Quadro Algoritmico per i Modelli Dinamici di Traffico: Assegnazione Dinamica del Traffico ed Equilibrio Dinamico dell’Utente

I modelli di trasporto dinamici che sono stati descritti corrispondono al problema dell’assegnazione dinamica del traffico (DTA), un’estensione del problema dell’assegnazione del traffico menzionato sopra capace di determinare le variazioni di tempo nelle portate veicolare dei collegamenti o dei percorsi e capace di descrivere come la portata veicolare si evolve nel tempo e nello spazio sulla rete (Mahmassani, 2001). Per passare da un DTA ad un equilibrio dinamico dell’utente (DUE), le ipotesi di comportamento su come i viaggiatori scelgono i percorsi devono essere coerenti con il principio dell’equilibrio dinamico dell’utente. Ran e Boyce (1996) formularono la versione dinamica dell’equilibrio dell’utente di Wardrop nei modo seguente: Se, per ogni coppia O/D ad ogni istante di tempo, i tempi effettivi di viaggio compiuti dai viaggiatori che partono nello stesso istante di tempo sono uguali e minimi, allora il flusso dinamico del traffico sulla rete si trova in uno stato di equilibrio dinamico dell’utente (DUE). Friesz et al. (1993) mostrano che l’approccio DUE può essere implementato risolvendo il seguente modello matematico:

[𝜏𝑟𝑠𝑝(𝑡) − 𝜃𝑟𝑠(𝑡)]𝑓𝑟𝑠𝑝(𝑡) = 0, ∀𝑝 ∈ 𝑃𝑟𝑠(𝑡), ∀(𝑟, 𝑠) ∈ ℑ, 𝑡 ∈ [0, 𝑇] 𝜏_𝑟𝑠𝑝(𝑡) − 𝜃_𝑟𝑠(𝑡) ≥ 0, ∀𝑝 ∈ 𝑃_𝑟𝑠(𝑡), ∀(𝑟, 𝑠) ∈ ℑ, 𝑡 ∈ [0, 𝑇]

𝜏_𝑟𝑠𝑝(𝑡), 𝜃𝑟𝑠(𝑡), 𝑓𝑟𝑠𝑝(𝑡) ≥ 0

(2.2.3.1)

E l’equazione di bilancio del flusso:

∑ 𝑓𝑟𝑠𝑝(𝑡) = 𝑑𝑟𝑠(𝑡), 𝑝∈𝑃𝑟𝑠(𝑡)

∀(𝑟, 𝑠) ∈ ℑ, 𝑡 ∈ [0, 𝑇] (2.2.3.2)

Dove frsp(t) è la portata sul percorso p dall’origine r alla destinazione s partendo dall’origine r

nell’intervallo di tempo t, τrsp(t) è il costo effettivo del percorso da r ad s sulla strada p nell’intervallo

di tempo t, θrs(t) è il costo del percorso più breve da r ad s partendo dall’origine r nell’intervallo di

tempo t, Prs(t) è l’insieme di tutti i percorsi disponibili da r ad s nell’intervallo di tempo t, ℑ è l’insieme

di tutte le coppie OD (r, s) presenti sulla rete, drs (t) è la domanda (numero di viaggi) da r ad s

nell’intervallo di tempo t, e T è l’orizzonte temporale. Può essere dimostrato che ciò è equivalente a risolvere un problema di dimensioni finite con diseguaglianza variazionale che consiste nel trovare un vettore di flussi di percorso f* tale che:

[𝑓 − 𝑓∗_]𝑇_{𝜏 ≥ 0, ∀𝑓 ∈ Θ} Θ = {𝑓𝑟𝑠𝑝(𝑡) | ∑ 𝑓𝑟𝑠𝑝(𝑡) = 𝑑𝑟𝑠(𝑡),

𝑝∈𝑃𝑟𝑠(𝑡)

∀(𝑟, 𝑠) ∈ ℑ, 𝑡 ∈ [0, 𝑇], 𝑓𝑟𝑠𝑝(𝑡) ≥ 0}

(2.2.3.3)

Wu et al. (1991, 1998a, b) provarono che ciò è equivalente a risolvere la diseguaglianza variazionale discretizzata: ∑ ∑ 𝜏𝑟𝑠𝑝(𝑡)[𝑓 − 𝑓∗] ≥ 0, 𝑡 = 0,1,2, … , 𝑇 ∆𝑇 𝑝∈ℜ 𝑡 (2.2.3.4)

Dove ℜ = ⋃_{(𝑟,𝑠 ∈ℑ)}𝑃_𝑟𝑠 è l’insieme di tutti i percorsi disponibili e Δt è l’intervallo del tempo di partenza. Per risolvere il modello di assegnazione dinamica del traffico, Florian et al. (2001, 2002) proposero un quadro algoritmico composto da due componenti principali:

1. un metodo per determinare le portate dipendenti dai percorsi sulla rete;

2. un metodo di caricamento dinamico della rete, che determina come questi flussi di percorso danno vita a volumi di arco dipendenti dal tempo, tempi di viaggio dell’arco, e tempi di viaggio di percorso.

Sono stati proposti diversi schemi algoritmici al fine di implementare questo quadro nella pratica, a partire dagli approcci puramente analitici fino a quegli euristici. Nel primo caso, flussi di percorso e reti dinamiche sono implementati analiticamente (Wu, 1991; Wu et al. 1998a, b; Xu et al., 1998, 1999). Gli approcci euristici stimano il flusso di percorso sulla base di algoritmi stocastici, il quale scopo principale è quello di emulare la scelta del percorso dell’utente e poi il caricamento della rete dinamica. Questo caricamento della rete simula il flusso di traffico dinamico o combina i metodi analitici ed euristici per risolvere numericamente l’equazione (2.2.3.4) al fine di ottenere portate

dipendenti dal tempo che garantiscono una soluzione DUE. Da qui il flusso sulla rete si propaga attraverso il caricamento dinamico della rete. La Fig. 2.2.3.1 rappresenta uno schema di quadro computazionale che ipotizza vari criteri di convergenza a seconda dell’approccio algoritmico.

Figura 2.2.3.1 Scelte computazionali per i modelli di traffico (Florian et al., 2001)

In ogni caso, deve essere messo in evidenza che non tutte le implementazioni computazionali di quadri algoritmici forniscono soluzioni DUE. Gli algoritmi di scelta del percorso possono essere raggruppati in due classi: preventiva (Papageorgiou, 1990), che assume implicitamente che le condizioni di traffico nella rete sono prevedibili e i decisori sono a conoscenza di queste condizioni, ad esempio, da esperienza passate, e reattiva, che assume che le condizioni di traffico nella rete non sono prevedibili a causa di incidenti, variabilità della domanda, stocasticità del sistema di traffico, e così via. Però gli utenti hanno a disposizione informazioni in tempo reale sulle attuali condizioni del traffico, ad esempio, i tempi di viaggio che hanno sperimentato, e possono prendere decisioni di percorso strada facendo. Friesz et al. (1993) dimostrano che le soluzioni DUE vengono raggiunte tramite le implementazioni dei meccanismi delle scelte di percorso preventive, combinando tempi di viaggio sperimentati con congetture per prevedere le variazioni temporali dei flussi e dei costi di viaggio. Diversi algoritmi sono stati proposti per risolvere esplicitamente l’insieme di disequazioni variazionali (2.2.3.4) al fine di fornire soluzioni DUE: da algoritmi di proiezione (Wu et al. 1991, 1998a, b; Florian et al., 2001) o metodi di direzioni alternate (Lo and Szeto, 2002) a varie versioni del metodo delle probabilità consecutive (MSA) (Tong and Wong, 2000; Varia and Dhingra, 2004; Florian et al., 2002; Mahut et al., 2003a, b, 2004). Altre proposte che possono essere considerate

un’assegnazione dinamica del traffico derivante dall’implementazione reattiva della decisone del percorso sono quelle che modellano il processo dal punto di vista della teoria della scelta discreta (Ben-Akiva e Lerman, 1985). Questo approccio considera che Prs(t), l’insieme di tutti i percorsi

disponibili da r ad s nell’intervallo di tempo t, sia una scelta finita di alternative, ciascuna con un’utilità percepita dai decisori, cioè, i viaggiatori. L’utilità per ogni alternativa k può essere considerata una variabile casuale composta da una sistematica componente deterministica Ck[v(t)];

l’utilità misurata (dove v(t) è il vettore dei valori al tempo t delle variabili dalle quali quest’utilità dipende); e un aggiuntivo errore casuale εk(v), che rappresenta la percezione dell’errore dovuto alla

mancanza di una perfetta informazione. Quindi l’utilità percepita dell’alternativa k (percorso k) al tempo t è:

𝑈_𝑘(𝑡) = −𝜃𝐶𝑘[𝑣(𝑡)] + 𝜀𝑘(𝑣), ∀𝑘 ∈ 𝑃𝑟𝑠(𝑡)

Dove θ è un parametro positivo quando Ck[v(t)] è il valore atteso di un’utilità negativa, ad esempio,

il valore atteso del costo o del tempo di viaggio. Ipotizzando che i termini casuali soddisfino le condizioni che i loro valori attesi siano E[εk(v)] = 0, ∀𝑘 e siano indipendenti, identicamente distribuiti

secondo le variazioni casuali di Gumbel, può essere dimostrato che la probabilità di scelta Pk(t)

dell’alternativa k (percorso k) al tempo t è data dalla funzione logit: 𝑃_𝑘(𝑡) = 𝑒

−𝐶𝑘[𝑣(𝑡)]

∑ 𝑒−𝐶𝑗[𝑣(𝑡)]

𝑗∈𝑃𝑟𝑠(𝑡)

Un noto inconveniente delle funzioni di scelta del logit che sono usate per selezionare i percorsi è che queste non distinguono i percorsi sovrapposti al fine di superare gli effetti collaterali di eventuali scelte sbagliate. Alcuni ricercatori (Cascetta et al. 1996; Ben-Akiva e Bierlaire, 1999) hanno proposto un logit modificato che aggiunge all’utilità un termine di penalizzazione, funzione del grado di sovrapposizione tra i percorsi alternativi. In questo modello, la probabilità di scelta Pk di ciascun

percorso alternativo k appartenente a Prs(t), l’insieme di tutti i percorsi disponibili da r ad s

nell’intervallo di tempo t, è definita come: 𝑃_𝑘(𝑡) = 𝑒

−𝜃{𝐶𝑘[𝑣(𝑡)]+𝐶𝐹𝑘}

∑ 𝑒−𝜃{𝐶𝑗[𝑣(𝑡)]+𝐶𝐹𝑗}

𝑗∈𝑃𝑟𝑠(𝑡)

Dove Ck[v(t)] è il valore atteso dell’utilità percepita per percorsi alternativi k al tempo t, vale a dire, l’opposto del costo di percorso, e θ è il fattore scala, come nel caso del modello logit. Il termine CFk

noto come “fattore di uniformità” del percorso k, è direttamente proporzionale al grado con cui il percorso k coincide con altri percorsi alternativi. Quindi, i percorsi maggiormente coincidenti hanno un fattore CF alto e pertanto utilità minore rispetto a percorsi simili. Un esempio di fattore di uniformità CFk (Cascetta et al., 1996) potrebbe essere:

𝐶𝐹_𝑘 = 𝛽 ln ∑ ( 𝐿𝑗𝑘 𝐿_𝑗1/2 𝐿1/2 _𝑘 )

𝛾

dove Ljk è la lunghezza degli archi comuni ai percorsi j e k, mentre Lj ed Lk sono le lunghezze dei

percorsi j e k rispettivamente. A seconda dei due parametri β e γ, un peso maggiore o minore è dato al “fattore di uniformità”. Nel caricamento dinamico della rete, conosciuto anche come propagazione dinamica del flusso nella rete (Cascetta, 2001), “i modelli simulano come i flussi di percorso continui e variabili nel tempo si propagano attraverso la rete inducendo afflussi, deflussi e occupazioni di arco variabili nel tempo”.

Cominciamo a definire cosa intendiamo per simulazione. Law e Kelton (1991) definiscono la simulazione come l’insieme di tecniche che impiegano computer per imitare – o simulare – le operazioni di vari tipi di servizi o processi del mondo reale. La struttura o processo di interesse è di solito chiamato sistema, e per studiarlo scientificamente spesso dobbiamo costituire un insieme di ipotesi su come questo lavora. May (1990) definisce la simulazione come una tecnica numerica di conduzione di esperimenti su computer, che potrebbe includere caratteristiche stocastiche, essere in natura microscopica o macroscopica, e coinvolgere modelli matematici che descrivono il comportamento di un sistema per lunghi periodi del tempo reale. La simulazione può quindi essere vista come un’alternativa ai modelli analitici consistente in una tecnica che imita su un computer il funzionamento di un sistema reale ed il suo evolversi nel tempo.

Nel seguito analizzeremo come le dinamiche dei flussi di traffico possono essere simulate. Un aspetto chiave nel processo di simulazione riguarda come il modello di simulazione evolve nel tempo. Vi sono due approcci metodologici trattanti il tempo durante la simulazione: tempistica sincrona e asincrona. La tempistica sincrona in simulazione corrisponde alle simulazioni con tempo orientato (time-oriented) nelle quali il tempo nel modello avanza secondo un’unità di tempo propriamente scelta Δt, il passo di simulazione. Le simulazioni asincrone o basate sugli eventi sono quelle nelle quali il tempo avanza secondo diverse quantità che corrispondono agli istanti di tempo ai quali accadono eventi che cambiano lo stato del modello. Con poche eccezioni gli approcci principali della simulazione del traffico sono basati su un avanzamento sincrono del tempo secondo predefiniti passi di simulazione.