Sia ξ = (P, π, M, G) un fibrato principale con gruppo strutturale G. Per la distribuzione verticale utilizziamo le nozioni e notazioni introdotte in §6.2.
Definizione 7.1.1. Una connessione principale su ξ `e il dato di una forma differenziale ω ∈ Ω1(P, g) (la sua forma di Cartan) che soddisfi le:
ω(X?)= X, per ogni X ∈ g, (1) R∗aω= Ada−1 ◦ ω, ∀a∈ G, cio`e (2) (R∗aω)(w)= ω(w·a))= Ada−1(ω(w)), ∀w∈ TP. (20)
Indicheremo spesso una connessione principale, che `e la coppia (ξ, ω) di un fibrato principale e di una forma di Cartan sul suo spazio totale, con l’unico simboloΓ.
La condizione (2) ci dice che ω `e una forma pseudotensoriale. Non `e tensoriale se g ha dimensione positiva.
Definizione 7.1.2. Chiamiamo
(7.1) HPB ker(ω) = {w∈ TP| ω(w)= 0}
la distribuzione orizzontale diΓ ed indichiamo con
(7.2) H (P) B ker(ω) = {w∈ X(P) | Xσ∈ HP, ∀σ ∈P} lo spazio dei campi orizzontali, cio`e delle sezioniC∞ di HP.
La distribuzione orizzontale `e caratterizzata dalle propriet`a: TσP= VσP⊕ HσP, ∀σ ∈P
(10)
(Ra)∗(HσP)= Hσ·aP, ∀σ ∈P, ∀a∈ G. (20)
Sia HPun sottofibrato vettoriale differenziabile di TPche verifichi le (10), (20), e prHe prVle proiezioni orizzontale e verticale corrispondenti alla decomposizio-ne (10): TP prV }}}}zzzzzz zz prH "" ""E E E E E E E E VP HP.
Si verifica immediatamente che la forma ω ∈ Ω1(P, g), definita da
(7.3) ω(w)= ωV(prV(w)), ∀w∈ TP
`e la forma di Cartan di una connessione principaleΓ su ξ ed abbiamo quindi la1: Proposizione 7.1.3. La ω ←→ HP = ker(ω) definisce una corrisponden-za biunivoca tra le connessioni principali Γ su ξ ed i sottofibrati HP diTP che
soddisfano le condizioni(10) e (20).
La caratterizzazione di una connessione principale mediante la sua distribuzio-ne orizzontale ci d`a facilmente:
Teorema 7.1.4 (di estensione). Sia ξ0 = (P0, π0, M, G0) un sottofibrato princi-pale differenziabile di ξ = (P, π, M, G), con la stessa base M e gruppo strutturale G0< G. Indichiamo con ı :P0,→Pl’inclusione. Per ogni connessione principale Γ0
su ξ0, con forma di Cartan ω0, vi `e un’unica connessione principaleΓ su ξ, la cui forma di Cartan ω soddisfi
(7.4) ω0 = ı∗ω.
Dimostrazione. Indichiamo con H0P0 il fibrato orizzontale della connessio-ne Γ0. Poich´e H0P0 `e invariante per le traslazioni a destra mediante elementi di G0, abbiamo Ra1H0σ1P = Ra2H0σ2P se σ1, σ2∈P0, a1,a2∈ G e σ1·a1= σ2·a2. L’applicazione
P0× G 3 (σ,a)→σ·a∈P
`e surgettiva. Per l’osservazione precedente, possiamo allora definire il fibrato orizzontale HPdella connessioneΓ ponendo
Hσ·aP= (Ra)∗(Hσ0P0), ∀σ ∈P0, ∀a∈ G.
Chiaramente HP `e univocamente determinato da H0P0, verifica le condizioni (10) e (20), e definisce quindi un’unica connessione principaleΓ su ξ, la cui forma di Cartan ω estende quella diΓ0
.
Osservazione 7.1.5. Viceversa, `e possibile restringere la connessione principa-leΓ su ξ ad una connessione principale Γ0 sul sottofibrato ξ0 se, e soltanto se, la restrizione a TP0della sua forma di Cartan ω `e a valori nell’algebra di Lie g0di G0. Esempio 7.1.6. Sul fibrato banale (M × G, prM, M, G) possiamo definire la con-nessione piattacanonica: `e quella che ha come forma di Cartan il pullback pr∗GωG della forma di Maurer-Cartan di G.
La distribuzione orizzontale `e in questo caso completamente integrabile ed ha come variet`a integrali le M × {a}, al variare diain G.
Teorema 7.1.7 (esistenza). Ogni fibrato principale differenziabile ammette una connessione principale.
Dimostrazione. Sia ξ = (P, π, M, G) un fibrato principale differenziabile e sia ωG∈Ω1(G, g) la forma di Maurer-Cartan del suo gruppo strutturale G. Fissiamo un atlante di trivializzazione {(Ui, σi)} di ξ. Per ogni i, la G-equivalenza traP|Ui ed il fibrato banale Ui × G → Ui ci permette di definire una forma di Cartan 1Vedi [24]. La definizione della connessione a partire dalla distribuzione orizzontale `e dovuta a Charles Ehresmann: Les connexions infinit´esimales dans un espace fibr´e diff´erentiable, Colloque de Toplogie, Bruxelles, (1950), pp. 29-55.
7.3. FORME DI CHRISTOFFEL ED EQUAZIONI DI GAUGE 133
ω0
i∈Ω1(P|Ui, g) suP|Ui. Fissata una partizioneC∞dell’unit`a {κi}, subordinata ad {Ui}, la ω= Piκiω0
i∈Ω1(P, g) `e la forma di Cartan di una connessione principale
su ξ.
7.2. Pullback di una connessione principale
Siano ξi = (Pi, πi, Mi, G), i=1, 2, due fibrati principali differenziabili con lo stesso gruppo strutturale G ed (F, f ) un morfismo G-equivariante di ξ1in ξ2(vedi §6.3). Si verifica facilmente la
Proposizione 7.2.1. Il pullback F∗(ω) della forma di Cartan di una connes-sione principale su ξ2 `e la forma di Cartan di una connessione principale su
ξ1.
Definizione 7.2.2. La Γ1si dice il pullback su ξ1della connessioneΓ2su ξ2. Dati un fibrato principale ξ= (P, πM, M, G), una variet`a differenziabile N ed una f ∈C∞(N, M), abbiamo indicato con f∗ξ il fibrato principale (Pf, πN, N, G) con spazio totale
Pf = {(q, σ) ∈ N×P| f (q)= πM(σ)}
e πNuguale alla restrizione aPf della proiezione prNdi N×Psul primo fattore. La proiezione prPsul secondo fattore definisce un rialzamento ˜f di f ad un morfismo di fibrati principali
˜
f :Pf 3 (q, σ) −→ ˜f(q, σ) = σ ∈P.
Proposizione 7.2.3. Se ω `e la forma di Cartan di una connessione principale Γ su ξ, allora la ˜f∗ω ∈Ω1(Pf, g) `e la forma di Cartan di una connessione principale
f∗Γ su f∗
ξ.
7.2.1. Automorfismi di una connessione principale. Sia ξ= (P, π, M, G) un fibrato principale differenziabile, su cui sia assegnata una connessione principale Γ, con forma di Cartan ω.
Definizione 7.2.4. Un automorfismo di Γ `e un automorfismo (F, f, idG) di ξ che preservi la connessione, tale cio`e che F∗(ω)= ω.
Gli automorfismi diΓ formano un gruppo, che denotiamo con Aut(Γ).
7.3. Forme di Christoffel ed equazioni di gauge
Sia ξ= (P, π, M, G) un fibrato principale differenziabile, su cui sia assegnata una connessione principaleΓ, con forma di Cartan ω.
Definizione 7.3.1. Data una trivializzazione locale (U, σU) di ξ, chiamiamo2 forma di Christoffel di Γ nel riferimento (U, σ) il pullback
(7.5) ωU= σ∗
U(ω) ∈ Ω1(U, g)
della forma di Cartan diΓ mediante la sezione di trivializzazione σU.
Lemma 7.3.2. Sia ΨU : U × G 3 (p,a) → σU(p)·a∈ π−1(U) la trivializzazione locale definita dalla sezione σU. Allora
(7.6) Ψ∗
U(ω)= Ada−1◦ ωU+a−1da.
Dimostrazione. Notiamo che T(U × G) = TU ⊕TG e che gli addendi a secondo membro della (7.6) sono due forme differenziali, la prima delle quali opera sui vettori di TU, la seconda su quelli di TG; dobbiamo cio`e verificare che
(Ψ∗
Uω)(v, X∗
a)= Ada−1◦ ωU(v)+ X, ∀v∈ TU, ∀X ∈ g, ∀a∈ G. LaΨ∗
U(ω) `e la forma di Cartan di una connessione G-principale sul fibrato banale (U × G, prU, U, G) e quindi si restringe alla forma di Maurer-Cartan ωG=a−1da
sui vettori verticali. Basta quindi verificare la (7.6) sui vettori di TU. Con le notazioni di §6.2, abbiamo, perp∈ U,v∈ TpM,a∈ G,
(Ψ∗
Uω)(v)= ω([dΨU](p,a)(v)= ω([dσU(v)] ·a)
= Ada−1◦ ω(dσU(v))= Ada−1◦ ωU(v). Le forme di Christoffel ci permettono di definire una connessione principale mediante una famiglia di forme differenziali a valori vettoriali sugli aperti di un atlante di trivializzazione di ξ.
Teorema 7.3.3. Siano A = {(Ui, σi)}i ∈ I un atlante di trivializzazione di ξ, con funzioni di transizione {ψi, j= σ−1
i σj∈C∞(Ui, j, G)}, e {ωi∈Ω1(Ui, g)}i ∈ Iuna fami-glia di forme differenziali, definite sugli aperti Ui dell’atlanteA , ed a valori in g. Allora:
(1) Vi `e al pi`u una connessione G-principale su ξ di cui le {ωi} siano le forme di Christoffel rispetto alle trivializzazioni locali dell’atlante A .
(2) Condizione necessaria e sufficiente affinch´e le {ωi} siano le forme di Christoffel di una connessione G-principale su ξ `e che verifichino le
ωj = Ad(ψ−1
i, j) ◦ ωi+ ψ−1
i, jdψi, j su Ui, j, (equazioni di gauge). (7.7)
Dimostrazione. L’unicit`a `e conseguenza della (7.6).
Abbiamo σj= σi· ψi, jsu Ui, j= Ui∩ Uj. Differenziando, otteniamo
dσj= (dσi) · ψi, j+ σi·dψi, j.
2Elwin Bruno Christoffel (10/11/1829, Montjoie, ora Monschau (villaggio tedesco vicino ad Aquisgrana e alla frontiera belga) - 15/3/1900 Strasburgo) matematico e fisico tedesco. Ha lavorato su applicazioni conformi, teoria del potenziale, teoria degli invarianti, analisi tensoriale, fisica mate-matica, geodesia e onde d’urto. Oltre ai simboli di Christoffel, sono note le applicazioni di Schwarz-Christoffel, mappe conformi dei poligoni semplici sul semipiano superiore. I suoi contributi alla geometria differenziale furono fondamentali per lo sviluppo della relativit`a generale.
7.4. SOLLEVAMENTO ORIZZONTALE DI CAMPI DI VETTORI 135
Poich´e3ωi = σ−1
i prVdσi, da questa ricaviamo l’equazione di gauge (7.7): ωj = σ−1
j prVdσj = (σi· ψi, j)−1prV{(dσi) · ψi, j+ σi·dψi, j} = ψ−1
i, jσ−1i prVdσi·ψi, j+ ψ−1 i, jdψi, j.
Per verificare che se valgono le le (7.7) allora le ωisono le forme di Christoffel di una connessione principale, consideriamo le mappe di trivializzazione
Ψi : Ui× G 3 (p,a) → σi(p) ·a∈ π−1(Ui). Per le (7.6) ˜ ωi = Ψ∗ i(ω)= Ada−1◦ ωi+a−1d a. (∗)
Basta verificare che le equazioni di gauge esprimono una condizione necessaria e sufficiente affinch´e, per le forme ˜ωidefinite dall’ultimo membro di (∗), risulti
(∗∗) [Ψ−1
i ]∗( ˜ωi)= [Ψ−1
j ]∗( ˜ωj) su π−1(Ui, j), dimodoch`e le {[Ψ−1
i ]∗( ˜ωi)} si rincollino e definiscano una forma di connessione ω suP. Su Ui, j× G `eΨj(p,a)= Ψi(p, ψi, j(p)·a) e quindiΨ−1 i ◦Ψj(p,a)=(p, ψi, j(p)·a) e [Ψ−1 i ◦Ψj]∗( ˜ωi)= Ad[ψi. j·a]−1◦ ωi+ (ψi, j·a)−1d(ψi, j·a) = Ada−1◦ Adψ−1 i, j ◦ ωi+ ψ−1 i, j(dψi, j)+a−1da = Ada−1◦ ωj+a−1da= ˜ωj.
Ci`o mostra che le (7.7) equivalgono alle (∗∗) e completa la dimostrazione. Osservazione 7.3.4. Identifichiamo T(Ui× G) al prodotto cartesiano TUi×TG. Il pullback su Ui× G della distribuzione orizzontale suP`e allora
(7.8) Ψ∗
i(Hσi(p)·aP)= {v− [ωα(v)]∗a |v∈ TpM}, ∀p∈ Ui, ∀a∈ G.
La forma di Christoffel misura quindi di quanto la distribuzione orizzontale definita dalla connessione differisca da quella banale della trivializzazione locale.
Il termine inglese gauge significa strumento di misura, calibro e difatti le forme di Christoffel ωimisurano lo spostamento dalla connessione banale.
7.4. Sollevamento orizzontale di campi di vettori
Fissiamo su ξ= (P, π, M, G) una connessione principale Γ, con forma di Car-tan ω. Il differenziale della proiezione π definisce, per ogni σ ∈P, un isomorfismo lineare
(7.9) HσP3 Xσ−→dπσ(Xσ) ∈ Tπ(σ)M. Il suo inverso
(7.10) horσ : Tπ(σ)M−→HσP
3Se σ ∈Ped X ∈ g, indichiamo con σ·X il valore del campo fondamentale X?in σ. La X → σ·X `e un isomorfismo lineare di g su VσPed indichiamo con σ−1: Vσ→ g la sua inversa. Nota che σ−1◦prV◦σ `e l’identit`a su g.
ci permette di definire un’applicazione
(7.11) hor: X(M) 3 X−→ ˜X ∈H (P), con X˜σ= horσ(Xπ(σ)), ∀σ ∈P. Definizione 7.4.1. Chiamiamo ˜X ∈ X(P) sollevamento orizzontale di X ∈ X(M). Proposizione 7.4.2. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e un campo di vettori ˜X ∈ X(P) sia il sollevamento orizzontale di un campo di vettori X ∈ X(M) `e che siano soddisfatte le due condizioni:
(I) ω( ˜X)= 0, (II) Ra∗( ˜X)= ˜X, ∀a∈ G. (7.12)
Il sollevamento orizzontale(7.11) `e un’applicazione R-lineare che soddisfa: hor( f X)= π∗ ( f )· ˜X, ∀ f ∈C∞ (M) , ∀X ∈ X(M), (a) dπ([ ˜X, ˜Y])) = [X, Y], ∀X, Y ∈ X(M) , (b) [A?, ˜X] = 0, ∀A ∈ g, ∀X ∈ X(M). (c)
Osservazione 7.4.3. Il commutatore del sollevamento orizzontale di due campi di vettori `e invariante rispetto alle traslazioni a destra, soddisfa cio`e la propriet`a (I) ma pu`o non essere orizzontale, non soddisfare cio`e la (i) di (7.12). Il sollevamen-to orizzontale del commutasollevamen-tore `e la componente orizzontale del commutasollevamen-tore dei sollevamenti orizzontali.
Osservazione 7.4.4. Se G `e connesso, allora il dato di un sollevamento oriz-zontale, cio`e di un’applicazione R-lineare hor : X(M) → X(P) che soddisfi le (a), (b), (c) `e equivalente al dato di una connessione principale su ξ. Infatti in questo caso, se definiamo in ogni σ ∈Pil sottospazio HσPcome lo spazio vettoriale degli
˜
Xσ al variare di X in X(M), la (c) garantisce che Hσ·aP= HσPper ogniain G. 7.5. Sollevamento orizzontale di cammini e trasporto parallelo Indichiamo con C1
tr(I, M) (rispettivamente C1
tr(I,P)) l’insieme delle curve di classeC1a tratti in M (rispettivamente inP) definiti su un intervallo I ⊆ R.
Utilizzeremo spesso la notazione p(t), s(t),a(t), per distingurle, esplicitan-done la dipendenza dal parametro t, da singoli punti della base, o elementi dello spazio totale, o del gruppo strutturale.
Definizione 7.5.1. Una curva s(t) inP, di classe C1a tratti, si dice orizzon-talese ˙s±(t) ∈ HPper ogni t. Indicheremo conC1
tr,hor(I,P) l’insieme dei cammini orizzontali inP, definiti sull’intervallo I ⊆ R.
Proposizione 7.5.2 (Sollevamento orizzontale di cammini).
SianoI ⊆ R un intervallo, p(t) ∈ Ctr1(I, M) un cammino di classeC1 a tratti in M, t0∈ I e σ0un elemento della fibraPp(t0)diPin p(t0). Vi `e allora inPun unico cammino orizzontale ˜pσ0(t) di classeC1a tratti tale che
(7.13) ˜pσ0(t0)= σ0, π ◦ ˜pσ0(t)= p(t), ∀t ∈ I.
7.5. SOLLEVAMENTO ORIZZONTALE DI CAMMINI E TRASPORTO PARALLELO 137
Dimostrazione. Possiamo limitarci a considerare il caso in cui p(t) ∈ C1(I, M). Poich´e ξ `e localmente banale, esiste senz’altro una curva s(t) ∈C1([0, 1],P) con
s(0)= σ0, π ◦s(t)= p(t), ∀t ∈ [0, 1]. Cerchiamo allora la ˜pσ0 nella forma
˜pσ0(t)= s(t)·a(t), con a(t) ∈C1(I, G), a(t0)=eG. Poich´e
d ˜pσ0(t)
dt = ˙s(t)·a(t)+ s(t)·˙a(t), la condizione che ˜pσ0 sia orizzontale si pu`o riscrivere mediante
0= ω d ˜pσ0(t) dt
!
= ω(˙s(t)a(t))+ ω(s(t)˙a(t))= ω(dRa(t)( ˙s(t)))+ ωG( ˙a(t)) = Ad[a(t)]−1 ◦ ω( ˙s(t))+a(t)−1a˙(t)=a(t)−1 ω(˙s(t)) ·a(t)+ ˙a(t). Laa(t) deve essere quindi soluzione del problema di Cauchy
˙ a(t)a−1(t)= −ω(˙s(t)), a(t0)= eG.
Per la Prop.29.4.10, questo problema ammette una ed una sola soluzione, e quindi
anche la (7.13) ha una ed una sola soluzione.
Definizione 7.5.3. L’unica soluzione ˜pσ0(t) ∈C1
tr,hor(I,P) di (7.13) si dice il sollevamento orizzontaledi p(t) a partire dal tempo t0e dal punto σ0.
Definizione 7.5.4. Sia p(t) ∈ C1
tr([0, 1], M) una curva ci classeC1a tratti in M. Chiamiamo trasporto parallelo lungo p(t) l’applicazione
(7.14) τp :Pp(0)3 σ −→ ˜pσ(1) ∈Pp(1).
Proposizione 7.5.5. Il trasporto parallelo gode delle seguenti propriet`a: (1) Per ogni p(t) ∈C1 tr([0, 1], M) la τp: Pp(0)→Pp(1) `e invertibile e4 τ−1p = τp−1, (7.15) τp(σ·a)= (τp(σ))·a, ∀σ ∈Pp(0), ∀a ∈ G. (7.16) (2) Se p, p1, p2∈C1 tr([0, 1], M) e p(t)= p1·p2, allora5 (7.17) τp = τp2 ◦ τp1.
4Indichiamo con p−1la curva p−1(t)= p(1 − t).
5Ricordiamo che p1·p2(t)= p1(2t) se 0 ≤ t ≤ 1 2, p2(2t − 1) se 1 2 ≤ t ≤ 1.
7.6. Il gruppo di olonomia
Notazione 7.6.1. Per ogni punto p∈ M indichiamo con L (p) lo spazio dei laccetti inp, di classeC1a tratti6. Ogni elemento γ diL (p) definisce un elemento [γ] di π1(M,p) (il gruppo fondamentale di M con punto basep). Denotiamo con L0(p) l’insieme dei γ diL (p) omotopi al laccetto costante, cio`e con [γ]=0.
Fissiamo una connessione principaleΓ su un fibrato principale ξ = (P, π, M, G). Il trasporto parallelo rispetto aΓ associa ad ogni laccetto γ ∈ L (p) un’applicazione
(7.18) τγ:Pp 3 σ −→ ˜γσ(1) ∈Pp.
diPpin s´e.
Lemma 7.6.2. Per ogni puntopdi M,
(7.19) Φ(p)= {τγ| γ ∈L (p)}
`e un gruppo di permutazioni diPp, di cui
(7.20) Φ0(p)= {τγ| γ ∈L0(p)}
`e un sottogruppo normale.
Definizione 7.6.3. Chiamiamo Φ(p) gruppo di olonomia ed il suo sottogruppo normaleΦ0(p) gruppo di olonomia ristretto della connessioneΓ nel puntopdi M.
Per ogni σ ∈Ppfissato, l’applicazione
(7.21) ρσ:Φ(p) 3 τγ−→ σ−1◦ τγ(σ) ∈ G `e un omomorfismo iniettivo di gruppi.
Definizione 7.6.4. I sottogruppi Φ(σ) = ρσ(Φ(p)) di G eΦ0(σ)= ρσ(Φ0(p)) si dicono rispettivamente gruppo di olonomia e di olonomia ristretto diΓ in σ ∈P.
Proposizione 7.6.5. Il gruppo di olonomia ristretto Φ0(σ) `e un sottogruppo
normale del gruppo di olonomiaΦ(σ).
Osservazione 7.6.6. La relazione “∼” in Pp che identifica due elementi se sono estremi di un cammino orizzontale di classe C1 tratti `e una relazione di equivalenza e
(7.22) Φ(σ) = {a∈ G | σ·a∼ σ}.
Proposizione 7.6.7. (1) Se σ ∈Pp,a∈ G, allora
(7.23) Φ(σ·a)= ada−1(Φ(σ)), Φ0(σ·a)= ada−1(Φ0(σ)).
(2) Se σ0, σ1∈P sono gli estremi di una curva orizzontale di classe C1 a tratti, allora
(7.24) Φ(σ1)= Φ(σ0), Φ0(σ1)= Φ0(σ0).
6Possiamo definire i gruppi di olonomia utilizzando laccetti di classeCka tratti, per k ≥ 1. Un teorema di Nomizu e Ozeki (vedi [57]) ci dice che diversi gradi di regolarit`a (1 ≤ k ≤ ∈ f ty) danno gli stessi gruppi di olonomia.
7.6. IL GRUPPO DI OLONOMIA 139
(3) In particolare, seP`e connesso, allora tutti i gruppi di olonomiaΦ(σ), al variare di σ inP, sono coniugati tra loro in G.
Dimostrazione. (1) Se σ appartiene alla fibra nel puntopdi M e γ ∈L (p), allora per ognia∈ G `e ˜γσ·a = ˜γσ·a e quindi otteniamo (7.23) perch´e
(σ·a)−1˜γσ·a(1)=a−1σ−1˜γ(1) ·a= ada−1(σ−1˜γσ(1)).
(2) Sia s(t) una curva orizzontale di classe C1 a tratti che congiunga σ0 a σ1ep(t)= π ◦ s(t) la sua proiezione su M. Per ognia∈Φ(σ0), possiamo trovare un laccetto γ ∈L (π(σ0)) tale che ˜γσ0(1)= σ0·a. La curva s(t) ·a `e orizzontale di estremi σ0·a, σ1·a. Quindi la curva (s·a) · ˜γσ0 · s−1 `e orizzontale, rialza il laccettop·γ·p−1∈L (π(σ1)) e congiunge tra loro σ1 e σ1·a. Questo dimostra che
a∈Φ(σ1). Quindi Φ(σ0) ⊆ Φ(σ1). Con analogo ragionamento abbiamo anche l’inlcusione opposta. Per completare la dimostrazione di (2), basta osservare che p · γ · p−1∈L0(π(σ1)) se γ ∈L0(π(σ0)).
La (3) `e conseguenza immediata delle (1) e (2).
Vale7il :
Teorema 7.6.8. Siano ξ = (P, π, M, G) un fibrato principale differenziabile con base connessa, su cui abbiamo fissato una connessione principaleΓ e σ0un punto diP. Allora:
(a) Φ0(σ0) `e un sottogruppo di Lie connesso di G.
(b) Φ0(σ0) `e un sottogruppo normale diΦ(σ0) ed il quozienteΦ(σ0)/Φ0(σ0) `e al pi`u numerabile.
(c) In particolare,Φ(σ0) `e un sottogruppo di Lie di G eΦ0(σ0) la sua com-ponente connessa dell’identit`a.
Dimostrazione. Siano γ ∈ L0(p) ed F : [0, 1] × [0, 1] → M un’omotopia di lac-cetti di classeC1a tratti di γ con il laccetto costante.
Allora [0, 1] 3 t → σ−10 τFt(σ0) `e un cammino continuo in Φ0(σ0) che con-giunge σ−10 τγ(σ0) con l’identit`a. Per il teorema di Freudenthal citato nella nota, ne segue cheΦ0(σ0) `e un sottogruppo di Lie di G.
La seconda affermazione segue dal fatto che Φ0(σ0) `e un sottogruppo normale ed abbiamo, conp0= π(σ0), un omomorfismo surgettivo
π1(M,p0) −→Φ(σ0)/Φ0(σ0).
7Per la dimostrazione di questo risultato, `e utile utilizzare il seguente teorema di Freudenthal ([27]): Un sottogruppo H connesso per archi di un gruppo di Lie G, in cui ogni coppia di punti si possa congiungere con un arco di classeC1a tratti, `e un sottogruppo di Lie di G.
Freudenthal dimostr`o il teorema nel caso di curve analitiche. Il risultato generale fu ottenuto da Yambabe in [65].
Hans Freudethal (1905-1990) fu un matematico tedesco, naturalizzato olandese, cui si devo-no importanti contributi alla topologia algebria. Si occup`o anche di letteratura, filosofia, storia e didattica della matematica.
Hidehiko Yamabe (1923-1960) fu un matematico giapponese. A lui si deve la scoperta che ogni classe conforme di metriche riemanniane su variet`a compatte ne contiene una di curvatura costante. A lui `e anche dovuta la soluzione definitiva del quinto problema di Hilbert: un gruppo topologico localmente euclideo `e un gruppo di Lie.
Poich´e M `e connesso e paracompatto, il suo gruppo fondamentale `e al pi`u
nume-rabile e da questa osservazione ricaviamo la tesi.
Dal Teorema 7.6.8 segue subito il
Teorema 7.6.9 (di riduzione). Sia ξ = (P, π, M, G) un fibrato principale diffe-renziabile e supponiamo che la base M sia connessa e paracompatta. SiaΓ una connessione principale su ξ. Fissiamo σ0∈Pe siaP(σ0) l’insieme dei punti diP
che possono essere congiunti a σ0da un cammino orizzontale. Allora:
(I) ξσ0= (P(σ0), π, M,Φ(σ0)) `e un sottofibrato principale differenziabile di ξ, con gruppo strutturaleΦ(σ0).
(II) La connessioneΓ su ξ si riduce ad una connessione Γ0su ξσ0. Definizione 7.6.10. Chiamiamo ξσ0 il fibrato d’olonomia per σ0eP(σ0) il suo spazio di olonomiaper σ0.
CAPITOLO VIII