Connessioni principali invarianti

In questo capitolo studiamo connessioni principali invarianti rispetto all’azione di un gruppo di Lie, ed in particolare le connessioni principali invarianti che si possono definire su spazi omogenei.

9.1. Automorfismi di un fibrato principale

Sia ξ = (P, π, M, G) un fibrato principale differenziabile. Gli automorfismi di ξsono i diffeomorfismi G-equivarianti diPin s´e, cio`e le F ∈Diff^∞(P,P) con

F(σ ·a)= F(σ) ·a, ∀σ ∈P, ∀a∈ G. Sia K un gruppo di Lie con algebra di Lie κ.

Definizione 9.1.1. Un’azione (a sinistra) di K su ξ `e un’azione differenziabile K ×P3 (k, σ) −→k· σ ∈P

G-equivariante. Poich´e trasforma fibre in fibre, definisce un’azione K × M 3 (k,p) −→k·p∈ M

sulla base e valgono le

π(k· σ)=k· π(σ), (k· σ) ·a=k· (σ ·a) Ck· σ ·a, ∀σ ∈P, ∀k∈ K, ∀a∈ G. Abbiamo il diagramma commutativo

K ×P× G  ^MMMM &&M M M M M M K ×P  P× G  K × M // _M.

Un gruppo a un parametro {Ft} di automorfismi di ξ definisce un gruppo a un parametro { ft} di diffeomorfismi di M. Il suo generatore infinitesimale Z ∈ X(P) `e G-invariante e π-correlato al generatore infinitesimale X di { ft}.

Se K agisce su ξ, per ogni X ∈ κ la moltiplicazione a sinistra per exp(t·X) definisce gruppi a un parametro di diffeomorfismi di P e di M, i cui generatori infinitesimali X^P∈ X(P) ed X^M ∈ X(M) sono tra loro π-correlati.

Definizione 9.1.2. Chiamiamo X^Ped X^Mi campi associati all’elemento X di κ. 155

Per ogni σ ∈P e p∈ M le {K 3k→k· σ ∈P} e {K 3k→k·p∈ M} sono ap-plicazioni differenziabili rispetto alle quali, per X ∈ κ, il corrispondente campo X∗ invariante a destra su K `e correlato ai campi associati X<sup>P</sup> ed X<sup>M</sup>. Poich´e la κ 3X → X<sub>∗</sub>∈ X(K) `e un anti-omomorfismo di algebre di Lie, vale allora il

Lemma 9.1.3. Le corrispondenze X → X^Ped X → X^M tra κ ed X(P), X(M)

sono antiomomorfismi di algebre di Lie. 

Fissato in M un puntop₀e sia

H= {k∈ K |k·p₀=p₀}.

il suo stabilizzatore in K. I suoi elementi operano sulla fibraP_p

0 e vale il Lemma 9.1.4. Per ogni elemento σ della fibraP_p0, l’applicazione

(9.1) λ_σ : H 3k−→ σ⁻¹·k· σ ∈ G

`e un omomorfismo di gruppi di Lie. 

9.2. Automorfismi di una connessione principale

Fissiamo sul fibrato principale ξ= (P, π, M, G) una connessione principale Γ con forma di Cartan ω. Utilizziamo la notazione introdotta nel §9.1.

Definizione 9.2.1. Chiamiamo automorfismo di Γ un automorfismo F di ξ che lasci invarianteΓ, che soddisfi cio`e

(9.2) F^∗ω= ω.

Gli automorfismi diΓ formano un gruppo, che indichiamo con Aut(Γ). Osservazione 9.2.2. In generale, Aut (Γ) pu`o non essere un gruppo di Lie. Se ad esempio consideriamo il fibrato banale ξ= (M × G, π, M, G) con la connessione canonicaΓ la cui forma di Cartana<sup>−1</sup>da`e il pullback della forma di Maurer Cartan su G mediante la proiezione pr_G, ogni trasformazione F(p,x) = ( f (p),a·x) con

f ∈Diff^∞(M, M) eda∈ G definisce un automorfismo diΓ.

Lemma 9.2.3. Siano {Ft} un gruppo a un parametro di automorfismi diΓ con generatore infinitesimale X^P∈ X(P) ed { ft} il corrispondente gruppo a un para-metro di diffeomorfismi della base M, con generatore infinitesimale XM ∈ X(M). Allora

(9.3) Ft(σ)= ˜ft(σ) · exp(t·ω(X_σ^P)), ∀t ∈ R, ∀σ ∈P,

ove ˜f_t(σ) `e il sollevamento orizzontale di t → ft(π(σ)) di punto iniziale σ. In particolare,

X^P_σ = ˜XM

σ + [ω(XP)]^?_σ, ∀σ ∈P. Dimostrazione. `E Ft(σ)= ˜ft(σ)·a(t) per unaa(t) ∈C∞

(R, G), con a(0)=e_G. Derivando questa uguaglianza, troviamo che

X_F^P

t(σ) = ^f˜t(σ) dt

!

9.2. AUTOMORFISMI DI UNA CONNESSIONE PRINCIPALE 157

Poich´e d ˜ft(σ)/dt `e orizzontale, applicando la forma di Cartan ad ambo i membri di quest’uguaglianza, otteniamo ω(X_F^P t(σ))= [a(t)]⁻¹a˙(t). Poich´e Ft∗X^P= XP, ed F_t^∗ω= ω, otteniamo ω(X_F^P t(σ))= ω(Ft∗X_σ^P)= (F∗ tω)(X^P_σ)= ω(XP σ),

e quindia(t)= exp(t·ω(Xσ)), da cui segue la (9.3). 

Siano K un gruppo di Lie che supponiamo agire su ξ mediante automorfismi e Γ = (ξ, ω) una connessione principale.

Definizione 9.2.4. Diciamo che Γ `e K-invariante se gli elementi di K defini-scono automorfismi diΓ.

Notazione 9.2.5. Consideriamo l’applicazione (9.4) Λ :P× κ → g, definita da Λσ(X)= ω(XP

σ), ∀σ ∈P, ∀X ∈ κ.

Utilizziamo la notazione introdotta nel §9.1. In particolare, fissiamo un pun-top₀ di M ed indichiamo con H il suo stabilizzatore in K e, per ogni σ in P_p0, siano λσ l’omorfismo di H in G definito da λσ(h)= σ−1·h·σ e λσ∗: hBLie(H) →g il corrispondente omomorfismo di algebre di Lie.

Proposizione 9.2.6. Se Γ `e K-invariante, allora, per ogni σ inP_p

0, l’applica-zioneΛσ: κ → g definita dalla (9.4) soddisfa:

Λσ(X)= λσ∗(X), ∀X ∈ h, (1) Λσ(Ad_h(X))= Ad[λσ(h)](Λσ(X)), ∀h∈ H, ∀X ∈ κ. (2) Dimostrazione. Se X ∈ h, allora X^P_σ =d dt  t=0^{[exp(t·X)·σ]}=d dt  t=0^σ·λσ(exp(t·X))=d dt  t=0^{σ·exp(t · λ}σ∗(X)). Quindi X_σ^P= [λσ∗(X)]^?_σ, e da questa segue la (1).

Fissati X ∈ κ,h∈ H e posto Y= Adh(X), abbiamo

exp(t·Y)·σ=h· exp(t·X)·h⁻¹·σ=h· exp(t·X)·σ·λσ(h⁻¹)=h·R_λσ(h−1)(exp(t·X)σ), da cui otteniamo che Y_σ^P= h_∗dR_λσ(h−1)(X_σ^P). Per ipotesi ω `e K-invariante. Perci`o, applicando ω ai due membri di questa uguaglianza, abbiamo

Λσ(Y)= ω(YP

σ)= ω(h∗dR_λσ(h−1)(X^P_σ))= ω(dR_λσ(h−1)(X^P_σ))= Ad[λσ(h)](ω(X_σ^P)) = Ad(λσ(h))(Λσ(X)),

cio`e la (2). La dimostrazione `e completa. 

Osservazione 9.2.7. Per il Lemma 9.2.3, vale la decomposizione X^P= ˜XM+ [Λ(X)]?, ∀X ∈ κ.

Osservazione 9.2.8. La Λσ estende l’omomorfismo λσ∗di h in g ad un’appli-cazione R-lineare di κ in g, che non `e, in generale, un omomorfismo di algebre di Lie, come ci mostreranno la Proposizione 9.2.9 ed il successivo Corollario 9.3.2.

Proposizione 9.2.9. La forma di curvatura Ω di una connessione K-invariante su ξ soddisfa (9.5) Ωσ(X^P, YP)= [Λσ(X),Λσ(Y)] −Λσ([X, Y]), ∀X, Y ∈ κ, e quindi, se π(σ)=p, abbiamo R_p(X^M, YM)= σ · [Λσ(X),Λσ(Y)] −Λσ([X, Y])
∀X, Y ∈ κ. (9.6)

Dimostrazione. Siano X, Y ∈ κ. Le equazioni di struttura ci danno Ωσ(X^P, YP)= XP

σω(Y^P) − Y_σ^Pω(X^P) − ωσ([X^P, YP])+ [ω(XP), ω(Y^P)]σ. Le derivata di Lie di ω rispetto ad X^P, Y^P sono nulle, perch´e ω `e K-invariante. Quindi

X^P_σω(Y^P)= ωσ([X^P, YP]), Y_σ^Pω(X^P)= ωσ([Y^P, XP]). Inoltre, poich´e [X^P, YP]= −[X, Y]P,

ω_σ([X^P, YP])= −ωσ([X, Y]^P)= −Λσ([X, Y]).

Da queste osservazioni otteniamo la tesi. 

9.3. Connessioni invarianti su uno spazio omogeneo Se K opera transitivamente sulla base M, allora i vettori XM

p , al variare di X in κ, generano T_pMin ogni puntopdi M. Quindi Hσ= { ˜XM

σ | X ∈ κ} e perci`o (9.7) TσP= VσP+ { ˜XM

σ | X ∈κ}= VσP+ {XP

σ | X ∈κ} per ogni σ ∈P. Fissato un elemento σ ∈Ped un’applicazioneΛσ: κ → g, vi `e allora al pi`u una connessione principale K-invarianteΓ su ξ per cui sia Λσ(X)= ω(XP

σ) per ogni X in κ. Le connessioni invarianti sugli spazi omogenei sono caratterizzate dal seguente teorema di Wang ([63]).

Teorema 9.3.1 (Wang). Siano M uno spazio omogeneo del gruppo di Lie K, ξ= (P, π, M, G0) un fibrato principale su M, H lo stabilizzatore in K di un punto

p₀di M e σ₀un elemento della fibraP_p

0. Allora la

(9.8) Λσ₀(X)= ω(XP

σ0), ∀X ∈ κ,

con ω forma di Cartan di Γ, stabilisce una corrispondenza biunivoca tra le con-nessioni principali K-invarianti Γ su ξ e le applicazioni lineari Λσ₀: κ → g tali che (9.9)        Λσ0(X)= λσ0∗(X), ∀X ∈ hBLie(H), Λσ₀(Adh(X))= Adλσ0^(h)(Λσ₀(X)), ∀h∈ H, ∀X ∈ κ.

Dimostrazione. Per la Prop.9.2.6, data Γ, una Λσ₀ definita da (9.4) soddisfa le (9.9). Baster`a quindi dimostrare che ad unaΛσ<sub>0</sub> che soddisfi le (9.9) possiamo far corrispondere una connessione principale K-invarianteΓ la cui forma di Cartan soddisfi (9.8). Poich´e l’azione K ×P× G 3 (k, σ,a) →k·σ·a∈P `e transitiva, unaΓ invariante per K `e univocamente determinata dal dato di Hσin un qualsiasi σ diP. Poniamo

Hσ₀P= {XP

9.4. CONNESSIONI INVARIANTI SU UNO SPAZIO RIDUTTIVO 159

Per provare l’esistenza diΓ basta verificare che

k₁· (Hσ0P) ·a₁ =k₂· (Hσ0P) ·a₂ se k₁· σ₀·a₁ =k₂· σ₀·a₂. Postoa=a₁·a⁻¹₂ edh=k⁻¹₂ k₁, ci`o `e equivalente a dimostrare che

h· (Hσ₀P) ·a= Hσ₀P se k· σ₀·a= σ0.

Da π(h· σ₀·a)=h· π(σ₀)=h·p₀ =p₀segue cheh∈H e λσ0(h)=a⁻¹. Abbiamo

h· X_σ^P₀·a= d dt  t= 0^{h· exp(t · X) ·a}= d dt  t= 0^{exp(t · Adh(X)) · (h· σ0·a)} = [Adh(X)]^P_σ0. Per ogni A ∈ g il campo fondamentale A^∗verifica la

h· A^∗_σ0·a= d dt  t= 0^{[h· σ0· exp(t·A)] ·a}= d dt  t= 0^[σ0·a −1· exp(t·A)] ·a] = [Ada−1(A)]^∗_σ0. Per la seconda delle (9.9), se A= Λσ₀(X), `e

Ad_a−1(A)= Adλσ0^(h))(Λσ0(X))= Λσ0(Ad_h(X)). Otteniamo perci`o

h· (X_σ^P₀ − [Λσ₀(X)]^∗_σ0) ·a= [Adh(X)]^P_σ0− [Λσ₀(Adh(X))]^∗_σ0 ∈ Hσ₀P.

Quindi h· (Hσ0P) ·a ⊆ Hσ0Pe, poich´e questi due spazi vettoriali hanno la stessa

dimensione, si ha l’uguaglianza. La dimostrazione `e completa. 

Per la Prop.9.2.9, abbiamo:

Corollario 9.3.2. La connessione K-invariante definita da Λσ₀ `e piatta se e

soltanto seΛσ0 : κ → g `e un omomorfismo di algebre di Lie. 

9.4. Connessioni invarianti su uno spazio riduttivo

Ricordiamo che uno spazio K-omogeneo M `e riduttivo se l’algebra di Lie h del-lo stabilizzatore H di un puntop₀di M ammette un complemento Ad(H)-invariante min κ.

Teorema 9.4.1. Sia ξ = (P, π, M, G₀) un fibrato principale, la cui base M sia uno spazio omogeneo riduttivo del gruppo di Lie K. Siano H lo stabilizzatore di un puntop₀ di M ed m un complemento lineareAd(H)-invariante di h= Lie(H) in κ. Fissato un elemento σ₀della fibra P_p0, vi `e allora una corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle connessioni K-invarianti su ξ e quello delle applicazioni lineari

λ_m: m −→ g tali che

λ_m(Adh(X))= Adλσ0^(h)(λm(X)), ∀X ∈ m, ∀h∈ H.

Dimostrazione. Ci riduciamo al Teor.9.3.1 perch´e, nel caso riduttivo, un’ap-plicazione R-linere Λ : κ → g che soddisfi (9.9) `e completamente determinata dalla

sua restrizione ad m. 

Osservazione 9.4.2. La forma di curvatura della connessione associata a λm `e Ωσ0(X^P, YP)= [λm(X), λm(Y)]−λm([X, Y]m)−λσ0∗([X, Y]h), ∀X, Y ∈ m. (9.10)

Definizione 9.4.3. La connessione su ξ corrispondente alla scelta λm= 0 si dice la connessione canonica su ξ associata allo spazio omogeneo riduttivo M= K/H ed alla decomposizione κ= h ⊕ m. La sua forma di curvatura `e

(9.11) Ω(XP, YP)= −λσ_0∗([X, Y]h), per X, Y ∈ m. 9.5. Olonomia di una connessione invariante

Fissiamo una connessione K-invariante su ξ, con forma di Cartan ω e siaΛ l’applicazione lineare definita dalla (9.4). Definiamo per ricorrenza

(9.12)             

n₀ = h{[Λ(X), Λ(Y)] − Λ([X, Y]) | X, Y ∈ κ}i , n_p+1= np+ [Λ(κ), np], per p ≥ 0,

n= Sp≥0n_p.

Teorema 9.5.1. Se l’azione di K su M `e transitiva, allora n `e l’algebra di Lie dell’olonomiaΦ(σ0).

Dimostrazione. Se f ∈ G = Γξ(P, g) ed X ∈ κ, abbiamo (vedi il Lemma 9.2.3)

(9.13) X^Pf = ˜XM

f −[ω(X^P), f ]. Vale poi

(9.14) [X^P, ˜Y] = ˜Z, con Z = [XM, Y], ∀X ∈ κ, ∀Y ∈ X(M).

Infatti [X^P, ˜Y] `e un campo di vettori orizzontale, perch´e H (P) `e K-invariante, ed i campi X^P ed ˜Y sono π-correlati ad X^M, Y, rispettivamente. Quindi [X^P, ˜Y] `e il campo di vettori orizzontale π-correlato a Z= [XM, Y].

Consideriamo gli spaziKpdefiniti dalle (8.38). Dico che

(9.15) X^PKp ⊆Kp, ∀X ∈ κ, ∀p ≥ 0.

Ragioniamo per ricorrenza sup. Poich´e Ω `e K-invariante, la sua derivata di Lie rispetto ad XP, per X ∈ κ, `e nulla e quindi, se Y₁, Y₂ ∈ X(M), la (9.14) ci d`a

X^PΩ( ˜Y1, ˜Y₂)= Ω( ˜Z1, ˜Y₂)+ Ω( ˜Y1, ˜Z₂), con Z₁= [XM, Y₁], Z₂= [XM, Y₂]. Quindi X^PK0 ⊆K0. Supponiamo ora che, per unp ≥ 0, sia X^PKp ⊆Kp. Allora, per ogni f ∈Kp ed Y ∈ X(M), posto Z= [XM, Y], abbiamo

X^P_{Y f}˜ = ˜Z f + ˜YXPf ∈Kp+1.

Ci`o dimostra che X<sup>P</sup>K<sub>p+1</sub> ⊆ K<sub>p+1</sub> e perci`o la (9.15) vale per ogni interop ≥ 0. Poich´e per ipotesi K opera transitivamente su M, i campi ˜X^M, al variare di X in κ, generano X(M) comeC∞(M)-modulo. Utilizzando la (9.13), otteniamo allora (9.16) X^˜MKp ⊆Kp+ [ω(XP),Kp], Kp+1⊆Kp+ h[ω(XP),Kp] | X ∈ κi. Con le m_p(σ₀) definite da (8.39), poich´e n₀= m0(σ₀), da queste inclusioni ricavia-mo

(9.17) m_p(σ0)= np, _{∀p ∈ N.}

CAPITOLO X