Con le definizioni del Cap. II, uno spazio vettorialeV, di dimensione finita su un corpo K, `e un GLK(V)-spazio. Supporremo nel seguito che K sia uno dei campi R, C, H, in modo che l’azione del gruppo lineare sia continua e valgano quindi le considerazioni generali del Cap. II.
Definizione 4.1.1. SiaVuno spazio vettoriale su K. Chiamiamo fibrato vetto-riale con fibra tipicaVunV-fibrato di Steenrod.
Possiamo considerare gli elementiv dello spazio totaleE(ξ) come vettori ap-plicati nel punto b= πξ(v) della base. Poich´e i vettori applicati si possono molti-plicare per uno scalare e sommare tra loro solo se hanno lo stesso punto d’applica-zione, abbiamo delle mappe naturali
(4.1)
(E(ξ ⊕B(ξ)ξ) 3 (v1, v2) −→v1+ v2 ∈E(ξ), K ×E(ξ) 3 (λ,v) −→ λ · v ∈E(ξ).
Proposizione 4.1.2. Su un fibrato vettoriale ξ, le operazioni (4.1) sono conti-nue.
Dimostrazione. Nel caso del fibrato banale, la tesi si riduce alla continuit`a delle operazioni di somma e di prodotto per scalare in uno spazio vettoriale. Quin-di, poich´e i fibrati di Steenrod sono localmente banali, le operazioni (4.1) sono
localmente continue e perci`o continue.
Proposizione 4.1.3. Le (4.1) definiscono sullo spazio Γξ(B(ξ),E(ξ)) delle sezio-ni una somma ed un prodotto per scalare che lo rendono uno spazio vettoriale su K. Somma e prodotto per scalare sono continue per la topologia compatta-aperta. Definizione 4.1.4. Il fibrato GLK(V)-principale ξ]associato ad un fibrato vet-toriale ξ si dice il fibrato dei suoi sistemi di riferimento e si indica con L(ξ). Per ogni punto b della baseB(ξ) la fibra Eb(ξ) `e un K-spazio vettoriale isomorfo a V e gli elementi della fibra Lb(ξ) di L(ξ) su b sono gli isomorfismi K-lineari σ:V→Eb(ξ).
Abbiamo osservato nel §2.5.5 che ξ e L(ξ) hanno gli stessi atlanti di trivializ-zazioneA= {(Uj, σj)} in cuiU= {Uj} `e un ricoprimento aperto diB(ξ) e le σjsono sezioni su Ui, jdel fibrato dei sistemi di riferimento. Le trivializzazioni locali sono definite dalle
Uj×V3 (b,v) −→ σj(b)(v) ∈E(ξ)|Uj 87
e le funzioni di transizione gi, j ∈C (Ui, j, GLK(V)) da
gi, j(b)= [σj(b)]−1◦ σi(b) sulle intersezioni Ui, j= Ui∩ Uj.
Ad ogni sezione v∈Γξ(B(ξ),E(ξ)) di un fibrato vettoriale con fibra tipica V
corrisponde una funzione continua ˜v∈C (L(ξ),V) definita sui sistemi di riferimento ed a valori inV, mediante
˜
v(σ)= σ−1(v(πξ(σ))), ∀σ ∈ L(ξ)).
Definizione 4.1.5. Chiamiamo la ˜vil sollevamento della sezionev.
Proposizione 4.1.6. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e una funzione f ∈C (L(ξ)),V) sia il sollevamento di una sezione diΓξ(B(ξ),E(ξ)) `e che
f(σ ·a)=a−1( f (σ)), ∀σ ∈ L(ξ)), ∀a∈ GLK(V). 4.2. Gruppo strutturale
Fissiamo un sottogruppo G del gruppo lineare GLK(V) e scriviamoVGper in-dicare lo spazio vettorialeV, pensato come un G-spazio. Sia ξ un fibrato vettoriale con fibra tipicaV.
Definizione 4.2.1. Chiamiamo G-struttura su ξ una sua struttura diVG-fibrato di Steenrod. Diremo in questo caso che ξ `e un G-fibrato1vettoriale, o un fibrato vettoriale con gruppo strutturale G.
Per il Teorema 2.5.15, i fibrati vettoriali suBdotati di una G-struttura sono in corrispondenza biunivoca con i G-fibrati principali suB. Indicheremo con LG(ξ) il fibrato dei sistemi di riferimento di una G-struttura di ξ assegnata.
Definizione 4.2.2. Chiamiamo atlante di G-trivializzazione di un fibrato vetto-riale ξ un suo atlante di trivializzazioneA= {(Ui, σi)} le cui funzioni di transizione gi, j= σ−1
j ◦ σi siano a valori in G.
Due G-atlanti di trivializzazione A ed A0
, sono equivalenti se A ∪ A0 `e ancora un G-atlante di trivializzazione.
L’unione di tutti i G-atlanti di trivializzazione equivalenti ad un G-atlante di trivializzazione assegnato `e un G-atlante di trivializzazione massimale.
Proposizione 4.2.3. Le G-strutture su un fibrato vettoriale ξ sono in corrispon-denza biunivoca con i suoi G-atlanti di trivializzazione massimali. In particolare, ogni G-atlante di triviazlizzazione di ξ definisce su di esso una G-struttura. Una carta locale di trivializzazione (U, σU) di ξ `e compatibile con la G-struttura se appartiene al suo G-atlante di trivializzazione massimale.
Se H `e un sottogruppo di G, ogni H-atlante di trivializzazione di ξ `e anche un G-atlante di trivializzazione ed abbiamo un morfismo d’inclusione dei corrispon-denti sistemi di riferimento: LH(ξ) ,→ LG(ξ).
4.3. FIBRATI VETTORIALI ASSOCIATI A RAPPRESENTAZIONI LINEARI 89
Definizione 4.2.4. Diciamo in questo caso che l’H-struttura su ξ `e stata otte-nuta dalla G-struttura per riduzione del gruppo strutturale e che la G-struttura `e ottenuta dalla H-struttura per allargamento del gruppo strutturale.
In particolare: le G-strutture su un fibrato vettoriale ξ sono in corrispondenza biunivoca con le G-riduzioni del fibrato L(ξ) = LGLK(V)(ξ) di tutti i suoi sistemi di riferimento lineari.
Due G-strutture su ξ sono equivalenti se i corrispondenti G-fibrati principali dei loro sistemi di riferimento lo sono come fibrati G-principali.
Proposizione 4.2.5. Siano assegnati un ricoprimento aperto U = {Ui}i∈IdiB(ξ) ed una famiglia {gi. j∈C (Ui, j, G)} di funzioni continue tali che
gi,i= idV su Ui, gi, j(b)gj,h(b)= gi,h(b), ∀b ∈ Ui, j,h= Ui∩ Uj∩ Uh, ∀i, j, h ∈ I. Risulta allora determinata, unica a meno di equivalenze, una G-struttura su ξ per cui {gi, j} sia la famiglia delle funzioni di transizione di un G-atlante di
trivializza-zione.
Su uno spazio vettoriale V su K possiamo fissare prodotti scalari hermitia-ni rispetto a K. Indichiamo con Oq(V), Uq(V), Spq(V) i corrispondenti gruppi di isometrie K-lineari diVnel caso reale, compesso e quaternionico, rispettivamente. Proposizione 4.2.6. Sia ξ un fibrato vettoriale con fibra tipica V. Se la ba-se B(ξ) `e paracompatta, allora `e possibile ridurre il gruppo strutturale di ξ ad Oq(V), Uq(V), Spq(V), a seconda che K sia il corpo dei reali, dei complessi o dei quaternioni, rispettivamente.
Dimostrazione. Fissiamo una partizione dell’unit`a {κi} suB(ξ), subordinata al ricoprimentoU= {Ui} degli aperti di un atlante di trivializzazioneA= {(Ui, σi)} di ξ. Fissata la forma quadratica q suV, definiamo una forma quadratica sulle fibre di ξponendo
g(v)=X πξ(v)∈Ui
χi(πξ(b)) · q(σ−1i (v)).
Il fibrato dei sistemi di riferimento consiste allora delle applicazioni K-lineari diV
sulle fibre Eb(ξ) che sono isometrie di (V, q) su (Eb(ξ), g), al variare di b inB(ξ). Corollario 4.2.7. Se η `e un sottofibrato vettoriale del fibrato vettoriale ξ, allora possiamo trovare un sottofibrato vettoriale η0di ξ tale che ξ ≈ η ⊕B(ξ)η0.
Dimostrazione. Per la Proposizione 4.2.6 possiamo ridurre il gruppo struttura-le di ξ ad uno dei gruppi compatti Oq(V), Uq(V), Spq(V). Possiamo allora definire il fibrato perpendicolare η⊥le cui fibre sono le (Eb(η))⊥in (Eb(ξ), g) e ξ `e equivalente
alla somma di Whitney η ⊕Bη⊥.
4.3. Fibrati vettoriali associati a rappresentazioni lineari
L’Osservazione 2.5.16 si applica al caso di fibrati G-principali e di rappresen-tazioni lineari del loro gruppo strutturale G.
Sia ξ= (P, π,B, G) `e un fibrato principale con gruppo strutturale G. Ricordia-mo che l’azioneP× G 3 (σ,a) → σ ·a∈P `e semplicemente transitiva su ciascuna delle fibrePbdi ξ.
Una rappresentazione K-lineareVdi G `e un’azione G×V3 (a, v) →a·v ∈Va sinistra per cui lav →a·v sia K-lineare. Essa equivale al dato di un omomorfismo ρV: G → GLK(V).
Consideriamo sul prodotto cartesianoP×Vla relazione di equivalenza (σ1, v1) ∼ (σ2, v2) ⇐⇒ v2= (σ−1
2 ◦ σ1)v1.
Indichiamo con σ ·v la classe di equivalenza della coppia (σ, v) ∈P×V. Allora
EVB (P×V)/∼= {σ · v | σ ∈P, v ∈V}
`e lo spazio totale di un fibrato vettoriale ξV= (EV, πV,B,V), dotato di una ρV (G)-struttura. Possiamo riassumere questa costruzione col diagramma commutativo
(4.2) pr P×V P wwooooooo (σ,v)→σ·v ((P P P P P P P πOOOO ''O O O O EV πV vvnnnnnnnn B. e nell’enunciato
Proposizione 4.3.1. ξ = (P, π,B, G) `e un fibrato principale con baseB. Ad ogni rappresentazione lineareVdel suo gruppo strutturale G risulta associato, unico a meno di equivalenza, un fibrato vettoriale ξVsuB, con fibra tipicaV, tale che(4.2)
sia un diagramma commutativo di fibrati.
Nota che le frecce che scendono verso sinistra sono proiezioni di fibrati vetto-riali, quelle che scendono verso destra di fibrati G-principali (G agisce suP×V
mediante (σ,v) · a= (σ · a,a−1(v)).) Il fibrato EV → B `e di Stiefel rispetto a ρV(G) ⊆ GLK(V), isomorfo al quoziente G/H di G rispetto al nucleo d’infedelt`a H della rappresentazione di G suV.
4.4. Equivalenza di fibrati vettoriali
Fissiamo un sottogruppo G del gruppo lineare GLK(V). Due G-fibrati vetto-riali ξ, η sulla stessa baseB sono G-equivalenti se `e possibile definire un omeo-morfismo f ∈ C (E(ξ),E(η)) che sia K-lineare sulle fibre, G-equivariante, e renda commutativo il diagramma E(ξ) πξCCC!!C C C C C f //E(η) πη }}{{{{{{ {{ B.
Sia VG(B) l’insieme delle classi di equivalenza di G-fibrati vettoriali con base
B. Per la Proposizione 4.2.5, le funzioni di transizione {gi, j} di un G-atlante di trivializzazione A= {(Ui, σi)} di ξ determinano completamente la sua classe [ξ]
4.4. EQUIVALENZA DI FIBRATI VETTORIALI 91
inVG(B). Possiamo utilizzare questa osservazione per dare una caratterizzazione coomologicadiVG(B).
Fissato un ricoprimento apertoU= {Ui} diB, ed un intero q ≥ 0, indichiamo conCq(U,C (G)) l’insieme delle q-catene di ˇCech di U, a coefficienti nel fascio C (G) dei germi di applicazioni continue su Ba valori in GLK(n). Un elemento diCq(U,C (G)) `e una famiglia (gi0,i1,...,iq), indicizzata con le (q+ 1)-uple di indici i per cui Ui0,i1,...,iq= Ui0 ∩ Ui1 ∩ · · · ∩ Uiq , ∅, ciascun elemento della quale `e un’applicazione continua
gi0,i1,...,iq : Ui0,i1,...,iq −→ G, con gia0,ia1,...,iaq= [gi0,i1,...,iq]ε(a), ∀a ∈ Sq+1. Qui ε(a)= ± 1 `e la segnatura della permutazione a.
Nel Cap. ?? discuteremo la coomologia di ˇCech con coefficienti in fasci di gruppi abeliani.Poich´e qui non supponiamo che G sia abeliano, possiamo definire soltanto il primo spazio di coomologia. Siano
δ0:C0(U,C (G)) 3 (gi) −→ (gi, j(b)= gi(b)[·gj(b)]−1) ∈C1(U,C (G)), δ1:C1(U,C (G)) 3 (gi, j) −→ (gi, j,h= gi, j· gj,h· gh,i) ∈C2(U,C (G)). gli operatori di cobordo. Otteniamo una successione di applicazioni
(∗) C0(U,C (G)) δ0
−−−−−→ C1(U,C (G)) δ1
−−−−−→ C2(U,C (G)).
In ciascuno degli spazi Cq(U,C (G)) fissiamo il punto speciale 1q, definito dal-la (g0i
0,...,iq), con g0i
0,...,iq(b)= In per ogni b ∈ Ui0,...,iq. Allora (∗) `e un complesso di spazi puntati: ci`o significa che δ0(10)= 11, δ1(11)= 12 e che, per ogni (gi) ∈ C0(U,C (G)), `e δ1◦ δ0(gi)= 12. Il primo spazio di coomologia di U a coefficienti inC (G) si definisce come il quoziente
H1(U,C (G)) = δ−1
1 (12)/Immagine(δ0). Ad un raffinamento U0= {U0
j} diU, con U0j ⊂ Uij, associamo applicazioni di restrizione rq:Cq(U,C (G)) → Cq(U0, C (G)) definite da
rq(gi0,...,iq)= (gij0,...,ijq|U0 j0,..., jq). Abbiamo allora un diagramma commutativo di complessi:
C0(U,C (G)) δ0 −−−−−→ C1(U,C (G)) δ1 −−−−−→ C2(U,C (G)) r0 y r1 y r2 y C0(U0, C (G)) δ0 −−−−−→ C1(U0, C (G)) δ1 −−−−−→ C2(U0, C (G)), che ci permette, per passaggio al quoziente, di definire un’applicazione
r∗: H1(U,C (G)) −→ H1(U0, C (G))
tra i gruppi di coomologia. La coomologia di ˇCech diBa coefficienti in C (G) si definisce come il limite induttivo,o diretto, dei gruppi H1(U,C (G)) rispetto all’or-dinamento parziale per cuiU ≺ U0seU0`e un raffinamento di U e alle applicazioni r∗che abbiamo descritto sopra. Indichiamo questo limite con H1(B, C (G)).
Teorema 4.4.1. La corrispondenza che associa ad ogni fibrato vettoriale di rango n su B la classe di H1(B, C (G)) di un suo qualsiasi atlante di trivializ-zazione definisce, per passaggio al quoziente, una corrispondenza biunivoca di
H1(B, C (G)) con VG(B).
4.5. Fibrati vettoriali sulle sfere Decomponiamo la sfera Sm=(x0, x1, . . . , xm) ∈ Rm+1
Pm
h= 0x2h= 1 nell’unione Sm= Dm
+∪ Dm− delle celle chiuse Dm+= {x ∈ Sm
| xm≥ 0}, Dm−= {x ∈ Sm
| xm≤ 0}, con Dm+∩ Dm−= Sm−1= {x ∈ Sm
| xm= 0}.
Fissiamo un sottogruppo G del gruppo lineare GLR(V). Ad un’applicazione continua f : Sm−1→ G, possiamo associare il G-fibrato vettoriale ξf= (Ef → Sm) che si ottiene incollando i fibrati banali Dm+× Rn → Dm+ e Dm− × Rn → Dm+ me-diante la funzione di clutching2 che associa ad (x,v) ∈ Sm−1× Rn ⊂ Dm+× Rn la (x, f (x)(v)) ∈ Sm−1× Rn ⊂ Dm−× Rn. Si dimostra facilmente che
Lemma 4.5.1. Se le due funzioni di clutching f0, f1 ∈ C (Sm−1, G) sono omo-tope, allora i fibrati vettoriali ξf1 e ξf2 sono equivalenti. Risulta quindi definita un’applicazione naturale
(4.3) π(Sm−1, G) −→ VG(Sm).
Poich´e Dm+ e Dm− sono contrattili, i fibrati vettoriali con basi Dm+ e Dm− sono banali. Osserviamo ancora che, sea∈ G ed f una funzione di clutching, laa· f `e la funzione di clutching rispetto ad una diversa trivializzazione. Ogni fibrato pu`o quindi essere rappresentato da una funzione di clutching f con f (e0)= In. Questo ci permette di sostituire, nella (4.3), all’omotopia libera π(Sm−1, G) l’omotopia π(Sm−1, e0; G, In)= πm−1(G). Da queste osservazioni segue il
Lemma 4.5.2. Abbiamo un’applicazione surgettiva
(4.4) πm−1(G) −→→VG(Sm).
Lo studio dell’applicazione (4.4) `e complicato dal fatto che il gruppo G possa non essere connesso per archi. Possiamo tenerne conto osservando che G agisce in modo naturale sulle funzioni di clutching mediante
G ×C (Sm−1, G) 3 (a, f ) −→a· f ( · ) ·a−1∈C (Sm−1, G). Per passaggio ai quozienti, questa definisce un’azione di π0(G) su πm−1(G).
Teorema 4.5.3. Abbiamo una bigezione
(4.5) πm−1(G)/π0(G) ←→VRn(Sm).
Dimostrazione. Per il Lemma 4.5.1, l’applicazione πm−1(G)/π0(G) −→Vn
R(Sm)
`e surgettiva. Resta da verificare l’iniettivit`a. Siano f1, f2 ∈ C (Sm−1, e0; G, In) tali che ξf1 ≈ ξf2.
4.6. LA PROPRIET `A (S ) 93
L’equivalenza dei fibrati `e definita da due funzioni g± ∈ C (Dm
±, G) tali che (indicando ancora con g±le restrizioni ad Sm−1) il diagramma
Sm−1× Rn id×g+ −−−−−→ Sm−1× Rn id× f1 y yid× f2 Sm−1× Rn −−−−−→ Sid×g− m−1× Rn
sia commutativo. `E quindi f2(x)= [g−(x)]−1◦ f1(x) ◦ g+(x), per ogni x ∈ Sm−1. Le g± sono definite sui dischi Dm± che sono contrattili e, da f1(e0)= f2(e0)= In rica-viamo che [g−(e0)]−1 ◦ g+(e0)= In. perci`o le due funzioni g±, ristrette ad Sm−1, definiscono la stessa classe di omotopia. Questo dimostra l’iniettivit`a e completa
la dimostrazione del teorema.
Questa caratterizzazione omotopica dell’equivalenza di G-fibrati vettoriali si pu`o trovare, ad esempio, in [60]. Discutiamo brevemente le conseguenze del Teore-ma 4.5.3 nel caso di fibrati vettoriali su R, C, H, il cui gruppo strutturale sia l’intero gruppo lineare.
Il gruppo lineare reale ha due componenti. La componente connessa dell’iden-tit`a GLn(R) consiste delle matricia∈ Rn×ncon determinante positivo. I fibrati vet-toriali che ammettono un’azione di GL+
n(R) sono detti orientabili. Poich´e GL+n(R) `e connesso, abbiamo una corrispondenza biunivoca
πm−1(GL+
n(R)) ←→ VGL+
n(R)(Sm). Se m > 1, allora πm−1(GLn(R)) = πm−1(GL+
n(R)) e questo ci dice che tutti i fibrati vettoriali sulle sfere di dimensione ≥ 2 sono orientabili. Abbiamo
Proposizione 4.5.4. Se m ≥ 2, ogni fibrato vettoriale reale su Sm`e orientabile, ed ha esattamente due orientazioni, che dipendono dalla scelta dell’orientazione su una singola fibra. Le fibre di (4.3) contengono al pi`u due elementi. Hanno un solo elemento quelle che corrispondono a fibrati vettoriali che ammettano un automorfismo che inverte l’orientazione delle fibre, due elementi altrimenti.
Poich´e SO(n) `e un retratto di deformazione di GL+
n(R), abbiamo π(Sm−1, GL+n(R)) ' π(Sm−1, SO(n)) ' πm−1(SO(n)).
Si ragiona in modo analogo per fibrati vettoriali complessi o quaternionici. In questi casi i gruppi lineari sono connessi e, poich´e U(n) ed Sp(n) sono retratti di deformazione di GLC(n) e di GLH(n), rispettivamente, otteniamo:
Proposizione 4.5.5. Per ogni intero m ≥ 1 abbiamo
VCn(Sm) ' πm−1(U(n)), VHn(Sm) ' πm−1(Sp(n)). 4.6. La propriet`a (S )
Sia B uno spazio topologico. Fissiamo il corpo K ed indichiamo con θn il fibrato banale (B× Kn, prB,B, Kn).
Definizione 4.6.1. Diciamo cheBgode della propriet`a (S ) se
(S ) ∀ ξ ∈VK(B) ∃ η ∈VK(B) tale che ξ ⊕Bη ≈ θn, per qualche n ∈ N. Proposizione 4.6.2. Ogni compatto di Hausdorff gode della propriet`a (S). Dimostrazione. Sia ξ un fibrato vettoriale con fibra tipica Knsulla baseB. Se
B `e compatta, ξ ammette atlante di trivializzazione finitoA= {(Ui, σi) | 1 ≤ i ≤ `}. Uno spazio compatto di Hausdorff `e normale e possiamo perci`o trovare una parti-zione dell’unit`a {κi | 1 ≤ i ≤ `} suBsubordinata al ricoprimento {Ui}.
Definiamo ˆσi:B× Kn →E(ξ) ponendo ˆσi(b)(v)= κi(b) · σi(b)(v), se b ∈ Ui, 0, se b < supp (κi).
Consideriamo il fibrato banaleΘ ∈ VK(B) con spazio totaleB× [Kn]`. L’applica-zione
ψ:B× [Kn]`3 (b;v1, . . . , v`) −→X`
i= 1ˆσi(b)(vi) ∈E(ξ)
definisce un epimorfismo di fibrati vettoriali suB. Il suo nucleo `e un sottofibrato vettoriale η ∈ VK(B) diΘ. Per il Corollario 4.2.7, η ha un complemento η0inΘ, che `e equivalente a ξ : infatti la restrizione di ψ adE(η0) definisce l’isomorfismo di fibrati vettoriali η0 ↔ ξ. Otteniamo quindi ξ ⊕B η ≈ Θ. La dimostrazione `e
completa.
Osservazione 4.6.3. Dalla Proposizione 4.6.2 e dall’invarianza omotopica, ri-caviamo che ogni spazio cellulare omotopicamente equivalente ad uno spazio cel-lulare finito gode della propriet`a (S).
Possiamo dare un criterio per la validit`a della propriet`a (S ) su spazi paracom-patti utilizzando la nozione di dimensione di Lebesgue e ˇCech (vedi [26, p.107]).
Definizione 4.6.4. La molteplicit`a di una famiglia di sottoinsiemi U = {Ui}i∈I diB`e il cardinale, finito o infinito,
supb∈B#{i ∈ I | b ∈ Ui}.
Dato un intero non negativo m, diciamo che lo spazio topologicoBha dimen-sione finita minore o uguale ad m, e scriviamo dim(B) ≤ m, se ogni suo ricopri-mento aperto ammette un raffinamento di molteplicit`a minore o uguale ad (m+1).
Poniamo allora dim(B)= inf{m ∈ Z+ | dim(B) ≤ m}. SeBnon ha dimensione finita, poniamo dim(B)= ∞.
Per variet`a differenziabili e complessi cellulari, questa nozione, puramente topologica, coincide con le usuali definizioni della dimensione.
Proposizione 4.6.5. Ogni spazio topologico paracompatto di dimensione finita gode della propriet`a(S ).
Dimostrazione. SianoBuno spazio paracompatto di dimensione finita m e ξ un fibrato vettoriale suB, con fibra tipica Kn. Per ipotesi, possiamo trovare un atlan-te di trivializzazioneA= {(Ui, σi) | i ∈ I} tale che il ricoprimento apertoU= {Ui}
4.7. CLASSIFICAZIONE OMOTOPICA I: BASE CW 95
sia localmente finito ed abbia molteplicit`a minore o uguale ad (m+1). Fissiamo un ordinamento totale “≺” sull’insieme I degli indici. Per la paracompattezza di B
possiamo trovare una successione di raffinamenti aperti U(h)= {Uh,i | i ∈ I} tali che U= U(m+1)< U(m)< · · · < U(1) < U(0), con ¯Uh,i ⊂ Uh+1,i, ∀i ∈ I, 0 ≤ h ≤ m. Ciascuna delle famiglieU(h) `e localmente finita ed ha molteplicit`a minore o ugale ad (m+1). Definiamo per ricorrenza i chiusiChe gli apertiBhponendo
Cm+1= ∅, Ch=Ch+1∪[ i0≺···ih
¯
Uh,i0,...,ih, Bh=B\Ch, 0 ≤ h ≤ m. Siano poiW(h)= {Wh,i= Uh,i\Ch| i ∈ I}. Osserviamo allora che ciascun W(h)`e un ricoprimento aperto diBhcon molteplicit`a minore o uguale ad h. `EW(m+1)= U. In questo modo le
W(h,h)= {Wh,i1,...,ih= Wh,i1∩ · · · ∩ Wh,ih | i1 ≺ · · · ≺ ih}, 1 ≤ h ≤ m + 1, sono famiglie di aperti disgiunti e, per costruzione, se poniamo Wh= S W(h,h), `e B= W1∪ · · · ∪ Wm+1. Infatti il complemento diBh contiene tutti i punti diBche appartengono a pi`u di h elementi diU(h).
Ogni Wh, essendo unione disgiunta di aperti di trivializzazione per ξ, `e esso stesso un aperto di trivializzazione per ξ. QuindiBammette un ricoprimento finito mediante aperti di trivializzazione. Possiamo dunque concludere la dimostrazione ripetendo gli argomenti usati nella dimostrazione della Proposizione 4.6.2 per il
caso in cuiBfosse compatto.
4.7. Classificazione omotopica I: base CW
Per classificare i fibrati vettoriali a meno di equivalenza possiamo utilizzare i risultati del §3.6. Infatti, il fibrato principale associato ad un fibrato vettoria-le di rango n ammette sempre una riduzione ad un fibrato principavettoria-le sul gruppo O(n), U(n), Sp(n), a secondo che il corpo K sia quello dei reali, dei complessi o dei quaternioni. Indichiamo conVn
K(B) le classi di equivalenza di fibrati vettoriali di rango n suB.
Definizione 4.7.1. Chiamiamo fibrato tautologico sulla grassmanniana Grm(Kν) il fibrato vettoriale γm(Kν), di rango m su K con
E(γm(Kν))= {(`, v) ∈ Grm(Kν) × Rν|v ∈ `}, B(γm(Kν))= Grm(Kν), πγm(Kν):E(γm(Kν)) 3 (`,v) −→ ` ∈ B(γm(Kν)).
Proposizione 4.7.2. SeB`e uno spazio cellulare di dimensione minore o uguale ad m ed n, ν interi con 0 ≤ n ≤ ν. La corrispondenza
C (B, Grn(Kν)) 3 f −→ f∗(γm(Kν)) ∈VKm(B) definisce per passaggio al quoziente un’applicazione
che `e un isomorfismo nei casi seguenti:
K = R e ν > n + m, K = C e 2ν > 2n + m,
K = H e 4ν > 4n + m.
Osservazione 4.7.3. Nel caso in cui la base B sia la sfera Sm, riotteniamo i risultati del §4.5. Infatti (vedi il Cap. III)
π(Sm, Grn(Rν)) ' πm(Grn(Rν)) ' πm−1(SO(n)), se ν > n+ m, π(Sm, Grn(Cν)) ' πm(Grn(Cν)) ' πm−1(U(n)), se ν > 2n+ m, π(Sm, Grn(Hν)) ' πm(Grn(Hν)) ' πm−1(Sp(n)), se ν > 4n+ m.
4.8. Classificazione omotopica II: base compatta
Consideriamo in questo paragrafo il problema della classificazione di fibrati vettoriali che abbiano basi compatte e di Hausdorff.
Proposizione 4.8.1. SiaBuno spazio di Hausdorff compatto edAun suo sot-tospazio chiuso. Se ξ `e un fibrato vettoriale suB, allora ogni sezione di ξ su A `e restrizione di una sezione suB.
Dimostrazione. Gli spazi di Hausdorff compatti godono della propriet`a (S ). Possiamo perci`o supporre che ξnsia un sottofibrato di un fibrato vettoriale banale
θν= (B×Kν, prB,B, Kν).
Consideriamo un ricoprimento aperto finitoU= {Ui} diBmediante aperti di trivia-lizzazione di ξ e siano φi: Ui× Kn→E(ξ)|Uile funzioni di trivializzazione. Una se-zionev∈Γξ(A,E(ξ)) definisce funzionivi∈C (A∩Ui, Kn) tali chev(b)= φi(b,vi(b)) per b ∈A∩ Ui. Poich´e i sottospazi di un compatto di Hausforff sono spazi norma-li, possiamo applicare il lemma di estensione di Urysohn per trovare ˜vi∈C (Ui, Kn) tali che ˜vi(b)=vi(b) se b ∈A∩ Ui. Poich´e i compatti di Hausdorff sono paracompat-ti, possiamo trovare una partizione continua {κi} dell’unit`a suBcon supp (κi) ⊂ Ui. Definiamo ora ˆ vi= κi(b) · φi(b, ˜vi(b)), se b ∈ Ui, 0, se b < supp (κi).
Allora ˆvi∈Γξ(B,E(ξ)) e ˆv= Pivˆi(b) `e una sezione continua di ξ suBche estendev. Lemma 4.8.2. Siano ξ, η due fibrati K-vettoriali sullo spazio compatto di Hau-sdorffBedAun sottospazio chiuso diB.
Ogni applicazione continua f ∈C (E(ξ)|A,E(η)|A) che renda commutativo il diagramma E(ξ)|A f // πξ ""E E E E E E E E E E(η)|A πη ||yyyyyy yy A
4.8. CLASSIFICAZIONE OMOTOPICA II: BASE COMPATTA 97
si pu`o estendere ad un’applicazione continua ˜f ∈C (E(ξ),E(η)) che renda commu-tativo il diagramma E(ξ) f˜ // πξCCC!!C C C C C E(η) πη }}{{{{{{ {{ B.
Se f(b) `e surgettiva (risp. iniettiva, un isomorfismo) in tutti i punti b diA, allora possiamo trovare un intorno aperto U diAinBtale che ˜f(b) sia surgettiva (risp. iniettiva, un isomorfismo) per tutti i b ∈ U.
Dimostrazione. Basta applicare la Proposizione4.8.1 al fibrato HomK(ξ, η) del-le applicazioni K-lineari tra del-le fibre di ξ e di η ed osservare poi che i punti b diBin cui ˜f(b) `e surgettiva, (risp. iniettiva o un isomorfismo) formano un aperto diB. Possiamo utilizzare il Lemma 4.8.2 per dimostrare un teorema d’invarianza omotopica. Premettiamo un lemma.
Lemma 4.8.3. Sia Bun compatto di Hausdorff e ξ un fibrato K-vettoriale su B ×I. Per ogni t ∈ I sia jt :B3 b → (b, t) ∈ B× I. Allora i fibrati j∗t(ξ) suBsono tutti equivalenti.
Dimostrazione. Poich´e B × I `e compatto Hausdorff, vale la propriet`a (S ) e quindi il fibrato ξ `e un sottofibrato di un fibrato banale
θν= (prB×I: (B× I) × Kν→B× I.
Scegliendo un prodotto scalare (riemanniano, hermitiano o iperhermitiano, a se-conda che sia K = R, C, H), la proiezione ortogonale sulle fibre di ξ ci d`a un morfi-smo surgettivo di fibrati vettoriali
E(θν) $ // prRRB×IRRR ))R E(ξ) πξ vvmmmmmm B× I.
Fissato t0 ∈ I, possiamo definire un omomorfismo tra la restrizione ηt0= ξ|B×{t0}di ξaB× t0e la restrizione ηt= ξ|B×{t}di ξ aB× {t} nel modo seguente: il pullback ˜ξt0 di ηt0 mediante la retrazione ρt0(b, t)= (b, t0) diB× I suB× {t0} `e un sottofibrato K-vettoriale di θν. Componendo con la proiezione $, otteniamo un morfismo di fibrati K-vettoriali E(ηt0) ft0,t −−−−−→ E(ηt) y y B× {t0} −−−−−−−−→(b,t0)→(b,t) B× {t}
che, per il Lemma 4.8.2, `e un isomorfismo di fibrati vettoriali se |t − t0| < (t0) per un (t0) > 0 sufficientemente piccolo. Per concludere la dimostrazione, basta considerare una partizione 0= τ0< τ1< · · · < τN= 1 tale che, , per 0 ≤ h ≤ N − 2, gli ηtdi ogni intervallo (τh, τh+2) siano tra loro isomorfi.
Proposizione 4.8.4. Siano ξ un fibrato K-vettoriale, B un compatto di Hau-sdorff ed f0, f1 due applicazioni continue diBinB(ξ). Se f0ed f1sono omotope, allora i fibrati f0∗(ξ) ed f1∗(ξ) sono equivalenti.
Dimostrazione. Sia f ∈ C (B × I,B(ξ)) un’omotopia tra f0ed f1. Allora f0∗(ξ) ed f1∗(ξ) sono isomorfi alle restrizioni a B × {0} ed a B × {1} di f∗(ξ) e dunque isomorfi per il Lemma 4.8.3. Questo isomorfismo definisce l’equivalenza tra f0∗(ξ)
ed f1∗(ξ).
Lemma 4.8.5. SianoB un qualsiasi spazio topologico e ξ0, ξ1, due fibrati K-vettoriali suB. Se ξ0e ξ1sono equivalenti, allora possiamo trovare un automorfi-smo di ξ0⊕Mξ1, isotopico all’identit`a, che trasformi ξ0in ξ1e ξ1in ξ0.
Dimostrazione. Un automorfismo di un fibrato ζ `e isotopico all’identit`a se `e l’ f1 di un’omotopia f= ( ft) ∈ C (E(ζ) × I,E(ζ)) che definisca, per ogni t ∈ I, un’equivalenza di ζ in s´e.
Ad un’ equivalenza h : E(ξ0) → E(ξ1) facciamo corrispondere l’equivalenza di ξ0⊕Bξ1rappresentata dalla matrice
˜h= 0 −h−1
h 0
! , che scambia tra loro ξ0e ξ1. La
t → ˜ht= I −t · h0 I −1 ! I 0 t · h I ! I −t · h−1 0 I !
definisce un’isotopia tra ˜h0= id ed ˜h1= ˜h.
La costruzione nella dimostrazione del Lemma 4.8.5 ci d`a:
Lemma 4.8.6. SianoB un qualsiasi spazio topologico e ξ0, ξ1, due fibrati K-vettoriali su B. Se ξ0 e ξ1 sono equivalenti, allora possiamo trovare un fibrato K-vettoriale ξ con base B × I tale che ξi≈ ξ|B×{i}, per i = 0, 1.
Dimostrazione. Usando le notazioni della dimostrazione del Lemma 4.8.5, definiamo ξ ponendo E(ξ)= {(b, t; w) ∈ (B × I) ×E(ξ0⊕Mξ1) |w ∈ ˜ht(Eb(ξ0))}, πξ(b, t;w )= (b, t), ∀(b, t; w) ∈E(ξ).
Si verifica facilmente che questo fibrato sulla base B×I ha le propriet`a richieste. Indichiamo con K∞lo spazio K-vettoriale formato dalle successioni (xh)h≥1di elementi di K che hanno al pi`u un numero finito di termini non nulli. Per ogni intero positivo ν, possiamo identificare Kνal sottospazio di K∞formato dalle successioni (xh) con xh= 0 per h > n.
Definizione 4.8.7. Indichiamo con Grn(K∞) la grassmanniana infinita dei sot-tospazi di dimensione n di K∞.
4.8. CLASSIFICAZIONE OMOTOPICA II: BASE COMPATTA 99
Le inclusioni Kν ,→ K∞ definiscono inclusioniGrn(Kν) ,→ Grn(K∞). I sot-tospazi Grn(Kν), al variare di ν ≥ n, formano un ricoprimento di Grn(K∞). Con-sideriamo suGrn(K∞) la topologia debole del ricoprimento, in cui sono chiusi i sottoinsiemi che intersecano ciascuno deiGrn(Kν) in un chiuso, ovvero la pi`u fine per cui tutte le inclusioni Grn(Kν) ,→ Grn(K∞) siano continue. In particolare, se
B `e un compatto ed f ∈ C (B, Grn(K∞)), allora f (B) ⊂ Grn(Kν) per qualche intero positivo ν.
Definizione 4.8.8. Chiamiamo fibrato tautologico sulla Grassmanniana infinita Grn(K∞) il fibrato vettoriale γn(K∞), di rango n su K, con
E(γn(K∞))= {`n, v) ∈ Grn(K∞) × K∞|v ∈ `n}, B(γn(K∞))= Grn(K∞), πγn(K∞) :E(γn(K∞)) 3 (`n, v) −→ `n∈Grn(K∞). Abbiamo una corrispondenza
(4.7) C (B, Grn(K∞)) 3 f −→ f∗(γn(K∞)) ∈VKn(B)
che ad ogni applicazione continua di uno spazio topologicoBnella grassmannia-na dei sottospazi vettoriali di dimensione n di K∞ fa corrispondere la classe di equivalenza di un fibrato K-vettoriale di rango n suB.
Utilizzando il Lemma 4.8.6 e la Proposizione 4.8.4, otteniamo il
Teorema 4.8.9. Sia B un compatto di Hausdorff. Allora la corrispondenza (4.7) definisce, per passaggio ai quozienti, una bigezione
(4.8) π(B, Grn(K∞)) ←→VKn(B)
tra le classi di omotopia delle applicazioni continue diBnella grassmanniana infi-nita dei sottospazi di dimensione n e le classi di equivalenza di fibrati K-vettoriali di rango n suB.
Dimostrazione. L’iniettivit`a `e conseguenza del Lemma 4.8.6, mentre la
sur-gettivit`a segue dalla Proposizione 4.8.4.
Osservazione 4.8.10. Per le Grassmanniane infinite possiamo ripetere la di-scussione svolta per quelle finite. In particolare, utilizzando il fatto che che gli