Il Teorema di Cauchy-Lipschitz 2.7 individua alcune condizioni sufficienti ma non necessarie per l’esistenza e l’unicit`a locale delle soluzioni dei problemi di Cauchy. Per esempio, `e noto che c’`e unicit`a nel caso di equazioni a variabili separabili del tipo y0 = h(t)g(y), con h, g continue, non necessariamente localmente lipschitziane, tali che g(y)6= 0 per ogni y. Nell’Esempio 2.10 si `e inoltre visto che il problema di Cauchy
( y0 = y y(0) = 1,
ammette l’unica soluzione locale y(t) = etsu ogni intervallo [−δ, δ] con δ < 1.
Ma `e banale verificare che tale funzione `e definita ed `e soluzione in tutto R. `E l’unica soluzione sulla retta reale? Vedremo che la risposta `e s`ı, ma la questione non `e proprio banale come si evincer`a dal seguente esempio. In generale ci interesseremo del problema della cosiddetta “unicit`a in grande” o “globale” cio`e dell’unicit`a della soluzione su intervalli di definizione pos- sibilmente pi`u ampi di quelli considerati dal Teorema di Cauchy-Lipschitz. Esempio 3.1 Consideriamo il problema di Cauchy
(
y0 = 2p|y| y(0) =−1.
Il campo vettoriale (autonomo) f (t, y) = 2p|y| `e definito e continuo su tutto R2ma non `e localmente lipschitziano in un intorno dei punti (t
0, 0), al variare
di t0∈ R. Il dato iniziale (t0, y0) = (0,−1) non `e di questo tipo, ed essendo
f di classe C1 in un suo intorno, per il Teorema di Cauchy-Lipschitz il pro- blema di Cauchy in considerazione ammette un’unica soluzione locale. Pi`u precisamente, nelle ipotesi del teorema α pu`o essere preso a piacere mentre R deve essere preso in maniera tale che B[y0, R] = B[−1, R] sia contenuta in
una regione su cui f `e di classe C1; dovr`a dunque essere 06∈ B[−1, R] da cui
R < 1. Di conseguenza M = max{2p|z| : |z+1| ≤ R} = 2√R + 1. Il Teore- ma di Cauchy-Lipschitz garantisce esistenza e unicit`a locale della soluzione in Iδ con δ ≤ ε0 = min{α, R/M} = min{α, R/(2√R + 1)} = R/(2√R + 1),
non appena α `e sufficientemente grande. Si osservi che essendo 0 < R < 1 tale numero `e inferiore a √2/4. In definitiva il massimo intervallo su cui il teorema garantisce l’esistenza `e [−δ, δ] con δ <√2/4.
Utilizzando il metodo di separazione delle variabili `e possibile calcolare esplicitamente tale soluzione. Poich´e y(0) =−1, per continuit`a y(t) < 0 in un intorno di t0 = 0; finch´e y non si annulla si pu`o applicare il metodo di
separazione delle variabili, per il quale Z y(t) y0 1 2√−z dz = Z t t0 ds =⇒ h−√−ziy(t) −1 = t =⇒ y(t) = −(t − 1) 2.
Tale funzione si annulla per t = 1, dunque il metodo fornisce la soluzione y(t) = −(t − 1)2 definita nell’intervallo ]− ∞, 1]. Inoltre, ogni soluzione
deve necessariamente coincidere con quest’ultima, quindi c’`e unicit`a della soluzione in ]− ∞, 1], ovvero in un intervallo comunque pi`u ampio di quello previsto dal Teorema di Cauchy-Lipschitz.
Per t = 1 si ha y(1) = 0 e non `e possibile estendere ulteriormente il metodo di separazione delle variabili. Si noti che (t1, y(t1)) = (1, 0) `e un
punto in cui il campo vettoriale cessa di essere localmente lipschitziano; da tale punto si biforcano infinite soluzioni per t > 1. In particolare, le funzioni
yc(t) = −(t − 1)2 se t≤ 1 0 se 1 < t < 1 + c (t− c)2 se t≥ 1 + c,
al variare di c > 0, sono tutte soluzioni del problema di Cauchy in oggetto. Questo esempio dimostra che pu`o esserci unicit`a locale ma non globale. La perdita dell’unicit`a globale nell’esempio precedente `e dovuta al fatto che, pur essendoci unicit`a locale in un intorno di t0, in t1 > t0 la traiettoria della
soluzione passa per un punto in cui si perdono la locale lipschitzianit`a del campo vettoriale e l’unicit`a delle soluzioni ivi passanti. In definitiva l’unicit`a
UNICIT `A LOCALE E GLOBALE 37 globale di un singolo problema di Cauchy dipende in realt`a dall’unicit`a locale di tutti i problemi di Cauchy; essenzialmente andremo a dimostrare che
unicit`a locale per tutti i problemi di Cauchy =⇒ unicit`a globale
Teorema 3.2 (di unicit`a globale) Data un’equazione y0 = f (t, y), con f : Ω ⊆ R × Rn → Rn continua, tale che abbia unicit`a locale per tutti i
relativi problemi di Cauchy (per esempio se f `e localmente lipschitziana), allora ammette unicit`a globale per i medesimi problemi. Pi`u precisamente, se yi : Ii → Rn, i = 1, 2, sono soluzioni del problema di Cauchy
(
y0= f (t, y) y(t0) = y0,
allora y1 = y2 in I1∩ I2.
Dimostrazione Anzitutto si osservi che I1, I2 sono intervalli contenenti
t0 quindi I1∩ I2 `e un intervallo non vuoto contenente t0. Definiamo
J :={t ∈ I1∩ I2 : y1(t) = y2(t)}.
Per ipotesi t0 ∈ J 6= ∅. Dalla continuit`a di y1, y2 segue che J `e chiuso in
I1∩I2. Verifichiamo che `e anche aperto; infatti, se τ ∈ J si ha y1(τ ) = y2(τ ).
Per l’esistenza e unicit`a locale esiste un’unica soluzione del problema di Cauchy y0 = f (t, y), y(τ ) = y1(τ ) definita in un opportuno intervallo chiuso
Iτ di centro τ . Poich´e y1 e y2 sono entrambe soluzioni di tale problema si
avr`a y1 ≡ y2 in Iτ ∩ (I1∩ I2) Dunque esiste tutto un intorno aperto di τ
(nella topologia relativa) contenuto in I1∩ I2, perci`o J `e anche aperto. In
definitiva J `e un aperto, chiuso e non vuoto contenuto in I1 ∩ I2. Dalla
connessione di I1∩ I2 segue J = I1∩ I2 cio`e la tesi.
Conseguenze sulle traiettorie e sulle orbite
Supponendo che una data equazione differenziale y0 = f (t, y) abbia unicit`a di soluzioni per tutti i problemi di Cauchy associati, cosa si pu`o dire delle traiettorie e delle orbite? Vediamo che
unicit`a =⇒ la traiettorie non si intersecano
nel senso che due traiettorie o sono disgiunte oppure coincidono (localmente). Infatti, siano y : Iy → Rn e z : Iz → Rn due soluzioni dell’equazione; se
le due traiettorie hanno punti in comune, ovvero esiste almeno un punto (¯t, ¯y) ∈ Ty ∩ Tz allora entrambe le funzioni sono soluzioni del problema di
Cauchy con dati iniziali y(¯t) = ¯y. Per il Teorema 3.2 y e z devono allora coincidere su tutto Iy ∩ Iz. Le traiettorie non possono quindi intersecarsi
trasversalmente (si veda la Figura 3.1).
Iy Iz y(t) z(t) Iy Iz y(t) z(t) Iy Iz y(t) z(t) t y∈ Rn SI SI NO
Figura 3.1: Le traiettorie non si intersecano Bisogna stare attenti che invece
unicit`a =⇒ le orbite possono comunque intersecarsi come si intuisce facilmente osservando la Figura 3.2.
Figura 3.2: Le orbite possono intersecarsi Oy
Oz
Ty Tz
Rn
R
Pu`o dunque accadere che Oy ∩ Oz consti di un unico punto ¯y (come in
figura) per cui y(t1) = z(t2) = ¯y per qualche t1, t2ma allora dovr`a essere t1 6=
UNICIT `A LOCALE E GLOBALE 39 il che `e assurdo. Se per`o l’equazione `e autonoma, cio`e y0 = f (y), neanche le orbite possono intersecarsi trasversalmente, cio`e
unicit`a + equazione autonoma =⇒ le orbite non si intersecano Infatti, se come prima y : Iy → Rn e z : Iz → Rn sono due soluzioni
dell’equazione tali che y(t1) = z(t2), per l’Osservazione 1.6 anche la funzione
x(t) := y(t− t∗), con t∗= t2− t1, `e soluzione in Ix= Iy+ t∗. Ma allora
x(t2) = y(t2− (t2− t1)) = y(t1) = z(t2),
quindi (t2, z(t2))∈ Tx∩ Tz e per l’unicit`a x = z in Ix∩ Iz, ovvero y(t− t∗) =
z(t) per ogni t∈ (Iy+ t∗)∩ Iz. Ne consegue che le due soluzioni sono una la
traslata temporale dell’altra e, limitatamente all’intervallo (Iy + t∗)∩ Iz, le
orbite di y e z coincidono e non si possono avere intersezioni trasversali. Esercizio 3.3 Provare che la situazione in Figura 3.2 pu`o effettivamente accadere, per esempio verificando che per il seguente sistema planare
( x0 = 1 y0= 2t,
l’intersezione di due orbite distinte consta sempre di un unico punto. Esercizio 3.4 Data l’equazione differenziale y0 = f (y) con f :R → R local- mente lipschitziana, dimostrare che ogni soluzione `e strettamente monotona oppure `e un equilibrio. `E ancora vero se f `e solamente continua?
Il fenomeno di Peano
Cosa succede quando si perde l’unicit`a locale? Quante soluzioni pu`o ave- re in questo caso un singolo problema di Cauchy? Come si dispongono geometricamente le soluzioni nello spazio delle traiettorie?
Risponderemo con precisione a queste domande nel caso n = 1 di una singola equazione differenziale scalare, dando alcuni cenni al caso n ≥ 2. Considereremo i tempi t ≥ t0; un discorso analogo varr`a per t ≤ t0. In
generale, dato il problema di Cauchy (3.1)
(
y0 = f (t, y) y(t0) = y0,
con f continua, si pu`o dimostrare che esistono due particolari soluzioni dette integrale superiore e integrale inferiore e che denoteremo, rispettivamente,
con y(t) e y(t), tali che per ogni altra soluzione y(t) e per ogni tempo t appartenente a un comune intervallo di definizione si ha
y(t)≤ y(t) ≤ y(t).
Ovviamente, nel caso in cui c’`e unicit`a delle soluzioni si avr`a y(t) = y(t) per ogni t. Per dimostrare l’esistenza di queste due soluzioni `e necessario utilizzare dei metodi leggermente pi`u raffinati delle poligonali di Eulero che permettono di costruire opportune soluzioni approssimate di una qualsiasi fissata soluzione; per approfondire l’argomento si veda per esempio [8].
In aggiunta, il quadro geometrico delle soluzioni `e ben delineato: si ha il cosiddetto fenomeno di Peano (spesso chiamato anche pennello di Peano). Si pu`o infatti dimostrare che per ogni t∗> t0e ogni y∗ tale che y(t∗)≤ y∗ ≤
y(t∗) esiste almeno una soluzione y(t) di (3.1) tale che y(t∗) = y∗. Da ci`o discende che l’insieme dei punti raggiungibili con soluzioni di (3.1), dato da
R :=(t, y(t)) : y : Iy → Rn soluzione di (3.1), t∈ Iy ,
individua nel piano delle traiettorie una sorta di “pennello” delimitato dal- l’alto e dal basso dalle traiettorie di y e y (si veda la Figura 3.3). L’insieme dei punti raggiungibili all’istante t∗, cio`e
R(t∗) :=R ∩ {t = t∗},
`e invece un segmento congiungente i punti (t∗, y(t∗)) e (t∗, y(t∗)).
t0 t∗ y0 y(t∗) y(t∗) y∗ y(t) y(t) y(t) t y (t0, y0) R t y
Figura 3.3: Pennello di Peano
Nel caso n≥ 2 non si ha a disposizione una relazione d’ordine in Rn, per
cui il quadro geometrico pu`o essere pi`u complicato. Vale per`o la seguente generalizzazione ai sistemi di n equazioni.
UNICIT `A LOCALE E GLOBALE 41 Teorema 3.5 (di Kneser) Data l’equazione differenziale y0 = f (t, y) con f : Ω⊆ R×Rn→ Rncontinua e fissato (t0, y0)∈ Ω, sia δ come nelle ipotesi
del Teorema di Cauchy-Lipschitz 2.7. Allora per ogni t∗ ∈ Iδ l’insieme
R(t∗) :=(t∗, y(t∗)) : y : I
δ → Rn`e soluzione di (3.1) ,
ovvero l’insieme dei punti raggiungibili all’istante t∗ mediante soluzioni di (3.1), `e un continuo, cio`e un insieme compatto e connesso.
Se n ≥ 2, tale insieme potrebbe non essere semplicemente connesso, come illustrato dal seguente esempio.
Esempio 3.6 Si consideri il sistema bidimensionale
(3.2) y10 = y1− y2p|y2| 4 py2 1+ y22 y20 = y2+ y1p|y2| 4 py2 1+ y22 y1(0) = 1, y2(0) = 0.
In generale per un sistema planare autonomo della forma (
x0 = a(x, y) y0 = b(x, y),
operando il cambio di coordinate in variabili polari (x, y) = (ρ cos θ, ρ sen θ) e inversamente (ρ, θ) = (px2+ y2, arctg(y/x)) si ottiene
(3.3)
ρ0= 1
2px2+ y2(2xx
0+ 2yy0) = x0ρ cos θ + y0ρ sen θ
ρ
= x0cos θ + y0sen θ = a(x, y) cos θ + b(x, y) sen θ = a(ρ cos θ, ρ sen θ) cos θ + b(ρ cos θ, ρ sen θ) sen θ,
(3.4) θ0 = 1 1 + (y/x)2 · y0x− yx0 x2 = y0ρ cos θ− x0ρ sen θ ρ2 = y0cos θ− x0sen θ ρ =
b(x, y) cos θ− a(x, y) sen θ ρ
= b(ρ cos θ, ρ sen θ) cos θ− a(ρ cos θ, ρ sen θ) sen θ
In questo caso, con (x, y) = (y1, y2), per tutte le soluzioni per cui ρ non `e
mai nullo si ottiene facilmente
(3.5) ρ0 = ρ θ0 =p| sen θ| ρ(0) = 1, θ(0) = 0,
sistema di due equazioni disaccoppiate. La prima equazione ha soluzione generale ρ(t) = ρ0et. La seconda equazione ha il campo vettoriale continuo
ma non localmente lipschitziano in un intorno dei punti in cui sen θ si annulla cio`e (t0, kπ) con k∈ Z. Il dato iniziale `e di questo tipo dunque ci si aspetta
di non avere unicit`a delle soluzioni. In particolare, le funzioni θk(t) = kπ
sono tutte soluzioni (sono equilibri). Dall’equilibrio θ0= 0 si biforcano altre
infinite soluzioni; per separazione delle variabili, per tutti i t > 0 per i quali 0 < θ(t) < π si ottiene Z θ(t) 0 1 √sen ϕdϕ = Z t 0 ds,
dove il primo integrale si deve interpretare come integrale improprio in ϕ = 0 (si dimostri che tale integrale converge). Detta H(ϕ) la primitiva tale che H(0) = 0 (si potrebbe calcolarla in funzione di opportuni integrali ellittici), si ottiene l’equazione H(θ(t)) = t. Anche l’integrale improprio (in ϕ = π)
Z π
0
1 √sen ϕdϕ
`e convergente (lo si dimostri per esercizio); sia τ il suo valore che corrisponde al tempo che impiega la soluzione considerata a connettere l’equilibrio in 0 con quello in π. Numericamente si trova τ ≈ 5.2439. Nell’intervallo [0, τ] la funzione H `e crescente e continua, dunque la si pu`o invertire ottenendo la soluzione θ(t) = H−1(t). Al tempo t = τ la soluzione del sistema (3.5) si trova in (ρ(τ ), θ(τ )) = (eτ, π) che `e ancora un punto in cui l’equazione θ0 = p| sen θ| perde l’unicit`a. Per t > τ la soluzione pu`o dunque essere prolungata con l’equilibrio θ1(t) = π oppure si utilizza ancora la separazione
delle variabili ottenendo, grazie alla relazione sen(ψ− π) = − sen ψ, Z θ(t) π 1 √ − sen ψdψ = Z t τ ds =⇒ Z θ(t)−π 0 1 √sen ϕdϕ = t− τ. Nell’intervallo di tempi [τ, 2τ ] si ottiene quindi la soluzione data in forma implicita da H(θ(t)− π) = t − τ, oppure in forma esplicita da θ(t) = π +
UNICIT `A LOCALE E GLOBALE 43 H−1(t− τ). Al tempo t = 2τ la soluzione del sistema (3.5) si trova quindi in (ρ(2τ ), θ(2τ )) = (e2τ, 2π) ovvero la fase θ ha compiuto un giro completo. Pi`u precisamente, limitatamente all’intervallo [0, 2τ ] la funzione θ(t) = 0 `e l’integrale inferiore del problema di Cauchy θ0 =p| sen θ|, θ(0) = 0, mentre la funzione
θ(t) := (
H−1(t) se t∈ [0, τ] π + H−1(t− τ) se t ∈ ]τ, 2τ],
`e l’integrale superiore. Si osservi che le soluzioni (ρ(t), θ(t)) e (ρ(t), θ(t)) del sistema (3.5) al tempo 2τ si trovano, rispettivamente, in (e2τ, 0) e in
(e2τ, 2π), punti che coincidono nelle coordinate (y1, y2). Prendiamo dunque
t∗ = 2τ ; per il fenomeno di Peano l’insieme dei valori θ(t∗) punti raggiunti al tempo t∗ da tutte le soluzioni del problema di Cauchy θ0 = p| sen θ|, θ(0) = 0 `e dato dall’intervallo [0, 2π], perci`o l’insieme dei punti raggiunti dalle soluzioni di (3.5) al tempo t∗ `e dato da{et∗} × [0, 2π] che corrisponde nelle coordinate (y1, y2) a una circonferenza di centro l’origine e raggio et
∗
nel piano t = t∗. Si osservi che tale insieme non `e semplicemente connesso. Per completezza, si pu`o verificare che tutte e sole le soluzioni di (3.5) in [0, t∗] sono date da (ρ(t), θs,r(t)) dove ρ(t) = ete θs,r `e data da
θs,r(t) := 0 se t∈ [0, s] H−1(t− s) se t∈ [s, s + τ] π se t∈ [s + τ, r + s + τ] π + H−1(t− (r + s + τ)) se t ∈ ]r + s + τ, 2τ].
ristretta all’intervallo [0, t∗] = [0, 2τ ], al variare dei parametri r, s ≥ 0 tali che 0≤ s ≤ τ e 0 ≤ r ≤ τ − s, oppure τ < s ≤ 2τ nel qual caso la scrittura sopra si semplifica leggermente, mancando delle ultime due righe.
Esercizio 3.7 Trovare l’integrale superiore e l’integrale inferiore relativi ai due problemi di Cauchy
( y0 = 2p|y| y(0) = 1, ( y0= 2p|y| y(0) = 0,
per t > 0 e t < 0. Dimostrare correttamente le proprie affermazioni. Descrivere i relativi pennelli di Peano.
Esercizio 3.8 Studiare l’esistenza e l’unicit`a delle soluzioni dei problemi di Cauchy relativi alle equazioni differenziali y0 = p1 − y2, y0 = tp1 − y2 e
Esercizio 3.9 Dato il problema di Cauchy y10 = y1 s 1− 1 y2 1 + y22 − 4y2p|y2| py2 1+ y22 y20 = y2 s 1− 1 y2 1 + y22 + y1p|y2| 4 py2 1+ y22 y1(0) = 1, y2(0) = 0,
studiare l’esistenza e unicit`a locale delle soluzioni. Descrivere l’insieme del- le soluzioni e dei punti raggiungibili all’istante t∗ con t∗ sufficientemente grande.