ∈ S, da
cui segue che y `e soluzione del problema di Cauchy (
y0 = A(t)y y(t0) = 0.
Poich´e anche la funzione nulla `e soluzione di tale problema, per unicit`a si ha 0 = y = Pp
k=1ckϕk con c1, . . . , cp non tutti nulli, assurdo per la lineare
indipendenza dei ϕk come elementi di S.
Come corollario si deduce che per trovare una base diS basta trovare n soluzioni che siano linearmente indipendenti in un punto di I.
Corollario 9.4 {ϕk}nk=1 `e base di S se e solo se esiste t0 ∈ I tale che
{ϕk(t0)}nk=1 `e base di Rn.
In particolare, fissato t0 ∈ I (per esempio t0 = 0 se 0 ∈ I) per trovare
una base di S `e sufficiente risolvere n problemi di Cauchy per l’equazione y0= A(t)y, y(t0) = y0, con y0uguale successivamente a n vettori linearmente
indipendenti v1, . . . , vn diRn, per esempio i vettori ek della base canonica.
Supponiamo ora che ϕ1, . . . , ϕn siano linearmente indipendenti, dunque
base di S; allora per ogni y ∈ S esistono c1, . . . , cn ∈ R, tali che y =
c1ϕ1+ . . . + cnϕn. Ciascuna funzione ϕk `e a valori in Rn, dunque avr`a n
componenti ϕk = (ϕ1k, . . . , ϕnk) e analogamente sar`a y = (y1, . . . , yn). In
forma di vettori colonna, si ottiene la seguente scrittura matriciale: y1 .. . yn = c1 ϕ11 .. . ϕn1 + . . . + cn ϕ1n .. . ϕnn = ϕ11 · · · ϕ1n .. . . .. ... ϕn1 · · · ϕnn c1 .. . cn =: Φ(t)c.
In forma compatta scriveremo y(t) = Φ(t)c dove Φ(t) `e la matrice sopra introdotta, le cui colonne sono date dai vettori della base di S, mentre c `e il vettore di Rn di coordinate (c
1, . . . , cn). Motivati da questo discorso, si
definisce la matrice soluzione come segue.
Definizione 9.5 Si dice matrice soluzione associata a y0 = A(t)y una qualsiasi matrice (9.5) Φ(t) = ϕ1(t) · · · ϕn(t) ,
dove le colonne ϕ1, . . . , ϕn sono soluzioni diy0= A(t)y, cio`e elementi di S.
Se in pi`u det Φ(t)6= 0 per ogni t ∈ I (cio`e se Φ(t) `e invertibile per ogni t) Φ si dice matrice fondamentale o risolvente del sistema lineare.
Per quanto visto in precedenza, la condizione det Φ(t)6= 0 per ogni t ∈ I `e ridondante. Infatti, basta che tale condizione valga per un solo t.
Proposizione 9.6 Per una matrice soluzione Φ(t) sono equivalenti: • per ogni t ∈ I si ha det Φ(t) 6= 0;
• esiste t0 ∈ I tale che det Φ(t0)6= 0.
QuindiΦ(t) `e matrice fondamentale se e solo se `e invertibile almeno per un (quindi per tutti) t∈ I.
Dimostrazione Alla luce della Proposizione 9.3 si ha che det Φ(t)6= 0 per ogni t se e solo se Φ(t) `e invertibile per ogni t se e solo se le colonne di Φ(t) sono n soluzioni linearmente indipendenti per ogni t se e solo se esiste un t0 tale che le colonne siano linearmente indipendenti se e solo se
det Φ(t0)6= 0.
`
E possibile caratterizzare le matrici soluzione mediante un’equazione (sistema) di equazioni differenziali in forma matriciale come segue dalla prossima proposizione.
Proposizione 9.7 Le seguenti affermazioni sono equivalenti: • Φ(t) `e matrice soluzione;
• Φ(t) `e soluzione dell’equazione differenziale in forma matriciale Y0 = A(t)Y
SISTEMI LINEARI OMOGENEI 183 • per ogni c ∈ Rnla funzioneΦ(t)c `e soluzione dell’equazione y0= A(t)y.
Dimostrazione Preliminarmente osserviamo che la mappa M(n, q) × M(q, m) → M(n, m)
(A, B)7→ AB,
`e bilineare. DotatoM(n, q) della topologia di Rnq, per il teorema di differen- ziabilit`a delle funzioni composte e delle applicazioni bilineari, se t 7→ A(t), e t7→ B(t) sono derivabili, si ha
(9.6) A(t)B(t)0
= A(t)0B(t) + A(t)B(t)0. Questo fatto verr`a usato spesso nel seguito.
Tornando all’enunciato della proposizione, dette ϕ1(t), . . . , ϕn(t) le co-
lonne di Φ(t) si osserva che la k-esima colonna di A(t)Φ(t) si ottiene molti- plicando A(t) per la k-esima colonna di Φ(t) che `e ϕk(t), dunque coincide
con A(t)ϕk(t). Inoltre la k-esima colonna di Φ0(t) `e ϕ0k(t). In definitiva
Φ0(t) = A(t)Φ(t) ⇐⇒ ϕ0k= A(t)ϕk per ogni k = 1, . . . , n,
che dimostra l’equivalenza delle prime due asserzioni. Preso c ∈ Rn si ha
poi che
(Φ(t)c)0 = A(t)(Φ(t)c) ∀c ∈ Rn ⇐⇒ Φ0(t)c = (A(t)Φ(t))c ∀c ∈ Rn ⇐⇒ Φ0(t) = A(t)Φ(t),
che conclude la dimostrazione.
Vale anche il seguente risultato che afferma che l’insieme delle matrici fondamentali `e stabile per moltiplicazione a destra con matrici invertibili. Proposizione 9.8 Se Φ(t) `e matrice fondamentale e B ∈ GL(n, R) `e una matrice invertibile, allora Φ(t)B `e ancora una matrice fondamentale.
Dimostrazione Infatti, se Φ `e matrice risolvente si ha (Φ(t)B)0 = Φ0(t)B = (A(t)Φ(t))B = A(t)(Φ(t)B)
dunque Φ(t)B soddisfa l’equazione matriciale Y0 = A(t)Y e per la Propo- sizione 9.7 `e matrice soluzione. Inoltre det(Φ(t)B) = det Φ(t)· det B 6= 0,
dunque `e anche matrice fondamentale.
Dalle osservazioni sopra si pu`o concludere che la generica soluzione y dell’equazione lineare omogenea y0= A(t)y si pu`o scrivere nella forma y(t) = Φ(t)c al variare di c∈ Rn. Pi`u precisamente vale il seguente risultato.
Proposizione 9.9 L’insieme S delle soluzioni dell’equazione lineare omo- geneay0 = A(t)y pu`o essere rappresentato comeS =Φ(t)c : c ∈ Rn , dove Φ(t) `e una qualsiasi fissata matrice fondamentale associata all’equazione.
Dimostrazione Fissata una matrice fondamentale Φ(t) da quanto visto sopra si ha che Φ(t)c : c ∈ Rn
⊆ S. Resta da dimostrare che ogni soluzione `e rappresentabile nella forma Φ(t)c per qualche c. Fissata una soluzione y tale che, diciamo, y(t0) = y0, sia c = Φ(t0)−1y0. La funzione
Φ(t)c `e una soluzione tale che Φ(t0)c = Φ(t0)Φ(t0)−1y0 = y0 quindi, per
l’unicit`a delle soluzioni del problema di Cauchy, deve coincidere con y(t).