Sia ξ= (P, π, M, G) un fibrato principale differenziabile su cui sia fissata una connessione principaleΓ, con forma di Cartan ω.
Ricordiamo (§7.1) cheΓ `e caratterizzata dalla decomposizione TP= HP⊕ VP
dei vettori tangenti diPnelle loro componenti orizzontale e verticale. Per sempli-cit`a di notazione scriveremo nel seguito ZHe ZVper prH(Z) e prV(Z).
Tutte le rappresentazioni lineari che considereremo in questo capitolo s’inten-dono essere di dimensione finita.
8.1. Differenziazione covariante
8.1.1. Differenziale covariante di forme tensoriali e pseudotensoriali. Da-ta una rappresenDa-tazione lineareVdi G, abbiamo costruito in §6.9 il fibrato vetto-riale ξV= (EV, πV, M,V) e considerato le forme differenziali su M con coefficienti in EVe le corrispondenti forme tensoriali e pseudotensoriali suP.
La forma di Cartan ω diΓ `e pseudotensoriale di tipo g per la rappresentazione aggiunta di G su g e non `e tensoriale se g , 0.
Definizione 8.1.1. Sia q un intero non negativo. Il differenziale esterno cova-riantedi una forma pseudotensoriale φ ∈ Ωρq(P,V) `e la (q+1)-forma tensoriale
(Dφ)(Z0, Z1, . . . , Zq)= (dφ)(Z0H, ZH 1, . . . , ZH q) ∀Z0, Z1, . . . , Zq∈ X(P). (8.1) Teorema 8.1.2. Se φ ∈ Ωρq(P,V), allora φ ◦prH∈Ωq ρ,0(P,V), dφ ∈Ωq+1 ρ (P,V), Dφ ∈Ωq+1 ρ,0 (P,V). Ad ogni rappresentazione lineare ρVdi G corrisponde una rappresentazione su
Vdella sua algebra di Lie g, che denotiamo con ρV∗, definita da (8.2) ρV∗(X)v = [dρV]e(X)(v)=d
dt
t=0ρV(exp(tX)(v), ∀X ∈ g, ∀v ∈V. Il fatto cheVsia una rappresentazione lineare di g significa che l’applicazione R-lineare ρV∗: g → glR(V) `e un omomorfismo di algebre di Lie: soddisfa cio`e
ρV∗([X, Y])= [ρV∗(X), ρV∗(Y)]= ρV∗(X) ◦ ρV∗(Y) − ρV∗(Y) ◦ ρV∗(X), ∀X, Y ∈ g. Ricordiamo la notazione introdotta nel §6.9 per il prodotto esterno: se φ ∈ Ωρq(P,V) `e pseudotensoriale il prodotto ω ∧ρφ `e la (q+1)-forma pseudotensoriale alternata a valori inV (8.3) (ω ∧ρφ)(X0, . . . , Xq)= q X h=0 (−1)hρV∗(ω(Xh)) (φ(X0, . . . ,Xbh, . . . , Xq)). 141
Notazione 8.1.3. Introduciamo la notazione
(8.4) ωV= ρV,∗(ω), ω ∧ρφ= ωV∧ φ se φ ∈ Ωqρ(P,V). Lemma 8.1.4. Se φ ∈ Ωρ,0q (P,V) `e una q-forma tensoriale, allora
(8.5) Dφ=dφ+ ωV∧φ.
Dimostrazione. Basta verificare che
(∗) (Dφ)(Z0, . . . , Zq)= (dφ)(Z0, . . . , Zq)+ (ωV∧ φ)(Z0, . . . , Zq)
quando ciascuno degli Zisia o un campo verticale fondamentale o il sollevamento di un campo di vettori su M. La formula `e banalmente vera quando tutti gli Zisiano orizzontali oppure almeno due di essi siano verticali.
Baster`a dunque dimostrare la (∗) nel caso in cui Z0= X?con X ∈ g e gli Zicon i>0 siano sollevamenti orizzontali, sia cio`e Zi= ˜xiconxi∈ X(M), per 1 ≤ i ≤ q.
Poich´e abbiamo supposto che φ fosse tensoriale, otteniamo dφ(X?, Z1, . . . , Zq)= X?φ(Z1, . . . , Zq)+Xq i=1(−1) i Zi·φ(X?, . . . ,bZi, . . .) | {z } =0 +Xq i=1(−1) iφ([X?, Zi] | {z } =0 , . . . ,bZi, . . .) +X 1≤i< j≤q(−1)i+ jφ([Z i, Zj], X?, . . . ,bZi, . . .bZj, . . .) | {z } =0 = X?φ(Z1, . . . , Zq)= (LX?φ)(Z1, . . . , Zq),
perch´e la derivata di Lie rispetto ad un campo fondamentale [X?, Zi]= [X?, ˜xi] del sollevamento orizzontale di un campoxidi X(M) `e nulla.
Poich´e X?`e il generatore infinitesimale di {Rexp(tX)}t ∈ R, `e L[X?]φ= d dt h R∗exp(tX)φi t=0= d dtρ(exp(−tX))φt=0= −ρV∗(X)φ. Poich´e φ `e tensoriale, otteniamo
(ω ∧ρφ)(X∗, Z1, . . . , Zq)= ρV∗(X)(φ(Z1, . . . , Zq)),
che, insieme alle precedenti, di d`a la (∗).
8.1.2. Differenziazione covariante di sezioni di fibrati vettoriali.
SianoVuna rappresentazione lineare di G e ξV = (EV, πV, M,V) il corrispon-dente fibrato vettoriale. Per definire la differenziazione covariante di forme su M a coefficienti in EV utilizziamo l’isomorfismo ΛV: φ ↔ ˜φ di Ωξq(M, EV) con lo spazio Ωqρ,0(P,V) delle forme tensoriali suPa valori inV(Prop.6.9.4), dato da (8.6) φ˜(Z1, . . . , Zq)= σ−1φ(π∗(Z1), . . . , π∗(Zq)), ∀σ ∈P, ∀Z1, . . . , Zq∈ TσP.
Definizione 8.1.5. La differenziazione covariante d∇ (o connessione lineare) su ξV, associata alla connessione principaleΓ su ξ, `e l’applicazione lineare (8.7) d∇: Ωξq(M, EV) Λ−1
V◦D◦ΛV
−−−−−−−−→Ωq+1
8.1. DIFFERENZIAZIONE COVARIANTE 143
Il differenziale esterno covariante `e definito dal diagramma commutativo Ωq ξ(M, EV) d ∇ −−−−−→ Ωq+1 ξ (M, EV) ΛV y yΛV Ωq ρ,0(P,V) −−−−−→D Ωq+1 ρ,0 (P,V).
Identifichiamo Ωξq(M, EV) con il prodotto tensorialeΓξ(M, EV) ⊗ Ωq(M). Proposizione 8.1.6. Valgono le formule:
d∇( f s)= s ⊗df+ fd∇s, ∀ f ∈C∞ (M), ∀s ∈Γξ(M, EV), d∇(s ⊗ ψ)= s ⊗dψ+d∇s ⊗ ψ, ∀s ∈Γξ(M, EV), ∀ψ ∈ Ωq(M) , d∇(φ ∧ ψ)= (d∇φ) ∧ ψ+ (−1)pφ ∧dψ, ∀φ ∈ Ωξp(M, EV), ∀ψ ∈ Ωq(M). Definizione 8.1.7 (derivata covariante). Se X ∈ X(M) ed s ∈ Γξ(M, EV), la se-zione d∇s(X) ∈Γξ(M, EV) si indica con ∇Xs e si dice derivata covariante di s rispetto ad X.
Il sollevamento ˜s di una sezione s di ξV(ricordiamo che ˜s(σ) = σ−1s(π(σ))) `e una funzione a valori inV, che quindi possiamo differenziare. Dalla definizione della differenziazione covariante, abbiamo
Lemma 8.1.8. Vale la formula
(8.8) ∇gXs= ˜X ˜s, ∀s ∈ Γξ(M, EV), ∀X ∈ X(M).
Osservazione 8.1.9. Gli elementi di Ωqξ(M, EV) sono sezioni di un fibrato vetto-riale differenziabile su M che non `e, in generale, associato ad una rappresentazione lineare di G. Di una forma di grado positivo possiamo quindi definire il di ffe-renziale, ma non la derivata covariante rispetto ad un campo di vettori. Come vedremo nel seguito, per definite la derivata covariante su Ωqξ(M, EV) occorrer`a in-trodurre una connessione affine su M, cio`e una connessione principale sul fibrato dei sistemi di riferimento.
Lemma 8.1.10. Siapun punto di M. Abbiamo: supp (d∇φ) ⊆ supp (φ), ∀φ ∈Ω∗
ξ(M, EV),
d∇φ1(p)=d∇φ2(p) se φ1= φ2in un intorno dip, supp (∇Xs) ⊆ supp (X) ∩ supp (s), ∀X ∈ X(M), ∀s ∈Γξ(M, EV),
(∇f1X1+ f2X2s= f1∇X1s+ f2∇X2s, ∀ f1, f2∈C∞ (M), ∀X1, X2∈ X(M), ∀s ∈Γξ(M, EV), ∇X( f ·s)= (X f )·s + f ·∇Xs, ∀ f ∈C∞ (M), ∀s ∈Γξ(M, EV), ∇X(s1+ s2)= ∇Xs1+ ∇Xs2, ∀X ∈ X(M), ∀s1, s2∈Γξ(M, EV), ∇Xs(p)= ∇Ys(p) se X, Y ∈ X(M) ed Xp= Yp, ∀s ∈Γξ(M, EV).
In particolare, se U `e un aperto di M, φ ∈ Ωqξ(U, EV), X ∈ X(U), s ∈Γξ(U, EV),
p∈ U,v ∈ TpM, possiamo definire senza ambiguit`a
d∇φ ∈Ωξq+1(U, EV), ∇Xs ∈Γξ(U, EV), ∇vs ∈ EVp.
8.2. Espressione locale del differenziale covariante
SiaA = {(Ui, σi) | α ∈ I} un atlante di trivializzazione di ξ. Una sezione s di Γξ(M, EV) si rappresenta in A come una collezione (si) di funzioni C∞ definite sugli aperti Uied a valori inV.
Le forme di Christoffel di §7.3 ci permettono di esprimere le trivializzazioni di ∇Xsper mezzo delle (si). Abbiamo infatti
(d∇s)i= σ∗ i(D˜s)= σ∗ i(d˜s+ ρV,∗(ω)· ˜s)=dsi+ ρV,∗(ωi)·si su Ui, Vale cio`e la (8.9) σ−1i (∇Xs)= Xsi+ ρV∗(ωi(X)) · si. Definizione 8.2.1. Le forme (8.10) γi= ρV∗◦ ωi∈Ω1(Ui, glR(V))
si dicono le forme di Christoffel della differenziazione covariante ∇ di ξV, nell’a-tlante di trivializzazioneA = {(Ui, σi) | α ∈ I}.
Abbiamo dimostrato la seguente:
Proposizione 8.2.2. La differenziazione covariante si esprime, per mezzo delle forme di Christoffel (8.10), mediante
(8.11) d∇(σif)= σi· (d f + γi( f )), ∀ f ∈C∞ (Ui,V).
Pi`u in generale, ogni φ ∈ Ωq(M,E) pu`o essere descritta da una famiglia di forme differenziali {φi∈Ωq(Ui,V)}, caratterizzate da
φ= σiφi su Ui. Definiamo γi∧ φi∈Ωq+1(U
i,V) ponendo, per ogni X0, . . . , Xq∈ X(Ui), (γi∧ φi)(X0, . . . , Xq)=Xq
j=0(−1)
jγi(Xj)(φi(X0, . . . ,Xbj, . . . , Xq)). (8.12)
Possiamo associare ad una ψ ∈ Ωq(Ui,V) la σiψ ∈Ωq(Ui,EV) definita da (σiψ)(X1, . . . , Xq)= σi(p) · ψ(X1, . . . , Xq) ∈ EVp, ∀X1, . . . X1∈ X(Ui). (8.13)
Per la Proposizione 8.1.6, otteniamo la formula:
8.3. FORMA DI CURVATURA ED EQUAZIONI DI STRUTTURA 145
8.3. Forma di curvatura ed equazioni di struttura
Sia ξ= (P, π, M, G) un fibrato principale differenziabile, su cui sia stata fissata una connessione principale Γ con forma di Cartan ω. Ricordiamo che ω `e una forma pseudotensoriale di tipo (Ad, g), con g= Lie(G).
Definizione 8.3.1. Chiamiamo forma di curvatura di Γ il differenziale esterno covariante della sua forma di Cartan, cio`e la 2-forma tensoriale di tipo (Ad, g):
(8.15) Ω =Dω ∈Ω2
Ad,0(P, g).
Il fatto cheΩ sia una 2-forma tensoriale di tipo (Ad, g) significa che valgono: R∗aΩ = Ad(a−1) ◦Ω, ∀a∈ G
(a)
Ω(Z1, Z2)= 0, se uno dei campi Z1, Z2 `e verticale. (b)
Teorema 8.3.2. La forma di curvatura soddisfa l’equazione di struttura1
(8.16) Ω =dω+ 1
2[ω ∧ ω]. Dimostrazione. Basta dimostrare che
(∗) Ω(Z1, Z2)=
dω+1
2[ω ∧ ω](Z1, Z2)
quando i campi Z1, Z2∈ X(P) siano o verticali fondamentali, o sollevamenti oriz-zontali di campi su M.
Distinguiamo i diversi casi.
Se Z1 = A?, Z2 = B?, con A, B ∈ g, sono entrambi fondamentali, alloraΩ(Z1, Z2)= 0 e la (∗) si riduce a
dω(A?, B?)= A?(B) − B?(A) − ω([A?, B?])= −[A, B] = −1
2[ω ∧ ω](A?, B?). Siano ora Z1 = A?, con A ∈ g, e Z2 = ˜X, con X ∈ X(M). Ancora, Ω(Z1, Z2) = Ω(A?, ˜X) = 0. Poich´e anche
[ω ∧ ω](A?, ˜X) = 0, in quanto ω( ˜X)= 0, la (∗) si riduce a
dω(A?, ˜X) = A?(0) − ˜X(A) − ω([A?, ˜X]) = −ω([A?, ˜X]) = 0.
Infatti, [A?, ˜X] = LA?( ˜X)= 0, perch´e ˜X `e invariante rispetto all’azione di G suP. Infine, nel caso in cui Z1= ˜X1, Z2 = ˜X2, con X1, X2∈ X(M), la (∗) si riduce ad [ω ∧ ω]( ˜X1, ˜X2)= 0 e Dω( ˜X1, ˜X2)=dω( ˜X1, ˜X2).
Osservazione 8.3.3. Poich´e
(8.17) Ω( ˜X1, ˜X2)= −ω([ ˜X1, ˜X2]), ∀X1, X2∈ X(M).
la forma di curvatura misura la non integrabilit`a formale della distribuzione oriz-zontale.
1Non possiamo utilizzare la (8.5) per il calcolo del differenziale esterno covariante di ω, perch´e ω`e pseudotensoriale, ma non tensoriale.
Teorema 8.3.4 (identit`a di Bianchi). La forma di curvatura Ω soddisfa l’identit`a differenziale di Bianchi
(8.18) DΩ = 0.
Dimostrazione. Poich´e Ω ∈ Ω2Ad,0(P, g) `e una 2-forma tensoriale di tipo (g, Ad), abbiamo per il Lemma 8.1.4 e per l’equazione di struttura :
DΩ =dΩ + [ω ∧ Ω] =d(dω+1 2[ω ∧ ω])+ [ω ∧ Ω] = 1 2([dω ∧ ω] − [ω ∧dω])+ [ω ∧dω]+ 1 2[ω ∧ [ω ∧ ω]] = 1 2[ω ∧ [ω ∧ ω]]= 0,
perch´e una 3-forma tensoriale che si annulli sui vettori orizzontali `e nulla. 8.4. Connessioni piatte
In questo paragrafo consideriamo il caso di connessioni principali con forma di curvatura nulla.
Definizione 8.4.1. Sia ξ = (M × G, prM, M, G) un fibrato principale banale ed indichiamo con prG : M × G → G la proiezione sulla seconda coordinata. Il pullback ω = pr∗
GωG della forma di Maurer-Cartan su G `e la forma di Cartan di una connessione principale su ξ, che si dice canonica.
Definizione 8.4.2. Chiamiamo piatta una connessione principale localmente isomorfa alla connessione canonica.
Teorema 8.4.3. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e una connessione principale sia piatta `e che la sua forma di curvatura sia identicamente nulla.
Dimostrazione. Infatti, la forma di curvatura `e nulla se e soltanto se la distri-buzione orizzontale `e formalmente e quindi completamente integrabile. Teorema 8.4.4. Sia ξ = (P, π, M, G) un fibrato principale con base M sempli-cemente connessa. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e ξ ammetta una connessione principale piatta `e che sia isomorfo al fibrato banale ed una connes-sione principale piatta su un fibrato a base semplicemente connessa `e isomorfa
alla connessione canonica.
Osservazione 8.4.5. In generale, se ξ ammette una connessione principale piat-ta, le foglie complete della sua distribuzione orizzontale sono tra loro diffeomorfe e sono rivestimenti della base M.
Esempio 8.4.6. Sia M = C\{0} ed identifichiamo la circonferenza S1con il grup-po moltiplicativo dei numeri complessi di modulo 1. Indichiamo con θ la lunghezza d’arcosu S1 e con x, y le parti reale ed immaginaria della variabile complessa z. Consideriamo il fibrato principale ξ= (M × S1, prM, M, S1). Ogni forma
ω=dθ+ φ(x, y)dx+ ψ(x, y)dy, con φ, ψ ∈ C∞
(M, R) e ∂ψ
∂x = ∂φ ∂y
8.6. FIBRATO DEGLI ENDOMORFISMI E RAPPRESENTAZIONE AGGIUNTA 147
definisce una connessione principale su ξ con curvatura nulla, che `e equivalente alla connessione canonica se e soltanto se la forma φ(x, y)dx+ψ(x, y)dy `e esatta. Ad esempio, ω=dθ+|z|−2(ydx − xdy) `e piatta ma non equivalente alla connessione canonica. Per altri esempi di connessioni piatte, si pu`o leggere l’articolo [40].
8.5. La famiglia delle connessioni principali
Se ω ed ω0sono le forme di Cartan di due connessioni principali su ξ, la loro differenza η = ω0−ω `e una uno-forma tensoriale di tipo (Ad, g) e quindi definisce una forma ϕ ∈ Ω1(M,Eg). Abbiamo quindi
Proposizione 8.5.1. Lo spazio delle connessioni principali su ξ `e uno spazio affine con spazio vettoriale associato Ω1
Ad,0(P, g) ' Ω1(M,Eg).
Osservazione 8.5.2. La forma di Christoffel ωi= σ∗
iωsi pu`o interpretare come l’elemento di Ω1(M,Eg) che corrisponde alla differenza tra Ψ∗
iωe la connessione piatta canonica su Ui× G.
8.6. Fibrato degli endomorfismi e rappresentazione aggiunta
Fibrato degli endomorfismi di un fibrato vettoriale. SiaVuno spazio vet-toriale di dimensione finita n su K (con K uguale o ad R, o a C o ad H). Ad un fibrato vettoriale η= (E, πη, M,V) possiamo associare il fibrato degli endomorfismi di η, che indicheremo conEndK(η). La sua fibra sopra il puntopdi M `e lo spazio vettoriale di tutti le applicazioni K-lineari diEpin s´e.
Il fibrato vettoriale End (η)= (End (E), πEnd (η), M, EndK(V)) `e il prodotto di Whitney η ⊗Mη∗su M del fibrato η e del suo fibrato duale η∗.
Sia L(η) il fibrato GLK(V)-principale dei suoi sistemi di riferimento. Allo-ra End (η) `e il fibrato vettoriale associato ad L(η) mediante la rappresentazione aggiunta di GLK(V) su glK(V).
Fibrato associato alla rappresentazione aggiunta. Fissato un fibrato princi-pale ξ= (P, π, M, G), sia ξg = (Eg, πg, M, g) il fibrato vettoriale corrispondente alla rappresentazione aggiunta di G sulla sua algebra di Lie g.
Proposizione 8.6.1. Sia (ρ,V) una rappresentazione lineare di G. Risulta al-lora definita un unico morfismo di fibrati vettoriali(idM, ˜ρ∗) : ξg →End (ξV), che renda commutativo il diagramma
P× g −−−−−−→idP×ρV∗ P× glR(V) y y Eg −−−−−→˜ρ∗ End (EV)
in cui le frecce verticali sono le proiezioni canoniche nel quoziente.
Dimostrazione. Basta osservare che ρV∗(Ada(A)) = Ad(ρ(a))ρV∗(A) e quindi l’applicazione idP× ρV∗ passa al quoziente, definendo un omomorfismo di fibrati
Alcune osservazioni sulle forme a valori vettoriali. Sia η= (E, πη, M,V) un fibrato vettoriale differenziabile. Se φ ∈ Ωp(M,End (E)) e ψ ∈ Ωq(M,E), `e naturale definire il prodotto esterno φ ∧ ψ ∈ Ωp+q(M,E) ponendo
(φ ∧ ψ)(X1, . . . , Xp+q)= X k ∈ Sp+q 1≤k1<···<kp≤p+q 1≤kp+1<···<kp+q≤p+q (k)φ(Xk1, . . . , Xkp)(ψ(Xkp+1, . . . , Xkp+q)), ∀X1, . . . , Xp+q∈ X(M).
Siano ξ= (P, π, M, G) un fibrato principale differenziabile, ξg il fibrato vet-toriale associato alla rappresentazione aggiunta del suo gruppo strutturale, ξV il fibrato vettoriale associato ad una sua rappresentazione lineare (ρ,V).
Se φ ∈ Ωp(M, Eg), allora ˜ρ∗φ ∈Ωp(M, EEnd (EV)) e, data ψ ∈ Ωq(M,EV), definia-mo
φ ∧ρψ= (˜ρ∗φ) ∧ ψ ∈ Ωp+q(M,E V).
Utilizzando l’isomorfismoΛg : Ω∗(M,Eg) → Ω∗Ad,0(P, g) della Prop.6.9.4 e la Prop.6.9.9 abbiamo il seguente
Lemma 8.6.2. Se φ ∈ Ωr(M,Eg) e ψ ∈ Ωs(M,EV), la forma φ ∧ρψ ∈Ωq+s(M,EV) verifica
(8.19) ΛV(φ ∧ρψ)= Λg(φ) ∧ρΛV(ψ).
Nel caso in cui φ, ψ ∈ Ω∗(M,Eg), scriveremo
[φ ∧ ψ] per indicare φ ∧Adψ.
Notazione 8.6.3. Se ψ ∈ Ωp(M,EV) e φ ∈ Ωq(M), indichiamo con ψ ∧ φ l’ele-mento di Ωp+q(M,E
V) definito da (8.20) (ψ ∧ φ)(X1, . . . , Xp+q)=X0
(−1)pε(k)φ(Xkp+1, . . . , Xkp+q)ψ(Xk1, . . . , Xkp), per ogni X1, . . . , Xp+q∈ X(M), ove la somma `e estesa a tutte le permutazioni k di {1, . . . , p+ q} con k1 < · · · < kpe kp+1< · · · < kp+q.
Osservazione 8.6.4. Se φ ∈ Ωp(M,Eg), ψ ∈ Ωq1(M,EV) e χ ∈ Ωq2(M), allora
(8.21) φ ∧ρ(ψ ∧ χ)= (φ ∧ρψ) ∧ χ.
Lemma 8.6.5. Ogni elemento di Ωp(M,EV) si pu`o scrivere come una somma localmente finita di forme s · φ con s ∈ΓξV(M,EV), φ ∈ Ωp(M). Le formule (8.20), (8.21) ed il Lemma 8.6.5 ci saranno utili per semplificare, pi`u avanti, il calcolo di alcune espressioni.
8.7. Tensore di curvatura
La forma di curvatura Ω di una connessione principale Γ su ξ = (P, π, M, G) `e di tipo tensoriale per la rappresentazione aggiunta di G e determina quindi un elemento R ∈ Ω2ξ(M,Eg) tale che σ ·Ω = π∗R, sia cio`e
8.7. TENSORE DI CURVATURA 149
Definizione 8.7.1. Chiamiamo la R ∈ Ω2ξ(M,Eg) definita dalla (8.22) il tensore di curvaturadiΓ.
Teorema 8.7.2. Siano {ωi} le forme di Christoffel di Γ in un atlante di trivia-lizzazioneA = {(Ui, σi) | α ∈ I} di ξ. Allora le espressioni locali2 Ri= σ∗
iΩ del tensore di curvatura verificano
(8.23) Ri =dωi+ 1
2[ωi∧ ωi], ∀i ∈ I.
Dimostrazione. La (8.23) `e diretta conseguenza delle equazioni di stuttura
(Teor.8.3.2).
Teorema 8.7.3. Sia (ρ,V) una rappresentazione lineare di G. Allora, per ogni φ ∈Ωq(M,EV) abbiamo
(8.24) (d∇)2φ=d∇d∇φ= R ∧ρφ.
Dimostrazione. Ses∈ΓξV(M,EV) ed α ∈ Ωq(M), abbiamo:
d∇d∇(s·α) =d∇((d∇s) ∧ α)+s dα) = (d∇d∇s) ∧ α−d∇s∧dα+d∇s∧dα = (d∇d∇s) ∧ α. Utilizzando il Lemma 8.6.5 possiamo limitarci quindi a dimostrare la formula nel caso in cui φ=s∈Ω0(M,EV)= ΓξV(M,EV). Abbiamo
D2s˜ =D(ds˜ + ω ∧ρs˜)=dω ∧ρs˜− ω ∧ρds˜ + ω ∧ρ(ds˜+ ω ∧ρs˜) =dω ∧ρs˜+ ω ∧ρ(ω ∧ρs˜).
Per completare la dimostrazione della (8.24) `e sufficiente osservare cheD2s˜ `e una due-forma tensoriale di tipo (ρ,V) e che l’uguaglianzaD2s˜ = Ω ∧ρs˜ `e verificata su
ogni coppia di campi di vettori orizzontali.
Corollario 8.7.4. Ses∈ΓξV(M,EV), abbiamo R(X, Y) ∧ρs= ∇X∇Ys− ∇Y∇Xs− ∇[X,Y]s, (8.25)
∀X, Y ∈ X(M), ∀s∈ΓξV(M,EV).
Dimostrazione. Siano X, Y ∈ X(M),s∈ΓξV(M,EV). Posto φ = d∇s, abbiamo ˜
φ( ˜Z)= ˜Z˜s= g∇Zsper ogni Z ∈ X(M) e quindi:
dφ( ˜˜ X, ˜Y) = ˜X ˜φ( ˜Y) − ˜Y ˜φ( ˜X) − ˜φ([ ˜X, ˜Y]) = ( ˜X ˜Y − ˜Y ˜X −[X, Y])˜g s,
= σ−1(∇X∇Ys− ∇Y∇Xs− ∇[X,Y]s) ◦ π.
Per il Teorema8.7.3 otteniamo la (8.25).
8.8. Trasporto parallelo di vettori
Fissiamo una connessione su un fibrato principale ξ. Utilizzando il solleva-mento orizzontale di cammini del §7.5 possiamo descrivere il trasporto paralle-lo, lungo cammini di classeC1
tr in M, dei vettori di fibrati vettoriali associati alle rappresentazioni lineari del suo gruppo strutturale G di ξ.
Siano γ ∈C1
tr([0, 1], M) e ˜γσ0∈C1
tr,hor([0, 1],P) il suo sollevamento orizzontale a partire da un elemento σ0∈Pγ(0). Se (ρ,V) `e una rappresentazione lineare di G e
v0∈ EV,γ(0), allorav0= σ−1
0 v0∈ V e ˜γσ0(t)v0 `e un sollevamento differenziabile di γ ad un cammino inC1
tr([0, 1],EV), con punto inizialev0.
Se σ00 `e un altro punto diPγ(0), `e σ00= σ0aper un elementoa∈ G ed il solleva-mento orizzontale di γ con punto iniziale σ00`e ˜γσ00(t)= ˜γσ0(t) ·a. Poich´e
v00 = σ0 0
−1
v0= (σ0a)−1v0= ρ(a−1)σ−10 v0= ρ(a−1)v0, otteniamo ˜γσ00(t)v00 = ˜γσ0(t) ·av00 = ˜γσ0(t)v0.
La curva ˜γv0(t)= ˜γσ0(t)v0 inEV `e quindi indipendente dalla scelta del punto ini-ziale σ0inPγ(0).
Definizione 8.8.1. La curva ˜γv0 = ˜γσ0(t)σ−10 v0∈C1
tr([0, 1],EV) si dice il tra-sporto parallelo div0lungo la curva γ.
Una curva v ∈C1([0, 1],EV) pu`o essere considerata come un campo di vettori lungo il cammino γ ∈C1([0, 1], M) definito dalla sua proiezione γ(t) = πV(v(t)). Se ˜γσ0∈C1([0, 1],P) `e il sollevamento orizzontale di γ di punto iniziale σ0∈Pγ(0), la composizionevσ0(t)= (˜γσ0(t))−1v(t) `e un camminovσ0∈C1([0, 1],V) e possia-mo quindi calcolarne la derivata ˙vσ0= d
dtvσ0. Sea∈ G e σ0
0 = σ0a, allora ˜γσ0 0(t) = ˜γσ0(t) ·a `e il sollevamento di γ con punto iniziale σ00. Quindi vσ0
0 `e a−1·vσ0 ed abbiamo perci`o
˜γσ0(t) ˙vσ0 = ˜γσ0 0v˙σ0
0.
Quindi ˜γσ0v˙σ0 `e un campo di vettori lungo γ, indipendente dalla scelta del punto iniziale σ0del sollevamento. Possiamo introdurre quindi la
Definizione 8.8.2. Siano v ∈ C1([0, 1],EV) un campo di vettori lungo una cur-va γ ∈C1([0, 1], M) e ˜γσ0 il sollevamento orizzontale di γ, a partire da un punto σ0∈Pγ(0). La
(8.26) Dv
dt = ˜γσ0(t) d[(˜γσ0)−1v(t)] dt
!
si dice derivata covariante di v lungo la curva γ. Se
(8.27) Dv
dt = 0
diciamo che il campo di vettori v `e parallelo lungo la curva γ.
Osservazione 8.8.3. Il campo di vettori v `e parallelo lungo la curva γ se e soltanto se v `e il trasporto parallelo lungo γ del vettore v(0).
8.9. DIFFERENZIAZIONE COVARIANTE SECONDO KOSZUL 151
Proposizione 8.8.4. Siano f ∈ ΓξV(M,EV) e γ ∈C1([0, 1], M). Allora
(8.28) D( f ◦ γ)
dt = ∇˙γ(t)f.
8.9. Differenziazione covariante secondo Koszul
Introduciamo in questo paragrafo la definizione astratta di differenziazione co-variante secondo Koszul(vedi [47]) sulle sezioni di un fibrato vettoriale differen-ziabile e mostriamo che essa equivale al dato di una connessione principale sul fibrato dei suoi sistemi di riferimento.
Sia η= (E, πη, M,V) un fibrato vettoriale reale differenziabile, di rango n, con fibra tipicaV, su una variet`a differenziabile M di dimensione m. Indichiamo con E (M,E) lo spazioΓη(M,E) delle sue sezioni differenziabili.
Definizione 8.9.1 (Koszul). Una derivazione covariante su η `e un’applicazione (8.29) ∇ : X(M) ×E (M,E) 3 (X,s) −→ ∇Xs∈E (M,E)
che gode delle propriet`a
(8.30) ∇f1X1+ f2X2s= f1∇X1s+ f2∇X2s, ∇X(s1+s2)= ∇Xs1+ ∇Xs2, ∇X( fs)= f ∇Xs+ X( f ) ·s, ove f , f1, f2∈C∞(M), X, X1, X2∈ X(M),s,s1,s2∈E (M,E).
Poich´e l’applicazione X → ∇Xs`eC∞(M)-lineare su X(M), possiamo conside-rare, per ognis∈E (M,E), la
(8.31) X(M) 3 X → d∇s(X)= ∇Xs∈E (M,E) come una 1-forma a valori inE. Definiamo cos`ı un’applicazione (8.32) d∇:E (M,E)= Ω0(M,E) −→ Ω1(M,E).
Definizione 8.9.2. L’applicazione (8.32) si dice differenziazione covariante. Abbiamo mostrato nel §8.1.2 come una connessione sul fibrato GLn (R)-prin-cipale L(η) dei sistemi di riferimento di η permetta di definire una differenziazione covariante su η. Viceversa, vale il
Teorema 8.9.3. Ogni differenziazione covariante su η `e associata ad una ed una sola connessione principale sul fibrato L(η) dei suoi sistemi di riferimento.
Dimostrazione. Ses∈E (M,E), denotiamo con ˜s∈C∞(L(η),V) il suo solleva-mento, definito da ˜s(σ)= σ−1s(π(σ)). Abbiamo
(8.33) Xσs˜ = −ωV(Xσ)˜s, ∀X ∈V (L(η)), ∀s∈E (M,E).
Infatti, se A= ωV(Xσ) ∈ glR(V), da ˜s(σ exp(tA))= exp(−tA)˜s(σ) ricaviamo Xσs˜ = dexp(−tA)σ−1s(π(σ)) dt t=0= −A·˜s(σ).
Perci`o, assegnata una connessione principale su L(η), la sua forma di Cartan ω `e legata alla derivazione covariante dall’identit`a
(8.34) Xσs˜ = σ−1(∇π∗Xσs) − ω(Xσ)˜s(σ), ∀X ∈ X(L(η)), ∀σ ∈P, ∀s∈E (M,E). Per concludere la dimostrazione `e quindi sufficiente verificare che, assegnata una derivazione covariante ∇ su η, la ω ∈ Ω1(L(η), glR(V)) definita dalla (8.34) `e la forma di Cartan di una connessione principale su L(η). Per la (8.33) `e ω(A?) = A per ogni A ∈ glR(V). Sea∈ GLR(V), σ ∈ L(η) ed X ∈ X(L(η)), abbiamo
[R∗aω(Xσ)]˜s(σ·a)= [R∗
aω(Xσ)]a−1s˜(σ)
= ω(Ra∗Xσ)˜s(σ·a)= (σ·a)−1(∇π∗(Ra∗Xσ)s) − Ra∗Xσs˜ =a−1σ−1(∇π∗Xs) − XσR∗as˜ =a−1 σ−1(∇π∗Xs) − Xσs˜
=a−1ω(Xσ)˜s(σ)= [a−1ω(Xσ)a]˜s(σ·a)= [Ad(a−1)ω(Xσ)]˜s(σ·a), da cui ricaviamo che R∗aω= Ad(a−1)ω. Ci`o completa la dimostrazione.
8.10. Il Teorema di Ambrose-Singer
Dopo aver introdotto il concetto di curvatura, ritorniamo sull’olonomia, defi-nita in §7.6. Il legame tra curvatura ed olonomia `e descritto dal seguente Teorema di Ambrose e Singer (vedi [2, 4]).
Teorema 8.10.1 (dell’olonomia). Siano ξ = (P, π, M, G) un fibrato principale differenziabile, con base M connessa e Γ una connessione principale su ξ, con forma di Cartan ω e di curvaturaΩ. Fissato un punto σ0 ∈P, l’algebra di Lie del gruppo d’olonomia ristrettaΦ0(σ0) `e il sottospazio vettoriale di g generato dagli elementi della formaΩσ(Z1, Z2), al variare di σ in3P(σ0) e di Z1, Z2 tra i vettori orizzontali in Hσ(P).
Dimostrazione. Sia p0 = π(σ0). Per il Teorema 7.6.9 possiamo supporre che
P=P(σ0) e che il gruppo stutturale G di ξ coincida col gruppo di olonomiaΦ(σ0). Sia a il sottospazio di g generato da tutti gli elementiΩσ( ˜X, ˜Y), al variare di X, Y in X(M) e di σ in P. Poich´e Ω `e tensoriale di tipo (Ad, g), abbiamo, per ogni X, Y ∈ X(M) ed A ∈ g,
a 3Ω(Rexp(tA)∗X, R˜ exp(tA)∗Y)˜ = R∗
exp(tA)Ω( ˜X, ˜Y) = Adexp(−tA)Ω( ˜X, ˜Y). Quindi la derivata in 0 rispetto a t dell’espressione a secondo membro, che `e uguale ad adA(Ω( ˜X, ˜Y)) = [A, Ω(X, Y)] appartiene ad a. Ci`o dimostra che a `e un ideale di g. Consideriamo la distribuzione vettorialeA (P) generata dai campi di vettori A?, al variare di A in a, e laB(P) = A (P)+ H (P), generata dalla distribuzione orizzontaleH (P) e daA (P). Per costruzione laB(P) `e una distribuzione di rango m+ dim(a). Dico che `e involutiva.
3Ricordiamo che P(σ0) `e l’insieme dei punti σ diPche possono essere congiunti a σ0 da un cammino orizzontale.
8.11. L’OLONOMIA INFINITESIMA 153
InfattiA (P) `e completamente integrabile, [A?, H (P)] ⊂H (P) per ogni A ∈ a, perch´e la distribuzione orizzontale `e invariante per le traslazioni a destra rispetto agli elementi di G ed, infine, se Z1, Z2 ∈H (P), la
prV([Z1, Z2]σ)= [ω([Z1, Z2])]?σ= −[Ω(Z1, Z2)]?σ
prova che [Z1, Z2] ∈ B(P). Poich´e abbiamo supposto che G coincida con il grup-po di olonomiaΦ(σ0), tutte le coppie di elementi di P sono estremi di cammini orizzontali. Ne segue cheP `e la variet`a integrale diB(P) passante per σ0 ed ha quindi rango uguale alla dimensione diP. Questo implica che a, avendo la stessa
dimensione di g, coincida con g.
Osservazione 8.10.2. Se ξ `e un fibrato principale differenziabile, con spazio totaleP connesso, su una base M di dimensione maggiore o uguale a due, allora esiste una connessione principale su ξ per cui siaP(σ0)=P. Questo `e stato dimo-strato da Hano e Ozeki in [41] nel caso dei gruppi lineari ed in completa generalit`a da Nomizu in [44]. In particolare, se dim(M) ≥ 2, ogni gruppo di Lie connesso G `e il gruppo di olonomia di una connessione principale sul fibrato banale M × G.
8.11. L’olonomia infinitesima
Se g `e un’algebra di Lie reale ePuna variet`a differenziabile, lo spazio C∞ (P, g) delle funzioni differenziabili suPa valori in g `e un’algebra di Lie col prodotto
[ f1, f2](σ)= [ f1(σ), f2(σ)], ∀ f1, f2∈C∞(P, g), ∀σ ∈P.
Supponiamo cheP sia lo spazio totale di un fibrato principale differenziabile ξ= (P, π, M, G) e g l’algebra di Lie del suo gruppo strutturale. Consideriamo la sottoalgebra
(8.35) G = Ω0
Ad,0(P, g) = { f ∈ C∞
(P, g) | R∗
af = Ad(a−1) f , ∀a ∈ G}. dei sollevamenti delle sezioni su M diEg.
Lemma 8.11.1. Valgono le Z f = −[ω(Z), f ], ∀Z ∈V (P), ∀ f ∈G , (8.36) ˜ X f ∈G , ∀X ∈ X(M), ∀ f ∈G . (8.37)
Dimostrazione. Se f ∈ Ω0Ad,0(P, g), `eDf =df+ [ω ∧ f ] =df+ [ω, f ]. Poich´e
Df `e tensoriale, otteniamo la (8.36). La (8.37) segue dal fatto che, se f ∈ G ed X ∈ X(M), allora f = ˜sper unas∈Γξg(M,Eg) ed ˜X f = g∇Xs.
Definiamo per ricorrenza
(8.38) K0= Ω( ˜X, ˜Y) | X, Y ∈ X(M) , Kp+1= Kp+ ˜XKp| X ∈ X(M) per p ≥ 0, K = Sp≥0Kp.
Dimostrazione. Indichiamo con R ∈ Ω2(M,Eg) il tensore di curvatura. Per ogni X, Y ∈ X(M), la f = Ω( ˜X, ˜Y) `e il rialzamento di R(X, Y) ∈ Γξg(M,Eg) e quindi un elemento diG . Per definizione ˜XK ⊂ K per ogni X ∈ X(M) e K ⊂ G per la (8.37).
Dimostriamo per ricorrenza su p che [Kp, K ] ⊆ K .
Siano X1, X2∈ X(M). Posto Y= [X1, X2], poich´e Ω( ˜X1, ˜X2)= −ω([ ˜X1, ˜X2]), e prH([ ˜X1, ˜X2])= ˜Y, otteniamo, per la (8.36),
[Ω( ˜X1, ˜X2), f ]= −[ ˜X1, ˜X2]Vf = [ ˜X1, ˜X2]H− [ ˜X1, ˜X2] f = ˜Y f − ˜X1X˜2f + ˜X2X˜1f ∈K , da cui segue che [K0, K ] ⊆ K .
Supponiamo ora che per un p>0 sia [Kp−1, K ]⊆K . Per dimostrare che [Kp, K ]⊆K , basta verificare che, se f0∈Kp−1, f ∈K ed X ∈ X(M), allora [ ˜X f0, f ] appartiene aK . Questo segue perch´e per l’ipotesi induttiva [ f0, f ] ∈ K e quindi
[ ˜X f0, f ] = ˜X[ f0, f ] − [ f0, ˜X f ] ∈ ˜XK + [ f0, K ] ⊂ K . La dimostrazione `e completa. Fissato σ0∈P, poniamo (8.39) mp(σ0)= { f (σ0) | f ∈Kp}, m(σ0)= { f (σ0) | f ∈K } = Sp≥0mp(σ0).
Proposizione 8.11.3. m(σ0) `e una sottoalgebra dell’algebra di Lie φ(σ0) del gruppo di olonomiaΦ(σ0).
Dimostrazione. Per la Proposizione 8.11.2 m(σ0) `e un’algebra di Lie e
l’in-clusione m(σ0) ⊆ φ(σ0) `e conseguenza del Teorema 8.10.1.
Definizione 8.11.4. L’algebra di Lie (8.39) si dice l’olonomia infinitesima della connessione Γ in σ0 ed il sottogruppo analitico di G generato da m(σ0) il suo gruppo di olonomia infinitesimain σ0.
Abbiamo
Proposizione 8.11.5. Se sia ξ che la connessione principale Γ su ξ sono anali-tici reali, allora i suoi gruppi di olonomia speciale ed infinitesima coincidono.
CAPITOLO IX