La nozione di fibrato principale generalizza il metodo del riferimento mobile introdotto per lo studio delle curve gobbe ed `e fondamentale nell’impostazione di Cartan del problema dell’equivalenza di strutture geometrico-differenziali.
6.1. Prime definizioni
Definizione 6.1.1. Siano ξ = (P, π, M) un fibrato differenziabile e G un gruppo di Lie. Un’azione differenziabile a destra di G su ξ `e una sua azione differenziabile a destra suPche operi sulle fibre di ξ. Richiediamo cio`e che
Pp·a=Pp, ∀p∈ M, ∀a∈ G, ovvero che π ◦ Ra= π, ∀a∈ G. (6.1)
In particolare, per ognia∈ G, la traslazione a destra RasuPdefinisce un’equiva-lenza di ξ in s´e.
Definizione 6.1.2. Un fibrato principale ξ = (P, π, M, G) `e il dato di un fibrato differenziabile (P, π, M), di un gruppo di Lie G, che si dir`a il suo gruppo struttura-le, e di un’azione differenziabile a destra di G su ξ che sia libera e transitiva sulle fibre di ξ. Richiediamo cio`e che oltre a (6.1) valga
∀p∈ M, ∀σ1, σ2∈Pp, ∃!a∈ G tale che σ2= σ1·a. (6.2)
Indicheremo con σ−11 σ2l’unico elementoa∈ G per cui σ2= σ1·a. Sia ξ= (P, π, M, G) un fibrato principale.
Per il teorema delle funzioni implicite, una sommersione differenziabile am-mette in ogni punto un’inversa destra locale. Poich´e un’inversa destra locale di π `e una sezione locale di ξ, abbiamo:
Lemma 6.1.3. Per ogni σ0 ∈ Pesiste un intorno aperto U dip0= π(σ0) in M
ed una sezione σ ∈Γξ(U,P) tale che σ(p0)= σ0.
Corollario 6.1.4. Ogni fibrato principale differenziabile `e localmente banale. Dimostrazione. Se U `e un aperto di M e σ ∈ Γξ(U,P) una sezione di ξ su U, l’applicazione U × G 3 (p,a) → σ(p) ·a∈ π−1(U) `e una trivializzazione di ξ su U.
La tesi segue quindi dal Lemma 6.1.3
Corollario 6.1.5. Un fibrato principale ξ = (P, π, M, G) `e banale se e soltanto
se ammette una sezione globale σ ∈Γξ(M,P).
Definizione 6.1.6. Un atlante di trivializzazione A = {(Ui, σi) | i ∈ I} di un fibrato principale ξ= (P, π, M, G) `e il dato di un ricoprimento aperto {Ui | i ∈ I} di Me, per ogni indice i ∈ I, di una sezione σi∈Γξ(Ui,P).
Alla coppia (Ui, σi) corrisponde la trivializzazione locale ˜σi: Ui× G 3 (p,a) −→ σi(p) ·a∈P|Ui= π−1(Ui). Per ogni coppia di indici i, j ∈ I, con Ui, j = Ui∩ Uj, ∅, la (6.3) ai, j: Ui, j3p−→ [σi(p)]−1σj(p) ∈ G.
`e una funzione diC∞(Ui, j, G). Le {ai, j | Ui, j , ∅} si dicono le funzioni di transi-zionedell’atlanteA .
Proposizione 6.1.7. Le funzioni di transizione {ai, j∈C∞(Ui, j, G) | Ui, j,∅} di un atlante di trivializzazioneA = {(Ui, σi)}i∈I di un fibrato principale ξ verificano le condizioni (6.4) ai,i(p)= e, ∀p∈ Ui,i= Ui, ai, jaj,k=ai,k su Ui, j,k= Ui∩ Uj∩ Uk. Teorema 6.1.8. Siano M una variet`a differenziabile, G un gruppo di Lie, {Ui} un ricoprimento aperto di M eΨ = {ai, j ∈C∞
(Ui, j, G) | Ui, j , ∅} una famiglia di funzioni che soddisfino le(6.4). Allora esiste un fibrato principale ξ= (P, π, M, G) su M, per cui leai, jsiano le funzioni di transizione di un atlante di trivializzazione corrispondente al ricoprimento {Ui}. Tale fibrato `e unico, a meno di equivalenze
che commutino con l’azione di G.
6.2. La distribuzione verticale All’azione di G suPassociamo le applicazioni
`σ : G 3a−→ σ ·a∈P, per ogni σ ∈P, (6.5)
Ra : P 3 σ −→ σ ·a∈P, per ognia∈ G. (6.6)
Indicando con Lala traslazione a sinistra in G, abbiamo `σ◦ La= `σ·a,
Ra◦`σ= `σ·a◦ ada−1. Definizione 6.2.1. Denotiamo con
(6.7) V (P)= {X ∈ X(P) |dπσ(Xσ)= 0, ∀σ ∈P} la distribuzione verticale suPe con
(6.8) VP=[
σ∈P{Xσ | X ∈V (P)}= ker(dπ) ⊂ TP
il corrispondente fibrato verticale.
LaV (P) `e totalmente integrabile, perch´e la proiezione sulla base π : P → M ne definisce una foliazione globale. In particolare, `e soddisfatta la condizione di integrabilit`a formale
6.2. LA DISTRIBUZIONE VERTICALE 119
Ogni X ∈ g definisce (vedi §29.9) un gruppo a un parametro
(6.10) P× R 3 (σ, t) → σ· exp(t·X) ∈P
di diffeomorfismi diP.
Definizione 6.2.2. Chiamiamo campo fondamentale associato ad X il genera-tore infinitesimale X?del flusso (6.10).
Osservazione 6.2.3. Se ξ `e il fibrato banale G → {p0}, allora il campo fonda-mentale X?coincide con il campo invariante a sinistra X∗su G.
Proposizione 6.2.4. Per ogni X ∈ g, il campo fondamentale X? `e verticale e (6.11) Xσ?= σ · X B [d`σ]e(X), ∀σ ∈P.
Abbiamo:
(1) ∀σ ∈P, [d`σ]e : g 3 X → Xσ?∈ VσP`e un isomorfismo lineare.
(2) La distribuzione V (P) `e il sotto-C∞(P)-modulo generato dai campi di vettori X?, al variare di X in g.
(3) LaP× g 3 (σ, X) → Xσ? ∈ VP `e un’equivalenza di fibrati vettoriali, che definisce una trivializzazione del fibrato verticaleVP.
(4) LaΛ : g 3 X → X?∈V (P) `e un monomorfismo di algebre di Lie. (5) Vale la formula
(6.12) dRa(X?)= [Ada−1(X)]?, ∀a∈ G, ∀X ∈ g.
Dimostrazione. (1). La t → σ · exp(t · X) `e la curva integrale di X?con punto iniziale σ. Poich´e l’azione di G sulla fibra `e libera, se X , 0, allora X?σ , 0 perch´e la curva non `e costante. Lad`σdefinisce quindi un’applicazione lineare iniettiva di g in VσP, che `e un isomorfismo lineare perch´e i due spazi hanno la stessa dimensione finita. Le (2) e (3) sono conseguenza immediata della (1).
(4). Per (1), Λ `e iniettiva. I campi X∗ su G ed X? su P sono `σ-correlati per ogni σ ∈P. Questo implica cheΛ `e anche un omomorfismo di algebre di Lie, completando la dimostrazione del punto (4).
La formula (6.12) si ottiene dalla
Ra(σ· exp(t·X))= σ · (exp(t·X)a)= σ·a· (a−1exp(t·X)a)= (σ·a) · exp(t·Ad(a−1)X), che dimostra come la traslazione Ra suP trasformi il flusso generato da X? nel
flusso generato da [Ad(a−1)X]?.
Per la (1) della Prop.6.2.4, per ogni σ ∈Prisulta definito un isomorfismo lineare VσP→ g, che fa corrispondere ad ogni vettore verticalevin VσPl’unico elemento Xdi g con X?σ = v. La
(6.13) ωV: VP→ g
cos`ı ottenuta `e di classeC∞e C∞(P)-lineare sulle fibre di VP: la ωV `e cio`e una forma differenziale sulla distribuzione verticale VP, a valori nell’algebra di Lie g.
Per la (6.12), la ωVsoddisfa
Per semplificare le notazioni, sar`a a volte conveniente scrivere Xσ·a invece che dRa(Xσ), per Xσ ∈ TP, a∈ G.
6.3. Morfismi di fibrati principali Siano ξi= (Pi, πi, Mi, Gi), i= 1, 2, due fibrati principali.
Definizione 6.3.1. Un morfismo di fibrati principali Φ : ξ1→ ξ2`e una tripletta (F, f , φ) in cui φ : G1→ G2sia un omomorfismo di gruppi di Lie e la coppia (F, f ) un morfismo (P1, π1, M1) → (P2, π2, M2) di fibrati differenziabili tali che
(6.15) F(σ·a)= F(σ)·φ(a), ∀σ ∈P1, ∀a1∈ G1.
Diciamo cheΦ `e un’immersione se F `e un’immersione. In questo caso φ `e un monomorfismo di gruppi.
Se G1 = G2 = G e φ `e l’identit`a, diciamo che Φ `e un morfismo di G-fibrati principali.
Se F `e un’inclusione, diciamo cheΦ `e un’inclusione di fibrati principali. Se inoltre M1 = M2ed f = idM, chiamiamo ξ1un sottofibrato principale di ξ2, o che `e stato ottenuto da ξ2mediante una riduzione del gruppo strutturale, ovvero che ξ2 `e stato ottenuto da ξ1mediante un’estensione del gruppo strutturale.
Proposizione 6.3.2. Siano ξ = (P, π, M, G) un fibrato principale ed H < G un sottogruppo di Lie del suo gruppo strutturale. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e ξ ammetta una riduzione ad H del suo gruppo strutturale `e che ammetta un atlante di trivializzazione con funzioni di transizione a valori in H. Lemma 6.3.3. Il pullback di un fibrato G-principale ha un’unica struttura di fibrato G-principale che renda l’applicazione naturale associata un morfismo di
fibrati G-principali.
I morfismi di fibrati G-principali che inducano l’identit`a sul gruppo struttu-rale sono completamente determinati, modulo G-equivalenza, dalle applicazioni indotte tra le basi:
Proposizione 6.3.4. Siano ξi= (Pi, πi, Mi, G) (i = 1, 2) due fibrati G-prinicipali. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e esista un morfismo di G-fibrati princi-pali della forma(F, f , idG) `e che ξ1sia equivalente ad f∗(ξ2). Proposizione 6.3.5. Siano M, N due variet`a differenziabili, e ξ = (P, π, N, G) un fibrato principale su N. Abbiamo:
(1) Se f0, f1∈C∞(M, N) sono omotope, allora f0∗(ξ) ed f1∗(ξ) sono equivalenti. (2) Se M `e contrattile, ogni G-fibrato principale di base M `e banale.
Dimostrazione. (1) Sia ˜f= { ft} ∈ C∞
(M × R, N) un’omotopia tra f0 ed f1 e consideriamo il fibrato G-principale ˜f∗(ξ). L’equivalenza si ottiene utilizzando l’esistenza di una G-connessione principale sul fibrato ˜f∗(ξ) ed il corrispondente trasporto parallelo1lungo le curve t → (p, t) in M × R (vedi §7.5).
1Per un argomento topologico, che non faccia uso della struttura differenziabile e dell’esistenza di connessioni principali, si veda il Teorema2.7.2.
6.4. CLASSIFICAZIONE DEI FIBRATI PRINCIPALI 121
(2) Sia ξ= (P, π, M, G) un fibrato principale. Supponiamo che M sia contrattile e sia ˜f= { ft} ∈C∞
(M×R, M) un’omotopia con f1= idMed f0costante. Per il punto (1), ξ = f∗
1(ξ) ed f0∗(ξ), che `e un fibrato banale, sono equivalenti. 6.4. Classificazione dei fibrati principali
La Proposizione6.3.5 `e fondamentale per la classificazione dei fibrati principali con base M. John Milnor ([54, 55] ha introdotto la nozione di fibrato universale.
Definizione 6.4.1. Un fibrato G-principale ζ = (Q, $, B, G) si dice m-universale se per ogni fibrato principale ξ= (P, π, M, G) con gruppo strutturale G e base M di dimensione minore o uguale ad m esiste un’applicazione f ∈C∞(M, B), unica a meno di omotopia, tale che f∗(ζ) sia equivalente a ξ.
Utilizzando i risultati di §2.8 e quelli relativi all’approssimazioneC∞ dell’o-motopia, ricaviamo dal Teorema2.8.6 l’enunciato
Teorema 6.4.2. Ogni fibrato ζ = (Q, $, B, G) il cui spazio totale Q sia m-connesso2`e m-universale.
6.4.1. Alcuni esempi. Costruiamo in questo paragrafo alcuni fibrati principali m-universali rispetto ad alcuni gruppi classici.
Sottogruppi del gruppo ortogonale. Fissiamo due interi positivi m ed n e consideriamo SO(m) ed SO(n) come sottogruppi disgiunti di SO(m+ n), ciascuno contenuto nel centralizzatore3dell’altro. Il quozienteQ= SO(m+n)/SO(n) si pu`o identificare alla variet`a di StiefelVn+m,m(R) delle m-uple ortonormali di Rm+n. Fis-siamo un sottogruppo chiuso G di SO(m) e poniamo N= SO(m+n)/(G × SO(n)). L’inclusione {e} × SO(n) < G × SO(n) definisce un’applicazione SO(m+n)-equiva-riante $ :Q→ N che definisce un G-fibrato principale ζ= (Q, $, N, G). Ricordia-mo che la variet`a di StiefelVm+n,m(R) delle m-uple ortonormali di Rm+n `e (n−1)-connessa e che πn(Vm+n,m(R)) = Z se n `e pari, Z2 se n `e dispari.
Definizione 6.4.3. Il fibrato principale ζ = (Vm+n,m(R), $, N, G) con (6.16) Vm+n,m(R) = SO(m+n)/SO(n) −−−−−→ N B SO(m+n)/(G × SO(n))$ si dice l’n-fibrato principale ortogonale standard con gruppo strutturale G conte-nuto in SO(m). `E un fibrato G prinicpale (n−1)-universale.
2Ricordiamo che uno spazio topologico E `e m-connesso se `e connesso per archi ed i suoi gruppi di omotopia πi(E) sono banali per 1 ≤ i ≤ m.
3Ricordiamo che il centralizzatore di un sottoinsieme S di un gruppo G `e il sottogruppo formato dagli elementi di G che commutano con tutti gli elementi di S .
Sottogruppi del gruppo speciale unitario. Siano m, n due interi positivi e consideriamo SU(m) ed SU(n) come sottogruppi disgiunti di SU(m+n) contenu-ti ciascuno nel centralizzatore dell’altro. Il quoziente Q= SU(m+n)/SU(n) `e la variet`a di StiefelVm+n,n(C), per cui sappiamo che
πq(Vm+n,n(C)) = 0 se 0 ≤ q < 2n, Z se q= 2n.
Se G `e un sottogruppo chiuso di SU(m), la proiezione naturale $ :Q→ N B SU(m+n)/(G × SU(n))
definita dall’inclusione {e} × SU(n) < G × SU(n) definisce un G-fibrato principale. Definizione 6.4.4. Il fibrato principale ζ = (Vm+n,m(C), $, N, G) con
(6.17) Vm+n,m(C) = SU(m+n)/SU(n) −−−−−→ N B SU(m+n)/(G × SU(n))$ si dice l’ n-fibrato principale unitario standard con gruppo strutturale G contenuto in SU(m). `E un fibrato G-principale (2n−1)-universale.
Sottogruppi del gruppo unitario simplettico. Ricordiamo che il gruppo uni-tario simplettico Sp(n) `e il sottogruppo delle trasformazioni di U(2n) che lasciano invariante la forma alternata ω= dz1 ∧ dzn+1+ · · · + dz2n−1∧ dz2n. Siano m, n interi positivi e consideriamo Sp(m) ed Sp(n) come sottogruppi di Sp(m+n), cia-scuno contenuto nel centralizzatore dell’altro. Il quozienteQ= Sp(m+n)/Sp(n) `e la variet`a di Stiefel quaternionica Vm+n,m(H) delle m-uple ortonormali rispetto al prodotto scalare quaternionico standard di Hn. Abbiamo
πq(Vm+n,m(H)) = 0 se 0 ≤ q < 4n, Z se q= 4n. Se G `e un sottogruppo chiuso di Sp(m), la proiezione naturale
$ :Q→ N B Sp(m+n)/(G × Sp(n))
definita dall’inclusione {e}×Sp(n) < G×Sp(n) definisce un G-fibrato principale. Definizione 6.4.5. Il fibrato principale ζ = (Vm+n,m(H), $, N, G) con
(6.18) Vm+n,m(H) = Sp(m+n)/Sp(n) −−−−−→ N B Sp(m+n)/(G × Sp(n))$ si dice l’n-fibrato principale quaternionico standard con gruppo strutturale G contenuto in Sp(m). `E un fibrato G-principale (4n−1)-universale.
Sottogruppi del gruppo lineare. Siano m ed n interi positivi. Consideriamo GLm(R) ed SLn(R) come due sottogruppi disgiunti di SLm+n(R) contenuti ciascu-no nel centralizzatore dell’altro. Le loro rappresentazioni in SLm+n(R) sono date rispettivamente da GLm(R) 3a→ a (det(a))−1 In−1 ∈ SLm+n(R) e
6.5. IL FIBRATO DEI SISTEMI DI RIFERIMENTO 123
SLn(R) 3b→ Im
b
!
∈ SLm+n(R).
Per la decomposizione di Cartan, SLm+n(R)/SLn(R) `e omotopicamente equi-valente al quoziente SO(m+n)/SO(n) ed `e quindi (n−1)-connesso. Ne segue che, se G `e un sottogruppo chiuso di GLm(R), allora la proiezione naturale
(6.19) SLm+n(R)/SLn(R) −→ SLm+n(R)/(G × SLn(R)) definisce `e un fibrato G-principale (n−1)-universale.
Costruzioni analoghe ci permettono di ottenere fibrati G-principali k-universali per sottogruppi chiusi di GLm(C) e GLm(H).
6.5. Il fibrato dei sistemi di riferimento
Siano K ∈ {R, C, H} eV uno spazio vettoriale (a destra) di dimensione finita nsu K. Se ηV= (EV, πV, M,V) `e un fibrato vettoriale con fibra tipicaV, le funzio-ni di transizione di un suo atlante di trivializzazione A = {Ui, σi)} sono a valori nel gruppo GLK(V) e determinano quindi (Teor.6.1.8), a meno di equivalenza, un unico fibrato principale L(ηV)= (L(ηV), π, M, GLK(V)). Il suo spazio totale si pu`o rappresentare come l’unione disgiunta delle fibre
Lp(ηV)= {isomorfismi K-lineari σ :V→ (EV)p}.
Il gruppo lineare GLK(V) agisce su L(ηV) per composizione a destra in modo libero e transitivo.
Definizione 6.5.1. Il fibrato principale L(ηV)= (L(ηV), π, M, GLK(V)), con grup-po strutturale GLK(V), si dice dei sistemi di riferimento di ηV.
Il diagramma commutativo L(ηV) ×V −−−−−−−−→ E(σ,v)−→σ·v V prL(ηV) y y πV L(ηV) −−−−−→π M,
ci mostra che il pullback di ηVallo spazio totale L(ηV) del fibrato dei suoi sistemi di riferimento `e un fibrato vettoriale banale.
Viceversa, vale la
Teorema 6.5.2. Ad ogni fibrato GLK(V)-principale ξ= (P, π, M, GLK(V)), pos-siamo associare un fibrato vettoriale ηV= (EV, πV, M,V) con fibra tipicaV, unico a meno di equivalenza, di cui ξ sia il fibrato dei sistemi di riferimento.
La η ←→ L(η) `e una corrispondenza biunivoca tra la categoria dei fibrati vet-toriali su M, con fibra tipicaV, modulo equivalenza, e quella dei fibrati principali
su M con gruppo strutturale GLK(V), modulo equivalenza.
Ricordiamo che il fibrato tangente di una variet`a differenziabile M di dimen-sione m `e un fibrato vettoriale con fibra tipica Rm.
Definizione 6.5.3. Chiamiamo fibrato dei sistemi di riferimento su M il fibrato L(M) = (L(M), π, M, GLm(R)) dei sistemi di riferimento del suo fibrato tangente.
Osservazione 6.5.4. Se f ∈ C∞(M1, M2) `e un diffeomorfismo di variet`a diffe-renziabili, allora la
L(M1) 3 σ −→dfπ(σ)◦σ ∈ L(M2)
definisce un isomorfismo tra i fibrati GLm(R)-principali L(M1) ed L(M2). 6.6. Fibrati vettoriali associati a rappresentazioni lineari
Possiamo generalizzare la costruzione del Teorema 6.5.2 al caso di una qual-siasi rappresentazione lineare del gruppo strutturale di un fibrato principale.
Siano ξ= (P, π, M, G) un fibrato principale su M e V una rappresentazione lineare di dimensione finita di G.
Proposizione 6.6.1. Il quozienteEVdiP×Vrispetto alla relazione d’equiva-lenza
(∗) (σ, v) ∼ (σ·a, a−1·v), ∀σ ∈P, ∀v ∈V, ∀a∈ G
`e lo spazio totale di un fibrato vettoriale ξV= (EV, πV, M,V). La proiezione nel quoziente$ :P×V→ EVdefinisce un morfismo di fibrati vettoriali con fibra tipica
Vche rende commutativo il diagramma
(6.20) P×V −−−−−→ E$ V prP y y πV P −−−−−→ M.π
Nel seguito scriveremo per semplicit`a σ·v per indicare la classe di (σ, v) in EV. Sev= σ·v, il vettore v diV `e univocamente determinato dave σ. Lo indicheremo conv= σ−1·v.
Definizione 6.6.2. Chiamiamo ξV= (EV, πV, M,V) il fibrato vettoriale associa-toalla rappresentazione lineareVdel gruppo strutturale di ξ.
Definizione 6.6.3. Chiamiamo le sezioni differenziabili del fibrato vettoriale ξVquantit`a di tipoV.
Indicheremo per semplicit`a con Γξ(M, EV), invece cheΓξV(M, EV), lo spazio vettoriale delle sezioni C∞ di EV. Una sezione s di ξV si rialza alla funzione a valori vettoriali ˜s∈C∞(P, V), definita da
(6.21) s˜(σ)= σ−1·s(π(σ)).
Definizione 6.6.4. Chiamiamo la ˜sil sollevamento suPdella seziones. Proposizione 6.6.5. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e una funzione a valori vettoriali f ∈C∞(P, V) sia il sollevamento di una sezione di ξV `e che
(6.22) f(σ ·a)=a−1· f (σ), ∀σ ∈P, ∀a∈ G.
Notazione 6.6.6. Indichiamo con Eρ(P, V) lo spazio delle f ∈ C∞(P, V) che soddisfano la (6.22).
6.7. RIDUZIONE DEL GRUPPO STRUTTURALE E G-STRUTTURE 125
Proposizione 6.6.7. Le (6.21), (6.22) definiscono un isomorfismo lineares↔s˜
traΓξ(M, EV) edEρ(P, V).
Esempio 6.6.8. Siano L(M) = (L(M), π, M, GLm(R)) il fibrato dei sistemi di riferimento di una variet`a differenziabile M di dimensione m.
Il fibrato tangente TM `e associato alla rappresentazione canonica di GLm(R); il fibrato cotangente T∗Malla sua rappresentazione duale
ρ: GLm(R) 3a→ [a|]−1∈ GLm(R).
In generale, i fibrati tensoriali Tp,qMsono associati alle rappresentazioni ten-soriali, descritte sui tensori di rango uno da
a· (v1⊗ · · · ⊗vp⊗ ζ1⊗ · · · ⊗ ζq)
=a(v1) ⊗ · · · ⊗a(vp) ⊗ [a|]−1(ζ1) ⊗ · · · ⊗ [a|]−1(ζq).
6.6.1. Jacobiano di un’applicazione differenziabile. Siano M, N due variet`a differenziabili, di dimensioni m, n, rispettivamente ed
L(M) = {L(M), πM, M, GLm(R)), L(N) = {L(N), πN, N, GLn(R)), i fibrati dei loro sistemi di riferimento.
Ad una f ∈C∞(M, N) `e associato il fibrato principale (jacobiano) L(Lf(M), πf, M, GLm(R) × GLn(R)) con
Lf(M)= {(σ, τ) ∈ L(M) × L(N) | f (πM(σ))= πN(τ)}, πf(σ, τ)= πM(σ), ∀(σ, τ) ∈ Lf(M),
(σ, τ) · (a,b)= (σ ·a, τ ·b), ∀(σ, τ) ∈ Lf(M), ∀a∈ GLm(R), ∀b∈ GLn(R). Lo spazio vettoriale Rn×m'HomR(Rm, Rn) `e una rappresentazione lineare di GLm(R) × GLn(R). La sezione globale
J( f )(σ, τ)= τ−1
◦ d f ◦ σ : Rm→ Rn,
di LRn×m(M) si dice lo jacobiano di f nei sistemi di riferimento σ, τ. 6.7. Riduzione del gruppo strutturale e G-strutture
Siano M una variet`a differenziabile di dimensione m, Vuno spazio vettoriale (a destra) di dimensione finita n su K (con K ∈ {R, C, H}), ξV= (EV, πV, M,V) un fibrato vettoriale con fibra tipicaVe G un sottogruppo di Lie di GLK(V).
Definizione 6.7.1. Diciamo che A = {(Ui, σi)}i∈I `e un G-atlante di trivializza-zionedi ξVse le funzioni di transizione ψi, j= σ−1
i σjsono a valori in G.
Due G-atlanti di trivializzazione A ed A0, si considerano equivalenti se la loro unioneA ∪ A0 `e ancora un G-atlante di trivializzazione.
L’unione di tutti i G-atlanti di trivializzazione equivalenti ad un G-atlante di trivializzazione assegnato `e un G-atlante di trivializzazione massimale.
Diciamo compatibile con la G-struttura una carta di trivializzazione locale (U, σU) di ξVche appartenga al suo G-atlante di trivializzazione massimale.
Una G-struttura su ξV `e il dato di una classe di equivalenza di G-atlanti di trivializzazione di ξV, ovvero di un G-atlante di trivializzazione massimale.
Per il Teor.6.1.8, una G-struttura su ξVdefinisce un fibrato principale
LG(ξV)= (LG(ξV), πG, M, G)
il cui spazio totale consiste dei σ in L(ηV) che sono dei τ(p) per carte di trivializ-zazione (U, τ) di ξV compatibili con la G-struttura ep∈ U. Il fibrato LG(ξV) `e ot-tenuto da L(ξV) per riduzione del gruppo strutturale. Possiamo riassumere questa discussione nel seguente enunciato.
Teorema 6.7.2. Sia ξV= (EV, πV, M,V) un fibrato vettoriale. Modulo equiva-lenza, le G-strutture su ξV sono in corrispondenza biunivoca con le G-riduzioni del fibrato L(ξV) dei suoi sistemi di riferimento.
Esempio 6.7.3. Ogni fibrato vettoriale reale (risp. complesso, quaternionico) di rango n ammette una O(n)-struttura (risp. U(n), Sp(n)-struttura). Sia infatti ξV= (EV, πV, M,V) un fibrato vettoriale di rango n su K ∈ {R, C, H}. Fissiamo un suo atlante di trivializzazione A = {(Ui, σi) | i ∈ I}, conU = {Ui} ricoprimento aperto localmente finito di M ed un prodotto scalare ( · | · )Vreale (risp, unitario, iperunitario) suV. Sia {χi} una partizione differenziabile dell’unit`a subordinata ad U . Possiamo allora definire un prodotto scalare sulle fibre di EVponendo
g(v1,v2)=X
Ui3pχi(p) · (σ−1i (v1) | σ−1i (v2))V, ∀p∈ M, ∀v1,v2∈ EVp. La O(n)-stuttura (risp. U(n), Sp(n)-struttura) su ξV associata alla metrica g si pu`o ottenere dall’atlanteA applicando il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt alle basi σi(p)(e1), . . . , σi(p)(en) di Ep rispetto al prodotto scala-regp=g|EVp.
6.8. G-strutture su una variet`a differenziabile
Il concetto di G-struttura fu introdotto da Chern nel 1953 (vedi [18, 45]). Siano M una variet`a differenziabile di dimensione m e G `e un sottogruppo di Lie del gruppo lineare GLm(R).
Definizione 6.8.1. Una G-struttura su M `e una G-struttura sul suo fibrato tangente.
Osservazione 6.8.2. Il concetto di G-struttura ci permette di considerare in modo concettualmente unitario diverse geometrie su M. Ad esempio:
orientazione ←→ GL+
m(R)-struttura; misura di Radon di classeC∞ ←→ SLm(R)-struttura;
metrica Riemanniana ←→ O(m)-struttura;
struttura quasi-complessa ←→ GLn(C)-struttura (m= 2n pari); struttura quasi-hermitiana ←→ U(n)-struttura (m= 2n pari); struttura quasi-simplettica ←→ Spn(R)-struttura (m= 2n pari);
struttura iperunitaria ←→ Sp(n)-struttura, (m= 4n); parallelismo completo ←→ {Im}-struttura .
6.9. FORME TENSORIALI E PSEUDOTENSORIALI 127
Il prefisso “quasi” si riferisce al fatto che la definizione di strutture complesse e simplettiche richiede che siano soddisfatte addizionali condizioni di integrabi-lit`a e che, nel caso di una struttura hermitiana, sia definita a priori una struttura complessa sulle fibre.
Esempio 6.8.3. La fibrazione canonica SO(n+1) −→ Sn`e una SO(n)-riduzione del fibrato dei sistemi di riferimento di Sne quindi una SO(n)-struttura su Sn.
La fibrazione canonica SO(n+1) −→ RPn `e una O(n)-riduzione del fibrato dei sistemi di riferimento di RPne quindi una struttura Riemanniana su RPn.
La fibrazione canonica SU(n+1) −→ CPn `e una U(n)-riduzione del fibrato dei sistemi di riferimento su CPne quindi una struttura quasi-Hermitiana su CPn.
Esempio 6.8.4. Possiamo descrivere esplicitamente il fibrato L(Sm) dei sistemi di riferimento sulla sfera Smponendo
L(Sm)= n (v,b) ∈ GLm+1(R) v ∈ S m, b∈ R(m+1)×m, v|·b= 0o GLm(R) ' G = ( 1 0 0 a ! a∈ GLm(R) ) π(v,b)= v, ∀(v,b) ∈ L(Sm)
ed osservando che σ−11 ·σ2∈ G se σ1, σ2appartengono a L(Sm) e π(σ1)= π(σ2). 6.9. Forme tensoriali e pseudotensoriali
Sia ξV= (EV, πE, M,V) un fibrato vettoriale con fibra tipicaV.
Definizione 6.9.1. Per ogni intero non negativo q, lo spazio Ωqξ(M, EV) delle q-forme differenziali a valori in EV consiste delle applicazioniC∞(M)-multilineari alternate φ: X(M) × · · · × X(M) | {z } qvolte −→Γξ(M, EV). In particolare, Ωξ0(M, EV)= Γξ(M, EV).
Se ξV= (M ×V, prM, M) `e il fibrato banale, allora Ωq
ξ(M, M ×V) coincide con lo spazioΩq(M,V) delleq-forme differenziali su M a valori inV.
Se f : N → M `e un’applicazione differenziabile, allora il pullback f∗φdi una forma φ ∈ Ωqξ(M, EV), `e una q-forma a valori in f∗EV.
Siano ora ξ= (P, π, M, G) un fibrato principale,Vuna rappresentazione lineare di dimensione finita del suo gruppo strutturale G e ξVil fibrato vettoriale associato.
Lo spazio totale del pullback π∗(ξV) di ξVsuP`e
Eπ∗(ξV)= {(σ,v) ∈P× EV| π(σ)= πV(v)} e l’equivalenza
[σ·] :P× EV3 (σ,v) −→ (σ, σ·v) ∈ Eπ∗(ξV)
Proposizione 6.9.2. Il pullback definisce un’applicazione iniettiva (6.23) σ−1· π∗: Ωqξ(M, EV) −→ Ωq(P,V).
Una forma ψ ∈ Ωq(P,V) `e nell’immagine di π∗ se e soltanto se gode delle due propriet`a
R∗a(ψ)= ρV(a−1)·ψ, ∀a∈ G, (6.24)
Xcψ= 0, ∀X ∈ V (P). (6.25)
Dimostrazione. Si verifica che ψ ∈ Ωq(P,V) verifica (6.24), (6.24) se e soltanto se vi `e una φ ∈ Ωqξ(M, EV) tale che
σ·ψ(X1, . . . , Xq)= φ(π∗(X1), . . . , π∗(Xq)), ∀X1, . . . , Xq ∈ X(P). Definizione 6.9.3. Una q-forma alternata ψ ∈ Ωq(P,V) si dice pseudotensoria-le di tipoVse soddisfa
(6.26) R∗aψ= ρV(a−1) · ψ, ∀a∈ G
e tensoriale se `e anche orizzontale, cio`e se, oltre alla (6.26), verifica la (6.27) ψ(X1, ..., Xq)= 0 quando almeno uno degli Xisia verticale.
Indichiamo con Ωρq(P,V) lo spazio delle q-forme pseudotensoriali di tipoVe con Ωqρ,0(P,V) il sottospazio di quelle che sono anche orizzontali.
Per la Prop.6.9.2 abbiamo
Proposizione 6.9.4. Il pullback definisce un isomorfismo
(6.28) Λ B σ−1· π∗: Ωqξ(M, EV) → Ωρ,0q (P,V).
Esempio 6.9.5. Consideriamo il fibrato L(M) = (L(M), π, M, GLm(R)) dei si-stemi di riferimento su M. La forma canonica4
(6.29) θ= σ−1dπ ∈Ω1
ρ,0(L(M), Rm). `e un esempio di 1-forma tensoriale.
Se ξ `e un sottofibrato di L(M), con gruppo strutturale G < GL(m, R), la restri-zione di θ aP`e ancora tensoriale per la rappresentazione di G su Rm.
Definizione 6.9.6. Data una forma φ in Ωqξ(M, EV), chiamiamo la σ−1·π∗(φ) in Ωq
ρ,0(P,V), che indicheremo con ˜φ, il suo sollevamento suP. Se σU `e una sezione di ξ su unaperto U di M, la forma
φU= σ∗
Uφ˜ = σ−1
U · φ|U ∈Ωq(U,V) si dice l’espressione di φ nella carta di trivializzazione (U, σU).
SeA = {(Ui, σi} `e un atlante di trivializzazione di ξ, la famiglia {φi= σ−1
i φ|Ui ∈Ωq
(Ui,V)}. si dice delle espressioni locali di φ nell’atlanteA .
6.9. FORME TENSORIALI E PSEUDOTENSORIALI 129
Proposizione 6.9.7. Sia A = {(Ui, σi)} un atlante di trivializzazione di ξ, con funzioni di transizione {ai, j= σi·σ−1j ∈C (Ui∩Uj, G)} e {φi∈Ωq(Ui,V)} una fami-glia di forme differenziali a coefficienti inV. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e le φisiano le espressioni locali inA di una forma φ in Ωq
ξ(M,V) `e che φi= ρV(ai, j)·φjsu Ui∩Uj, ∀i, j. Una rappresentazione lineareVdi G induce una rappresentazione lineare della sua algebra di Lie g, che possiamo utilizzare per definire il prodotto esterno di forme pseudotensoriali, la prima di tipo g, la seconda di tipoV. Se φ ∈ Ωpρ(P, g), ψ ∈Ωqρ(P,V), allora la φ ∧ρψ ∈Ωp+q(P,V) `e caratterizzata da
φ ∧ρψ(X1, . . . , Xp+q)=X0
ε(k)[ρV]∗ φ(Xk1, . . . , Xkp) ψ(Xp+1, . . . , Xp+q), ∀X1, . . . , Xp+q ∈ X(P). L’accento sul simbolo di sommatoria indica che la somma va estesa a tutte le permutazioni k in Sp+q con 1≤k1< · · · <kp≤p+q ed 1≤kp+1< · · · <kp+q≤p+q.
Notazione 6.9.8. Se φ, ψ appartengono entrambi a Ω∗ρ(P, g), scriviamo [φ ∧ ψ] invece di φ ∧ρψ. Se G<GLm(R) e φ ∈ Ωpρ(P, g), ψ ∈ Ωq ρ(P, Rm), scriviamo φ ∧ ψ invece di φ ∧ρψ. Proposizione 6.9.9. Se φ∈Ωpρ,0(P, g), ψ∈Ωq ρ,0(P,V), allora φ ∧ρψ∈Ωp+qρ,0(P,V).
CAPITOLO VII