Le variet`a di Stiefel e di Grassmann reali, complesse e quaternioniche ci per-mettono di costruire fibrati universali che possiamo utilizzare per classificare, mo-dulo equivalenza, i fibrati vettoriali sui campi corrispondenti. In questo capitolo discutiamo alcune loro propriet`a e sviluppiamo altri interessanti esempi di spazi omogenei.
3.1. Variet`a di Stiefel reali
Associamo ad una m-upla di vettori di Rnla matrice X = (v1, . . . , vm) di Rn×m di cui essi formano le colonne. La condizione che gli m vettori formino un sistema ortonormale si pu`o esprimere con l’equazione X|X = Ime quindi
(3.1) Vm(Rn)= {X ∈ Rn×m| X|X= Im}
identifica le m-uple ortonormali di Rna un sottospazio dello spazio euclideo Rn×m. Definizione 3.1.1. Chiamiamo Vm(Rn) la variet`a di Stiefel degli m-riferimenti ortonormali di Rn.
Consideriamo suVm(Rn) la topologia e la struttura differenziale di sottospazio. Osserviamo che
• V1(Rn) `e la sfera (n − 1)-dimensionale Sn−1di Rn; • Vn−1(Rn) ' SO(n);
• Vn(Rn) ' O(n).
Le variet`a di Stiefel reali generalizzano quindi, allo stesso tempo, le sfere, i gruppi ortogonali e i gruppi speciali ortogonali.
Teorema 3.1.2. La variet`a di Stiefel reale Vm(Rn) `e una variet`a analitica com-patta di dimensione m(2n−m−1)/2. Se 1≤m<n, alloraVm(Rn) `e diffeomorfa allo spazio omogeneo SO(n)/SO(n−m) e quindi, in particolare, connessa per archi.
Dimostrazione. Abbiamo gi`a osservato che Vn,n = O(n) e quindi una va-riet`a compatta di dimensione n(n−1)/2, con due componenti connesse, ciascuna diffeomorfa ad SO(n).
Se 1≤m<n, alloraVm(Rn) `e l’orbita, per l’azione a sinistra di SO(n) su Rn×m, di (e1, . . . , em): questa affermazione equivale al fatto che ogni m-upla (v1, . . . , vm) di vettori ortonormali pu`o completarsi ad una base ortonormale (v1, . . . , vn) di Rn con det(v1, . . . , vn)= 1. Lo stabilizzatore di (e1, . . . , em) `e il sottogruppo
( Im x ! x∈ SO(n−m) ) ' SO(n−m). 69
LaVm(Rn) `e quindiCω-diffeomorfa allo spazio omogeneo SO(n)/SO(n−m) e per-ci`o una variet`a analitica compatta di dimensione
dimRVm(Rn)= dimRSO(n) − dimRSO(n−m)= n(n−1)
2 − (n−m)(n−m−1)2 = m(2n−m−1) 2 . Poich´e SO(n) `e connesso per archi, ancheVm(Rn) `e connessa per archi. Dalla rappresentazione di Vm(Rn) come spazio omogeneo SO(n)/SO(n−m), ricaviamo la successione esatta di omotopia1
(3.2)
· · · −−−−−→ πh(SO(n−m)) −−−−−→ πh(SO(n)) −−−−−→ πh(Vm(Rn)) −−−−−→ πh−1(SO(n−m)) −−−−−→ · · ·
· · · −−−−−→ π1(SO(n−m)) −−−−−→ π1(SO(n)) −−−−−→ π1(Vm(Rn))
−−−−−→ 0.
Inoltre, per ogni coppia d’interi k, m con 1 ≤ k < m < n, la (3.3) $ : Vm(Rn) 3 (v1, . . . , vm) → (v1, . . . , vk) ∈Vk(Rn)
`e una fibrazione localmente banale con fibra tipicaVm−k(Rn−k). Otteniamo quindi una successione esatta di omotopia
(3.4)
· · · −−−−−→ πh+1(Vk(Rn)) −−−−−→ πh(Vm−k(Rn−k)) −−−−−→ πh(Vm(Rn)) −−−−−→ πh(Vk(Rn)) −−−−−→ πh−1(Vm−k(Rn−k)) −−−−−→ · · ·
Possiamo utilizzare le (3.2) e (3.4) per studiare l’omotopia delle variet`a di Stiefel reali.
Proposizione 3.1.3. Sia m un intero con 1 ≤ m < n. La variet`a di Stiefel reale Vm(Rn), `e (n−m−1)-connessa e (3.5) πn−m(Vm(Rn))= Z se n−m `e pari, o m= 1, Z2 se n−m `e dispari ed m ≥2.
Dimostrazione. Ragioniamo per ricorrenza su m ≥ 1. Poich´e, come abbiamo osservato in precedenza,V1(Rn) = Sn−1, la tesi `e vera se m = 1. Sia ora m > 1 e supponiamo la tesi sia verificata per le variet`a di Stiefel realiVk(Rn) con 1 ≤ k < m. Per k= m − 1, poich´e V1(Rn−m+1) ' Sn−m, la (3.4) ci d`a la successione esatta (3.6)
· · · −−−−−→ πh(Sn−m) −−−−−→ πh(Vm(Rn)) −−−−−→ πh(Vm−1(Rn)) −−−−−→ πh−1(Sn−m) −−−−−→ · · ·
Se h < n−m, allora πh(Sn−m) = 0, e πh(Vm−1(Rn)) = 0 per l’ipotesi induttiva. Quindi anche πh(Vm(Rn))= 0. Questo prova che Vm(Rn) `e (n−m−1)-connessa.
1Per semplicit`a in questa, e nelle altre successioni esatte in questo paragrafo ometteremo di indicare il punto base.
3.2. VARIET `A DI GRASSMANN REALI 71
Rimane da verificare la (3.5). Sappiamo che essa vale per m= 1. Per k = 1, la (3.4) d`a la successione esatta di omotopia
πn−m+1(Sn−1) −−−−−−→ πn−m(Vm−1(Rn−1)) −−−−−−→ πn−m(Vm(Rn) −−−−−−→ πn−m(Sn−1).
Se m > 2, `e πn−m+1(Sn−1)= 0 e πn−m(Sn−1)= 0, da cui ricaviamo l’isomorfismo πn−m(Vm(Rn)) ' πn−m(Vm−1(Rn−1)) per ogni m con 2 < m < n.
Per completare la dimostrazione, sar`a quindi sufficiente verificare che la (3.5) vale nel caso m= 2. Per k = 1 ed m = 2 la (3.4) ci d`a la successione esatta di omotopia:
(3.7) Z = πn−1(Sn−1) −−−−−→ Z = π∆∗ n−2(Sn−2) −−−−−→ πn−2(V2(Rn)) −−−−−→ 0. Per semplificare la notazione, `e conveniente porre ν= (n−1) e fissare in Rν+1 la base ortonormale e0, e1, . . . , eν. Scegliamo, come punti base,
• (eν, e0) inV2(Rν+1), • eνin Sν,
• e0in Sν−1= Sν∩ e⊥ν.
Posto Sν+ = {x ∈ Sν | xν = (x|eν) ≥ 0}, `e πν(Sν, eν) ' π(Sν+, Sν−1; Sν, eν). Una f ∈ C (Sn−1
+ , Sn−2; Sn−1, eν) si rialza ad una ˜f ∈C (Sn−1
+ , e0;V2(Rν+1), (eν, e0)). La sua restrizione ad Sν−1 `e la classe di omotopia di ∆∗([ f ]). Per calcolare l’immagine di ∆∗, osserviamo che la ψ(x)= eν− 2xν· x `e un’applicazione inC (Sν
+, Sν−1; Sν, eν) la cui classe di omotopia corrisponde a quella dell’identit`a su Sν. Quindi ∆∗(πν(Sν)) `e generato da ∆∗([ψ]). Possiamo considerare il rialzamento
˜
ψ= {x −→ (eν− 2xν· x, 2x0· x − e0)} ∈C (Sν, e0;V2(Rν+1), (eν, e0)). Allora ∆∗([ψ]) `e la classe di omotopia di ψ0(x)= 2x0· x − e0in πν−1(Sν−1, e0).
Ricordiamo che l’intero corrispondente alla classe di ψ0 in πν−1(Sν−1, e0) `e il suo grado (vedi §??), che si pu`o calcolare sommando le segnature del suo jaco-biano nelle controimmagini di un suo valore regolare. Possiamo scegliere il va-lore regolare e0, che ha come controimmagini ±e0. Abbiamo dψ(e0)(v) = 2 · v e dψ0(−e0)(v)= −2v per v ∈ Rν−2. Poich´e det(−Iν−2)= (−1)ν, abbiamo [ψ0]= 2 se ν`e pari, [ψ0]= 0 se ν `e dispari.
Ricordando che n= ν+1, abbiamo ottenuto che l’immagine di πn−1(Sn−1) ' Z in πn−2(Sn−2) ' Z `e 2Z quando n `e dispari e {0} quando n `e pari. Quindi
πn−2(V2(Rn))= Z2, se n `e dispari, Z, se n `e pari.
Questo completa la dimostrazione.
3.2. Variet`a di Grassmann reali
Dati due interi positivi m < n, indichiamo conGrm(Rn) l’insieme dei sottospazi vettoriali di dimensione m di Rn. Se `m∈Grm(Rn), il prodotto esternov1∧ · · · ∧vm dei vettori di una sua base `e univocamente determinato a meno di moltiplicazione
per uno scalare. Viceversa, un elemento α di rango uno2 di Λm
(Rn) determina univocamente l’m-piano [α] = {v ∈ Rn | α ∧ v = 0} di Rn. Possiamo quindi identificare l’insieme degli n-piani di Rn ad un sottospazio dello spazio proiettivo associato aΛm
(Rn) :
(3.8) Grn(Rn)= {[α] | rk(α) = 1} ⊂ P(Λn (Rn)).
Definizione 3.2.1. Chiamiamo Grm(Rn) variet`a di Grassmann degli m-piani di Rn.
Proposizione 3.2.2. Grm(Rn) `e uno spazio topologico di Hausdorff, connesso e compatto ed una variet`a analitica di dimensione m(n−m).
Dimostrazione. La grassmanniana Grm(Rn) `e l’orbita di p0= [e1∧· · ·∧em] per l’azione naturale di di SO(n) su P(ΛmRn). Lo stabilizzatore di p0`e il sottogruppo H= ( x y !
x∈ O(m), y∈ O(n−m), det(x) · det(y)= 1 )
' S(O(m) × O(n−m)).
Poich´e SO(n) ed H sono gruppi di Lie compatti,Grm(Rn) `e un compatto di Hau-sdorff e l’applicazione naturale
SO(n)/S(O(m) × O(n−m)) →Grm(Rn)
un diffeomorfismo analitico, che ne definisce la struttura di variet`a analitica di dimensione n(n − 1) 2 − m(m − 1) 2 − (n−m)(n−m − 1) 2 = m(n−m).
Proposizione 3.2.3. Fissato un prodotto scalare su Rn, l’applicazione
(3.9) Grm(Rn) 3 `m→`⊥
m∈Grn−m(Rn)
che associa ad ogni m-piano`ml’(n−m)-piano ad esso ortogonale `e un
diffeomor-fismo analitico3.
Nello studio delle propriet`a geometriche delle variet`a di Grassmann potremo quindi, nel seguito, limitarci a considerare il caso in cui n ≥ 2m.
Consideriamo l’applicazione naturale
(3.10) π:Vm(Rn) 3 (v1, . . . , vm) → hv1, . . . , vmi ∈Grm(Rn)
che associa ad un sistema di m vettori ortonormali di Rnil sottospazio da essi gene-rato. L’azione a destra di O(m) suVm(Rn) definisce su Vm(Rn), π,Grm(Rn), O(m) una struttura di fibrato principale con gruppo strutturale O(m). I gruppi di omotopia
2Definiamo il rango di un tensore alternato diΛm
(Rn) come il numero minimo di addendi di una sua decomposizione in somma di monomiv1∧ · · · ∧vm.
3.2. VARIET `A DI GRASSMANN REALI 73
delle variet`a di Stiefel e di Grassmann sono quindi legati dalla successione esatta di Serre:
(3.11)
· · · −−−−−→ πh+1(Grm(Rn)) −−−−−→ πh(O(m)) −−−−−→ πh(Vm(Rn)) −−−−−→ πh(Grm(Rn)) −−−−−→ πh−1(O(m)) −−−−−→ πh−1(Vm(Rn)) −−−−−→ · · ·
Lemma 3.2.4. Per ogni intero non negativo h ed ogni coppia d’interi positivi m, k, con m ≤ k, le applicazioni ι∗ : πh(O(m)) → πh(Vm(Rk+m)) hanno immagine nulla.
Dimostrazione. Abbiamo presentato Vm(Rk+m) in (3.1) come lo spazio del-le matrici X di R(k+m)×m per cui X|X= Ik+m. Identifichiamo O(m) alla fibra di Vm(Rk+m) sopra il punto base he1, . . . , emi diGrm(Rn) mediante l’inclusione
O(m) 3x−→ x 0 !
∈Vm(Rk+m). L’omotopia F : O(m) × I →Vm(Rn) definita da
F(x,t)= xcos2(t·π/2) + Im sin2(t·π/2) (x|−Im) sin(t·π/2) cos(t·π/2)
0n−2m,m
definisce una retrazione di deformazione di O(m) sul punto base (e1, . . . , em) di
Vm(Rn). Da questo segue la tesi.
In particolare, dalla successione esatta (3.11) ricaviamo, per ogni intero h ≥ 0, le successioni esatte corte:
(3.12) 0 → πh(Vm(Rn)) −−−−−→ πh(Grm(Rn)) −−−−−→ πh−1(O(m)) → 0. Abbiamo perci`o, tenuto conto del diffeomorfismo (3.9),
Teorema 3.2.5. Siano 1 ≤ m < n e ν = min{m, n−m}. Allora (3.13) π1(Grm(Rn))= Z2, ∀n ≥ 3 ed 1 ≤ m < n ed inoltre (3.14) πh(Grm(Rn))= πh−1(SO(ν)) se2 ≤ h < n − ν, Z ⊕ πn−ν−1(SO(ν)) se h= n − ν `e pari o ν = 1, Z2⊕ πn−ν−1(SO(ν)) se h= n − ν `e dispari e ν ≥ 3.
Dimostrazione. La tesi `e conseguenza della successione esatta (3.12) e del fatto che la variet`a di StiefelVm(Rn) `e (n−m − 1)-connessa. La classica struttura di CW-complesso diGrm(Rn) si definisce utilizzando le celle di Schubert, associate al metodo di eliminazione di Gauss. Ad una matrice X ∈ Rn×m di rango m possiamo associare m interi si(X) nel modo seguente: s1(X) `e l’indice della prima riga non nulla di X. Moltiplicando a sinistra la X per una matrice di GLm(R), possiamo ottenere una nuova matrice X10 che rappresenta lo
stesso elemento diGrm(Rn), ma ha un solo elemento diverso da zero sulla s1 (X)-esima riga. Consideriamo allora la matrice X1che si ottiene cancellando la colonna di X0 che contiene tale elemento. Indichiamo con s2(X) l’indice della prima riga di X1 diversa da zero. Ripetendo il procedimento, definiamo per ricorrenza una sequenza crescente d’interi 1 ≤ s1(X) < s2(X) < · · · < sm(X) ≤ n. Questi numeri sono gli stessi per la matrice X e per quelle che si ottengono moltiplicando a destra Xper un elemento di GLm(R) e sono perci`o degli invarianti associati al sottospazio generato dalle colonne della matrice. Le celle di Schubert si definiscono mediante
Ck1,...,km = {[X] | si(X)= ki},
ove abbiamo indicato con [X] il sottospazio generato dalle colonne della matrice X, che supponiamo in Rn×me di rango m. La dimensione della cella Ck1,...,km `e
Xm
i=1(n − m+ i − ki)= m(n − m) +m(m − 1)
2 −
Xm
i=1ki. In particolare, C1,2,...,m`e l’unica cella che sia un aperto diGrm(Rn).
Se n0> n, possiamo considerare Rn
come il sottospazio di Rn0 formato dai vet-tori che hanno nulle tutte le componenti di indice minore o uguale ad (n0− n). Da questa inclusione Rn⊂ Rn0, otteniamo un’inclusione naturale
(3.15) Grm(Rn) ,→Grm(Rn0).
Proposizione 3.2.6. L’applicazione πh(Grm(Rn)) → πh(Grm(Rn0)) indotta dalla (3.15) `e un isomorfismo per ogni h < min{m, n−m} ed ogni n0 > n.
Dimostrazione. Infatti, se h < n−m, e consideriamo la partizione cellulare di Grm(Rm0) data dalle celle di Schubert, lo scheletro (h+1)-dimensionale di Grm(Rn0)
`e contenuto inGrm(Rn).
3.3. Variet`a di Stiefel e di Grassmann complesse
Introduciamo in questo paragrafo le variet`a di Stiefel e di Grassmann complesse.
Definizione 3.3.1. La variet`a di Stielfel complessa
(3.16) Vm(Cn)= {Z ∈ Cn×m
| Z∗Z= Im}. `e costituita dalle m-uple di vettori ortonormali di Cn.
Poich´e
V1(Cn)= S2n−1, Vn−1(Cn) ' SU(n), Vn(Cn)= U(n),
le variet`a di Stiefel complesse generalizzano le sfere di dimensione dispari ed i gruppi unitari. Abbiamo:
Proposizione 3.3.2. Per ogni 1 ≤ m ≤ n, la Vm(Cn) `e una variet`a analitica di dimensione reale m(2n−m), compatta e connessa per archi. Se 1 ≤ m < n, essa `e omeomorfa allo spazio omogeneo SU(n)/SU(n−m).
3.3. VARIET `A DI STIEFEL E DI GRASSMANN COMPLESSE 75
Dimostrazione. I gruppi di Lie U(n) ed SU(n) sono compatti e connessi per archi. Se 1 ≤ m < n, Vm(Cn) `e un’orbita dell’azione naturale a sinistra di SU(n) su Cn×m. Il gruppo d’isotropia `e SU(n−m). Quindi Vm(Cn) `e Cω-diffeomorfo al quoziente SU(n)/SU(n−m) e perci`o compatto e connesso per archi ed `e una variet`a
analitica di dimensione (n2−1) − ([n−m]2−1)= 2mn−m2.
Proposizione 3.3.3. Vm(Cn) `e (2n−2m)-connessa e π2n−2m+1(Vm(Cn))= Z. Dimostrazione. Fissato un intero positivo k minore di m, l’applicazione (3.17) Vm(Cn) 3 (v1, . . . , vm) → (v1, . . . , vk) ∈Vk(Cn)
`e una fibrazione localmente banale con fibra tipicaVm−k(Cn−k). I gruppi di omoto-pia delle variet`a di Stiefel complesse sono quindi legate dalla successione esatta
(3.18)
· · · −−−−−−→ πh+1(Vk(Cn)) −−−−−−→ πh(Vm−k(Cn−k)) −−−−−−→ πh(Vm(Cn)) −−−−−−→ πh(Vk(Cn)) −−−−−−→ πh−1(Vm−k(Cn−k)) −−−−−−→ πh−1(Vm(Cn)) −−−−−−→ · · ·
Ragioniamo per ricorrenza su m ≥ 1 (ed n > m qualsiasi).
Per m= 1, V1(Cn)= S2n−1. La sfera di dimensione (2n − 1) `e (2n − 2)-connessa e π2n−1(S2n−1) ' Z. La tesi `e quindi verificata per m = 1. Fissiamo ora m > 1 e supponiamo che, per ogni r con 1 ≤ r < m laVr(Cn) sia (2n−2r)-connessa, con π2n−2r−1(Vr(Cn)) ' Z. Per k = 1, la (3.18) ci d`a la successione esatta
· · · → πh+1(S2n−1) −−−−−−→ πh(Vm−1(Cn−1)) −−−−−−→ πh(Vm(Cn)) −−−−−−→ πh(S2n−1) → · · ·
Poich´e per l’ipotesi induttivaVm−1(Cn−1) `e (2n−2m)-connesso eV1(Cn)= S2n−1 `e (2n − 2)-connesso, otteniamo che ancheVm(Cn) `e (2n − 2)-connesso.
Utilizziamo ancora la (3.18) con k= (m − 1) ed h = 2n−2m + 1. Abbiamo la successione esatta
· · · −−−−−−→ π2n−2m+2(Vm−1(Cn)) −−−−−−→ π2n−2m+1(S2n−2m+1) −−−−−−→ π2n−2m+1(Vm(Cn)) −−−−−−→ π2n−2m+1(Vm−1(Cn))→ · · ·
Poich´eVm−1(Cn) `e (2n−2m+ 2)-connessa, otteniamo l’isomorfismo
π2n−2m+1(Vm(Cn)) ' π2n−2m+1(S2n−2m−1)= Z. Definizione 3.3.4. Chiamiamo variet`a di Grassmann complessa degli m-piani di Cnlo spazio
(3.19) Grm(Cn)= {[α] | α ∈ Λm
(Cn), rk(α)= 1} ⊂ P(Λm (Cn)).
La corrispondenza α → `m= {v ∈ Cn| α ∧v = 0} d`a l’interpretazione geome-trica della (3.19).
L’applicazione
(3.20) $ : Vm(Cn) 3 (v1, . . . , vm) → hv1, . . . , vmi ∈Grm(Cn)
definisceGrm(Cn) come la base di un fibrato U(m)-principale, per l’azione a destra di U(m) sulla variet`a di StiefelVm(Cn).
I gruppi di omotopia delle variet`a di Grassmann e di Stiefel complesse sono perci`o legati dalla successione esatta di Serre:
(3.21)
· · · −−−−−→ πh(U(m)) −−−−−→ πh(Vm(Cn)) −−−−−→ πh(Grm(Cn)) −−−−−→ πh−1(U(m)) −−−−−→ πh−1(Vm(Cn)) −−−−−→ · · · Con una dimostrazione analoga a quella del Lemma 3.2.4 otteniamo
Lemma 3.3.5. Se 1 < 2m ≤ n, allora l’applicazione πh(U(m)) → πh(Vm(Cn))
in(3.35) ha immagine nulla.
Questo ci d`a, per ogni intero h ≥ 1 e per 1 < 2m ≤ n, le successioni esatte corte
(3.22) 0 → πh(Vm(Cn)) −−−−−→ πh(Grm(Cn)) −−−−−→ πh−1(U(m)) → 0. Otteniamo perci`o il
Teorema 3.3.6. Sia ν = min{m, n−m}. Allora, per ogni 1 ≤ m < n ed h ≥ 1 (3.23) πh(Grm(Cn))= πh−1(U(ν)), ∀h ≤ 2n − 2ν
Dimostrazione. Se 2m ≤ n, la tesi segue dalla (3.36) e dal fatto che Vm(Cn) `e 2(n−m)-connessa. Per completare la dimostrazione, `e sufficiente utilizzare l’omeo-morfismo
(3.24) Grm(Cn) 3 `m→`⊥
m∈Grn−m(Cn),
dove `⊥m`e l’(n−m)-piano ortogonale a `m, rispetto ad un prodotto scalare
Hermitia-no in Cn.
In particolare, π1(Grm(Cn))= 0 e π2(Grm(Cn))= Z per ogni 1 ≤ m < n. 3.4. Variet`a di Stiefel e di Grassmann quaternioniche
Nel definire le variet`a di Stiefel e di Grassmann su H dobbiamo tener con-to della non commutativit`a dei quaternioni. Consideriamo Hn come uno spazio vettoriale a destra su H. In questo modo un’applicazione H-lineare Hn → Hm si pu`o rappresentare mediante la moltiplicazione righe per colonne di una matrice in Hm×na sinistra per un vettore colonna in Hna destra. La trasformazione H-lineare a destra definita da una matrice A ∈ Hn×n `e in particolare R-lineare ed ammette un’inversa in Hn×n(che sar`a sia destra che sinistra perch´e l’algebra H `e associati-va) se e soltanto se `e invertibile come applicazione R-lineare. Se A = (ai, j) ∈ Hm×n, poniamo A∗= (¯aj,i) ∈ Hn×m.
Su Hnintroduciamo un prodotto scalare iperhermitiano mediante (v|w )H= w∗
v (prodotto riga per colonna), ∀v, w ∈ Hn.
Esso `e naturalmente additivo rispetto a ciascun fattore, mentre alla sesquilinearit`a si sostituisce la
3.4. VARIET `A DI STIEFEL E DI GRASSMANN QUATERNIONICHE 77
Definizione 3.4.1. La variet`a di Stiefel Vm(Hn) consiste delle m-uple ortonor-mali di Hn:
(3.25) Vm(Hn)= {X ∈ Hn×m| X∗X= Im}.
Il gruppo delle trasformazioni H-lineari che preservano il prodotto scalare iperhermitiano `e il gruppo iperunitario Sp(n) :
(3.26) Sp(n)= {x∈ Hn×n|x∗x= In}.
Il gruppo Sp(n) `e un gruppo di Lie connesso e compatto, di dimensione reale n(2n+ 1), che agisce transitivamente sulla sfera S4n−1di Hn ' R4n. `E Sp(1) ' S3 ed, in generale, l’applicazione
(3.27) Sp(n) 3x→x· en∈ S4n−1
ci permette di identificare S4n−1allo spazio omogeneo Sp(n)/Sp(n − 1). I gruppi di omotopia delle sfere e dei gruppi iperunitari sono perci`o legati dalla successione esatta
(3.28)
· · · −−−−−−→ πh+1(S4n−1) −−−−−−→ πh(Sp(n − 1)) −−−−−−→ πh(Sp(n)) −−−−−−→ πh(S4n−1) → · · ·
I gruppi πh(S4n−1) sono banali per h < (4n − 1). In particolare, (3.29) πh(Sp(n)) ' πh(Sp(n − 1)) se h ≤4n − 3. Per m= 2, poich´e πh(S7)= 0 per 0 ≤ n ≤ 6, otteniamo che
πh(Sp(2)) ' πh(Sp(1)) ' πh(S3, e0) per h ≤5. Per ricorrenza, abbiamo quindi, se h ≤ 5 :
(3.30) πh(Sp(n)) ' πh(S3)= {0}, se h= 0, 1, 2, Z, se h= 3, Z2, se h = 4, 5.
Per ulteriori risultati sull’omotopia dei gruppi classici, vedi ad esempio [33]. La periodicit`a di Bott (vedi [9, 30, 58]) d`a, nel caso del gruppo iperunitario, (3.31) πh(Sp(n)) ' πh+8(Sp(n+ 4)), per h ≤ 4n + 1.
Proposizione 3.4.2. Vm(Hn) `e una variet`a analitica compatta e connessa per archi di dimensione reale(m · (4n − 2m+ 1)). `E (4n − 4m + 2)-connessa e il suo primo gruppo di omotopia non banale `e π4n−4m+3(Vm(Hn))= Z.
Dimostrazione. Compattezza e connessione seguono dalle analoghe propriet`a del gruppo Sp(n), che agisce transitivamente suVm(Hn). Per calcolare la dimensio-ne, osserviamo cheVm(Hn) ' Sp(n)/Sp(n−m) e quindi
dimR(Vm(Hn))= dimR(Sp(n)) − dimR(Sp(n−m))
= n(2n + 1) − (n−m)(2n−2m + 1) = m(4n − 2m + 1). Fissato un intero k con 1 ≤ k < m, l’applicazione
`e una fibrazione localmente banale con fibra tipicaVm−k(Hn−k). Otteniamo quindi una successione esatta di omotopia
(3.33)
· · · −−−−−−→ πh+1(Vk(Hn)) −−−−−−→ πh(Vm−k(Hn−k)) −−−−−−→ πh(Vm(Hn)) −−−−−−→ πh(Vk(Hn)) −−−−−−→ πh−1(Vm−k(Hn−k)) −−−−−−→ πh−1(Vm(Hn)) −−−−−−→ · · ·
Ragioniamo per ricorrenza su m ≥ 1. Per m= 1, V1(Hn)= S4n−1, e sappiamo che la sfera di dimensione (4n − 1) `e (4n − 2)-connessa e che π4n−1(S4n−1) = Z. Supponiamo ora che m > 1 e che, per ogni r con 1 ≤ r < m la variet`a di Stiefel Vr(Hn) sia (4n−4r+2)-connessa e π4n−4r+3(Vr(Hn))= Z. Utilizziamo la successione esatta (3.33) con k= 1. Poich´e V1(Hn)= S4n−1, abbiamo la successione esatta
· · · −−−−−−→ πh+1(S4n−1)
−−−−−−→ πh(Vm−1(Hn−1)) −−−−−−→ πh(Vm(Hn)) −−−−−−→ πh(S4n−1) → · · ·
da cui segue che
πh(Vm(Hn)) ' πh(Vm−1(Hn−1)) se h < 4n − 2.
Poich´e (4n − 4m+ 3) < (4n − 2) se m > 1, la tesi segue dall’ipotesi induttiva. SiaGrm(Hn) l’insieme degli m-piani quaternionici (a destra) di Hn. Una matrice (v1, . . . , vm) i cui vettori siano una base di `m∈Grm(Hn) `e determinata a meno della moltiplicazione a destra per una matrice invertibile di Hm×m. Se ci limitiamo a considerare basi ortonormali di `m, le matrici (v1, . . . , vm) delle basi ortonormali di `msono determinate a meno di moltiplicazione a destra per un elmento di Sp(m). Il gruppo Sp(m) opera, per moltiplicazione a destra, suVm(Hn). Abbiamo:
Lemma 3.4.3. L’applicazione
(3.34) Vm(Hn) 3 (v1, . . . , vm) −→ hv1, . . . , vmi ∈Grm(Hn)
`e surgettiva e definisce, per passaggio al quoziente, una bigezione traGrm(Hn) ed
il quozienteVm(Hn)/Sp(m).
Definizione 3.4.4. La variet`a di Grassmann Grm(Hn) consiste degli m-piani quaternionici di Hn, con la struttura di variet`a analitica compatta e connessa che rende (3.34) la mappa di proiezione di un fibrato Sp(m)-prinicipale.
La dimensione reale diGrm(Hn) `e quindi
dimR(Grm(Hn))= dimR(Vm(Hn)) − dimR(Sp(m))= 4m(n−m).
I gruppi di omotopia delle variet`a di Grassmann e di Stiefel quaternioniche sono legati dalla successione esatta di Serre:
(3.35)
· · · −−−−−→ πh(Sp(m)) −−−−−→ πh(Vm(Hn)) −−−−−→ πh(Grm(Hn)) −−−−−→ πh−1(Sp(m)) −−−−−→ πh−1(Vm(Hn)) −−−−−→ · · · Con una dimostrazione analoga a quella del Lemma 3.2.4 otteniamo
3.5. VARIET `A DI SOTTOSPAZI ISOTROPI 79
Lemma 3.4.5. Se 1 < 2m ≤ n, allora, per ogni intero h, le applicazioni πh(Sp(m)) → πh(Vm(Hn))
in(3.35) hanno immagine nulla.
Questo di d`a, per ogni intero h ≥ 1 e per 1 < 2m ≤ n, le successioni esatte corte
(3.36) 0 → πh(Vm(Hn)) −−−−−→ πh(Grm(Hn)) −−−−−→ πh−1(Sp(m)) → 0. Otteniamo perci`o il
Teorema 3.4.6. Sia ν = min{m, n−m}. Allora, per ogni 1 ≤ m < n (3.37) πh(Grm(Hn))= πh−1(Sp(ν)), ∀1 ≤ h ≤ 4n − 4ν+ 2
Dimostrazione. Se 2m ≤ n, la tesi segue dalla (3.36) e dal fatto che Vm(Hm) sia (4n − 4m+ 2)-connessa. Per completare la dimostrazione, `e sufficiente utilizzare l’omeomorfismo
(3.38) Grm(Hn) 3 `m→`⊥
m∈Grn−m(Hn),
dove `⊥m `e l’(n−m)-piano ortogonale a `m, rispetto ad un prodotto scalare
iperher-mitiano in Hn.
In particolare, πh(Grm(Hn)) = 0 per h = 0, 1, 2 e π3(Grm(Hn)) = Z per ogni 1 ≤ m < n.
3.5. Variet`a di sottospazi isotropi
Consideriamo su Rm+nuna forma bilineare simmetrica di segnatura (m, n). Pos-siamo supporre che m ≤ n e che, nella base canonica, la matrice associata alla forma sia la
Im,n= Im −In
! .
L’intero m `e l’indice di Witt della forma: ci`o significa che Rm+n contiene sotto-spazi totalmente isotropi (su cui cio`e la forma si restringe alla forma nulla) massi-mali di dimensione m. Questi formano un sottoinsieme chiuso della grassmannia-naGrm(Rm+n).
Proposizione 3.5.1. I sottospazi totalmente isotropi massimali rispetto ad una forma simmetrica di segnatura(m, n) su Rm+n, con m ≤ n, formano una sottova-riet`a analitica diGrm(Rm+n), diffeomorfa alla variet`a di Stiefel Vm(Rn).
Dimostrazione. Un vettore v w !
, con v ∈ Rm, w ∈ Rn, `e totalmente isotropo se e soltanto se kvkRm = kwkRn. Quindi un sottospazio `mdiGrm(Rm+n) totalmente isotropo definisce un’isometria L`m di Rmin Rn, cio`e un elemento diVm(Rn). In modo analogo, possiamo considerare forme hermitiane simmetriche di se-gnatura (m, n) su Cm+ned iperhermitiane simmetriche di segnatura (m, n) su Hm+n.
Proposizione 3.5.2. I sottospazi totalmente isotropi massimali rispetto ad una forma hermitiana simmetrica di segnatura(m, n) su Cm+n, con m ≤ n, formano una sottovariet`a analitica diGrm(Cm+n), diffeomorfa alla variet`a di Stiefel Vm(Cn).
I sottospazi totalmente isotropi massimali rispetto ad una forma iperhermitia-na simmetrica di segiperhermitia-natura(m, n) su Hm+n, con m ≤ n, formano una sottovariet`a analitica diGrm(Hm+n), diffeomorfa alla variet`a di Stiefel Vm(Hn).
3.6. Classificazione omotopica dei fibrati principali
Il Teorema 2.8.3 `e fondamentale per la classificazione dei fibrati principali la cui base B sia uno spazio cellulare di dimensione finita. Ricordiamo la nozione di fibrato universale introdotta da Milnor (vedi §2.8).
Definizione 3.6.1. Un fibrato G-principale ζ = (πζ:E(ζ) → B(ζ)) si dice m-universalese per ogni fibrato G-principale ξ= (πξ:E(ξ) → B(ξ)) la cui baseB(ξ) sia un complesso cellulare di dimensione minore o uguale ad m esiste, unica a meno di omotopia, un’applicazione f ∈C (B(ξ),B(ζ)) tale che f∗(ζ) sia equivalente a ξ.
Per i Teoremi 2.8.3 e 2.8.6 abbiamo:
Teorema 3.6.2. Ogni fibrato G-principale ζ il cui spazio totale E(ζ) sia
m-connesso4`e m-universale.
Costruiamo in questo paragrafo alcuni fibrati principali m-universali che ci permetteranno di classificare omotopicamente diversi fibrati vettoriali muniti di G-struttura.
3.6.1. Sottogruppi del gruppo ortogonale. Fissiamo due interi positivi m ed ne consideriamo O(m) ed O(n) come sottogruppi disgiunti di O(m+ n), ciascu-no contenuto nel commutatore dell’altro. Il quoziente E(ζ) = O(m + n)/O(n) `e la variet`a di Stiefel Vm(Rm+n) delle m-uple ortonormali di Rm+n. Fissiamo un sottogruppo chiuso G di O(m) e poniamo B(ζ) = O(m + n)/(G × O(n)). L’in-clusione {e} × O(n) ≤ G × O(n) definisce un’applicazione O(m+ n)-equivariante πζ: E(ζ) → B(ζ) ed una struttura di G-fibrato principale su ζ. Ricordiamo che la variet`a di StiefelVm(Rm+n) `e (n − 1)-connessa e
πn(Vm(Rm+n))= Z, se n `e pari, Z2, se n `e dispari. Definizione 3.6.3. Chiamiamo il fibrato ζ, con
(3.39)
E(ζ)= Vm(Rm+n)= O(m + n)/O(n), B(ζ)= O(m + n)/(G × O(n)),
πζ: O(m+ n)/O(n) −→ O(m + n)/(G × O(n))
l’n-fibrato principale ortogonale standard con gruppo strutturale G ≤ O(m). Teorema 3.6.4. Il fibrato (3.39) `e G-principale ed (n−1)-universale. 4Ricordiamo che uno spazio topologico E `e m-connesso se `e connesso per archi ed i suoi gruppi di omotopia πi(E) sono banali per 1 ≤ i ≤ m.
3.6. CLASSIFICAZIONE OMOTOPICA DEI FIBRATI PRINCIPALI 81
Osserviamo che, se G= O(m), allora B(ζ) = Grm(Rm+n) `e la variet`a di Grass-mann reale.
3.6.2. Sottogruppi del gruppo unitario. Siano m, n due interi positivi e con-sideriamo U(m) ed U(n) come sottogruppi disgiunti di U(m+ n) contenuti ciascuno nel commutatore dell’altro. Il quoziente E(ζ) = U(m + n)/U(n) `e la variet`a di StiefelVm(Cm+n). Ricordiamo che
πq(Vm(Cm+n))= 0, se 0 ≤ q < 2n, Z, se q= 2n.
Se G `e un sottogruppo chiuso di U(m), la proiezione naturale πζ : E(ζ) → B(ζ) su B(ζ)= U(m+n)/(G×U(n)) definita dall’inclusione {e}×U(n) ≤ G×U(n) definisce un fibrato G-principale. Definizione 3.6.5. Chiamiamo (3.40)
E(ζ)= Vm(Cm+n)= U(m + n)/U(n), B(ζ)= U(m + n)/(G × U(n)),
πζ: U(m+ n)/U(n) → U(m + n)/(G × U(n)),
l’n-fibrato principale unitario standard con gruppo strutturale G ≤ U(m).
Teorema 3.6.6. Il fibrato (3.40) `e G-principale (2n−1)-universale. Osserviamo che, se G= U(m), allora B(ζ) = Grm(Cm+n) `e la variet`a di Grass-mann complessa.
3.6.3. Sottogruppi del gruppo unitario simplettico. Il gruppo unitario sim-plettico, o iperunitario, Sp(n) `e il gruppo delle trasformazioni H-lineari a destra di Hnche ne lasciano invariato il prodotto scalare iperunitario. Si pu`o anche identifi-care al sottogruppo di U(2n) delle trasformazioni che lasciano invariante la forma alternata ω = dz1∧ dzn+1+ · · · + dz2n−1∧ dz2n. Dati interi positivi m, n, consi-deriamo Sp(m) ed Sp(n) come sottogruppi di Sp(m+ n), ciascuno contenuto nel commutatore dell’altro. Il quoziente E(ζ)= Sp(m + n)/Sp(n) `e la variet`a di Stiefel quaternionicaVm(Hm+n) delle m-uple ortonormali di Hn. Abbiamo
πh(Vm(Hm+n))= 0, se 0 ≤ h < 4n, Z, se h= 4n.
Se G `e un sottogruppo chiuso di Sp(m), allora (πζ : E(ζ) → B(ζ)), con B(ζ) = Sp(m+ n)/(G × Sp(n)), definita dall’inclusione {e} × Sp(n) ≤ G × Sp(n), `e un fibrato G-principale. Definizione 3.6.7. Chiamiamo (3.41) E(ζ)= Sp(m + n)/Sp(n) = Vm(Hm+n), B(ζ)= Sp(m + n)/(G × Sp(n)), πζ: Sp(m+ n)/Sp(n) → Sp(m + n)/(G × Sp(n))
Teorema 3.6.8. Il fibrato (3.41) `e G-principale (4n−1)-universale. Per G= Sp(m), la B(ζ) `e la grassmanniana quaternionica Grm(Hm+n).
3.6.4. Sottogruppi del gruppo lineare. Siano m ed n due interi positivi. Con-sideriamo GLm(R) ed SLn(R) come due sottogruppi disgiunti di SLm+n(R) che commutano tra loro. Le loro rappresentazioni in SLm+n(R) sono date rispettiva-mente da GLm(R) 3 x → x sgn(det x) In−1 ∈ SLm+n(R) ed SLn(R) 3 x → Im x ! ∈ SLm+n(R).
Per la decomposizione di Cartan, SLm+n(R)/SLn(R) `e omotopicamente equiva-lente al quoziente O(m+ n)/O(n), cio`e alla variet`a di Stiefel Vm(Rn+n), ed `e quindi (n−1)-connesso. Ne segue che, se G `e un sottogruppo chiuso di GLm(R), allora (3.42) SLm+n(R)/SLn(R) −→ SLm+n(R)/(G × SLn(R))
`e un fibrato G-principale (n−1)-universale.
Costruzioni analoghe ci permettono di ottenere fibrati G-principali n-universali per sottogruppi chiusi di GLm(C) e GLm(H).
3.7. Sottospazi Lagrangiani reali
Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione pari 2n. Una forma bilineare alternata non degenere ω su V ne definisce una struttura simplettica.
Definizione 3.7.1. Chiamiamo totalmente isotropo un sottospazio W di V per cui sia ω(w1, w2) = 0 per ogni w1, w2 ∈ W. Un sottospazio totalmente isotropo di dimensione massimale n si dice lagrangiano. Indichiamo conL(V), o LR(V), la grassmanniana dei sottospazi lagrangiani di V.
Spazi vettoriali simplettici reali della stessa dimensione sono simpletticamente isomorfi. Possiamo quindi limitarci a discutere un modello standard. Consideriamo R2n' Cne sia ω la parte immaginaria del prodotto scalare hermitiano di Cn :
ω(v, w )= Im(w∗
v), ∀v, w ∈ Cn.
Lo spazio vettoriale reale generato dai vettori di una base ortonormale (v1, . . . , vn) di Cn`e un sottospazio lagrangiano di R2n. Viceversa, ogni sottospazio lagrangiano contiene una base ortonormale rispetto al prodotto scalare hermitiano. Questo ci dice che il gruppo unitario U(n) opera transitivamente suL(R2n). Lo stabilizzatore di he1, . . . , eniR∈L(R2n) `e il gruppo ortogonale O(n). Otteniamo quindi
Proposizione 3.7.2. La variet`a L(R2n) dei sottospazi lagrangiani di R2n `e una variet`a analitica, connessa e compatta di dimensione reale n(n+ 1)/2, diffeomorfa allo spazio omogeneo U(n)/O(n).
3.8. SOTTOSPAZI LAGRANGIANI COMPLESSI 83
Dimostrazione. Connessione e compattezza sono conseguenze della connes-sione e compattezza del gruppo unitario U(n). La dimenconnes-sione diL(R2n) `e
dimR(L(R2n))= dimR(U(n)) − dimR(O(n))= n2− n(n − 1)/2= n(n + 1)/2. La descrizione diL(R2n) come spazio omogeneo, ne d`a una presentazione co-me base di un fibrato principale con spazio totale U(n) e gruppo strutturale O(n). I gruppi di omotopia della variet`a dei sottospazi lagrangiani sono legati a quelli dei gruppi unitario ed ortogonale dalla successione esatta
· · · −−−−−→ πh(O(n)) −−−−−→ πh(U(n)) −−−−−→ πh(L(R2n)) −−−−−→ −−−−−→ πh−1(O(n)) −−−−−→ πh−1(U(n)) −−−−−→ · · ·
che mette in relazione i gruppi di omotopia diL(R2n) con quelli del gruppo uni-tari e del gruppo ortogonale. In particolare, per calcolare il gruppo fondamentale, osserviamo che, poich´e U(n) edL(R2n) sono connessi ed O(n) ha due componenti connesse, abbiamo una successione esatta di omotopia
π1(O(n)) −−−−−→ π1(U(n)) −−−−−→ π1(L(R2n)) −−−−−→ Z2 −−−−−→ 0,
' Z2 ' Z
da cui ricaviamo che π1(L(R2n)) ' Z. Abbiamo ottenuto
Proposizione 3.7.3. La variet`a L(R2n) non `e semplicemente connessa, ed ha
gruppo fondamentale isomorfo a Z.
Descriviamo alcuni altri spazi omogenei del gruppo unitario.
Il quoziente L+(R2n) = U(n)/SO(n) si pu`o interpretare come lo spazio dei sottospazi lagrangiani orientati di R2ned `e un rivestimento a due fogli diL(R2n).
Una forma reale di Cn`e il sottospazio reale generato da una qualsiasi sua base. Ad una forma reale `= hv1, . . . , vniRpossiamo associare il numero complesso
ε(`) = det(v1, . . . , vn) | det(v1, . . . , vn)|
!2 ∈ S1.
La grassmanniana delle forme reali ` per cui ε(`) = 1 `e una variet`a omogenea M, omeomorfa al quoziente SU(n)/SO(n) e quindi compatta, connessa e semplice-mente connessa di dimensione (n2+ n − 2)/2.
3.8. Sottospazi Lagrangiani complessi
Uno spazio simplettico complesso `e uno spazio vettoriale complesso V di di-mensione pari su cui sia stata fissata una forma bilineare non degenere ω.
Definizione 3.8.1. Chiamiamo totalmente isotropo un sottospazio W di V per cui sia ω(w1, w2) = 0 per ogni w1, w2 ∈ W. Un sottospazio totalmente isotropo di dimensione massimale n si dice lagrangiano. Indichiamo conL(V), o con LC(V), la grassmanniana dei sottospazi lagrangiani di V.
Poich´e spazi simplettici complessi della stessa dimensione sono isomorfi, pos-siamo limitarci a considerare un caso modello.
Siano i, i, k le unit`a immaginarie standard dell’algebra H dei quaternioni ed identifichiamo C il sottospazio reale di H generato da 1 ed i. Possiamo considerare Hncome uno spazio vettoriale complesso per restrizione degli scalari. Il prodotto iperunitario di Hnsi potr`a scrivere allora nella forma
(v|w )H= w∗
v = hor(v, w)+j·ω(v, w), con hor(v, w), ω(v, w) ∈ C, ∀v, w ∈ Hn. Sia hor che ω sono additive rispetto a ciascun argomento. Se λ, µ ∈ C, abbiamo
(v · λ | w · µ)H= ¯µ · w∗
v · λ= ¯µ · (hor(v, w) + j · ω(v, w)) · λ = λ · ¯µ · hor(v, w) + j · λ · µ · ω(v, w)
perch´e ¯µ ·j = j · µ. Quindi, la hor `e una forma hermitiana simmetrica, mentre la ω `e bilineare ed antisimmetrica perch´e ω(v, v) = 0 per ogni v, in quanto (v|v)H `e reale. Si verifica facilmente che hor `e definita positiva ed ω non degenere: infatti hor(v, v)= kvk2ed ω(v, w · j )= hor(v, w).
Ragionando come nel caso reale, possiamo identificare gli n-piani Lagrangiani di C2n ' Hn agli n-piani complessi generati dalle basi ortonormali di Hn. Quindi il gruppo Sp(n) opera transitivamente suL(C2n). Lo stabilizzatore in Sp(n) dell’n-piano complesso he1, . . . , eniC generato dai vettori della base canonica `e il gruppo unitario U(n). QuindiL(C2n) ' Sp(n)/U(n) `e una variet`a connessa e compatta di dimensione n(2n+ 1) − n2= n(n + 1). Abbiamo perci`o
Proposizione 3.8.2. La grassmanniana L(C2n) dei sottospazi lagrangiani com-plessi di(C2n, ω) `e una variet`a compatta, connessa e semplicemente connessa, di dimensione reale n(n+ 1), Cω-diffeomorfa allo spazio omogeneo Sp(n)/U(n).
Osservazione 3.8.3. In effetti,
M `e una variet`a complessa compatta di dimensione n(n+ 1)/2. Per