Modellazione Mesoscopica dei flussi di traffico

La modellazione mesoscopica dei flussi di traffico si basa solitamente sulla semplificazione che – catturando l’essenziale della dinamica – è meno esigente di dati e computazionalmente i modelli mesoscopici sono più efficiente di quelli microscopici. Questi approcci combinano – in alcuni modi – aspetti microscopici (fin quando si parla di veicoli individuali) e macroscopici, come quelli concernenti la dinamica dei veicoli. Basicamente vi sono due approcci principali per la simulazione mesoscopica: quelli in cui i veicoli individuali non sono presi in considerazione ed i veicoli sono racchiusi in pacchetti o plotoni (sebbene i plotoni possono consistere di un solo veicoli) che si muovono lungo gli archi, come in CONTRAM (Leonard et al., 1989), e quelli in cui le dinamiche del flusso sono determinate dai movimenti semplificati dei veicoli individuali, come DYNASMART (Jayakrisham et al., 1994); DYNAMIT (Ben-Akiva et al., 1997, 2001, 2002); DTASQ (in seguito Dynameq) (Mahut, 2000; Florian et al., 2001, 2002; Mahut et al., 2003a, b, 2004); and MEZZO; (Burghout, 2004; Burghout et al., 2005). Un’altra differenza fondamentale sta nel modo in cui gli approcci mesoscopici considerano il tempo. I metodi più comuni sono basati sulla sincronizzazione del tempo, cioè, simulazioni time-oriented nelle quali il tempo nel modello avanza con un’opportuna unità scelta Δt, conosciuta anche come passo di simulazione. Questo è il caso di DYNASMART e Dynameq. Altri metodi sono asincroni, o basati sugli eventi, ossi, lo stato del modello cambia al verificarsi di alcuni aventi. Il tempo procede quindi in quantità variabili, dipendenti dal momento in cui tali eventi si verificano. Dynameq e MEZZO sono esempi di simulatori mesoscopici basati sugli eventi. I metodo esistenti modellano l’arco, esplicitamente o implicitamente, dividendolo in due parti: la parte in corsa e la parte in coda (Fig. 2.2.4.3.1). La parte in corsa è la parte dell’arco dove i veicoli non subiscono ritardi dalla coda del nodo a valle, dove la capacità è limitata da stop, dare precedenza, o semafori.

Figura 2.2.4.3.1 Modello di arco

I nodi sono modellati a seconda delle interazioni tra i flussi di traffico alle intersezioni, come moduli di trasferimento, o teoria delle code – al fine di tener conto in modo esplicito dei semafori e dei ritardi che causano (Mahmassani et al., 1994). La dinamica del veicolo individuale nella parte in corsa è approssimata da un semplice modello di car-following che è compatibile con la relazione macroscopica velocità-densità dell’arco. Questa velocità è usata per calcolare il più breve tempo al quale il veicolo può uscire dall’arco, a meno che non risulti influenzato dalla coda quando raggiunge il confine tra parte in corsa e in coda. La dinamica del veicoli è dunque regolata dal processo di esaurimento della coda. La frontiera tra parte in corsa ed in coda è dinamica, secondo la coda e i

processi di esaurimento della coda. Varie soluzioni sono state proposte per simulare la dinamica del flusso nella parte in corsa dell’arco. DYNASMART (Jayakrisham et al., 1994) determina la densità dell’arco risolvendo l’equazioni di continuità in forma di differenze finite (2.2.4.1.2), date le densità ed i flussi in ingresso ed uscita per ciascuna sezione a ciascun intervallo di tempo. Le velocità di sezione sono calcolate dalle densità usando la relazione modificata velocità-densità di Greenshield:

𝑢_𝑖𝑡 = (𝑢𝑓− 𝑢0) (1 − 𝑘_𝑖𝑡 𝑘𝑗𝑎𝑚 ) 𝛼 + 𝑢0

Dove 𝑢_𝑖𝑡 e 𝑘_𝑖𝑡 sono rispettivamente velocità media e densità media nella sezione i al tempo t, uf ed u0

sono, rispettivamente, velocità media a flusso libero e velocità minima, kjam è la densità di saturazione, e α è un parametro che misura la sensibilità della velocità alla concentrazione. DYNAMIT usa la relazione generalizzata velocità-densità (2.2.4.1.4) di May e Keller (1967):

𝑢 = 𝑢𝑓[1 − ( 𝑘 𝑘𝑗𝑎𝑚 ) 𝛼 ] 𝛽

Altri modelli, come MEZZO, integrano questo approccio dopo prove empiriche che stabiliscono che vi sono due densità limite kmin e kmax, che rappresentano le densità minime e massime rispettivamente, dove la velocità è sempre una funzione della densità (Del Castillo e Benitez, 1995):

𝑢 = { 𝑢_𝑓, 𝑠𝑒 𝑘 < 𝑘_𝑚𝑖𝑛 𝑢₀+ (𝑢_𝑓− 𝑢₀) [1 − ( 𝑘 − 𝑘𝑚𝑖𝑛 𝑘_𝑚𝑎𝑥− 𝑘_𝑚𝑖𝑛) 𝛼 ] 𝛽 , 𝑠𝑒 𝑘 ∈ [𝑘_𝑚𝑖𝑛, 𝑘_𝑚𝑎𝑥] 𝑢_𝑚𝑖𝑛, 𝑠𝑒 𝑘 > 𝑘_𝑚𝑎𝑥

In Dynameq vi è un approccio completamente differente basato su un modello di simulazione che muove i veicoli singolarmente, secondo un modello di car-following semplificato:

𝑥_𝑛+1(𝑡) = min{𝑥𝑛+1(𝑡 − 𝜀) + 𝜀𝑢𝑓, 𝑥𝑛(𝑡 − 𝑇) − 𝐿}

Dove xn+1(t) è la posizione del veicolo follower n+1 al tempo t; T è il tempo di reazione; uf è la velocità

a flusso libero; L è la lunghezza effettiva del veicolo; ed ε è un arbitrario breve intervallo di tempo. Il modello semplificato dipende solo dalla velocità di flusso libero. Non considera accelerazioni ed include una semplice regola per evitare le collisioni. Può dimostrarsi (Mahut, 2000) che questo modello produce il triangolare fondamentale modello di densità del flusso (Daganzo, 1994). Gli eventi principali che cambiano lo stato del modello sono gli arrivi dei veicoli agli archi e le partenze da questi – o trasferimenti da un arco al successivo, secondo i movimenti di svolta alle intersezioni. La dinamica dei flussi sintetizzata finora corrisponde al caricamento dinamico della rete descritto nel diagramma concettuale di Figura 2.2.3.1. Per completare il simulatore mesoscopico, il meccanismo di caricamento dinamico della rete deve essere combinato con un modelo di scelta del percorso. Per completare la descrizione verrà brevemente esposto uno dei più comuni approcci algoritmici: il metodo delle medie consecutive (Method of Successive Averages - MSAs). La procedura MSA ridistribuisce i flussi tra i percorsi disponibili con una procedura iterativa che, all’iterazione n, calcola un nuovo percorso più breve sprs(t) dall’origine r alla destinazione s all’intervallo di tempo t. Quindi,

𝑃𝑟𝑠𝑛(𝑡) è un percorso da r ad s, e drs(t) è la domanda da r ad s al tempo t; il processo di aggiornamento

del flusso di arco è come segue: Caso a 𝑠𝑝_𝑟𝑠(𝑡) ∉ 𝑃_𝑟𝑠𝑛_(𝑡) 𝑓_𝑟𝑠𝑝𝑛+1_{(𝑡) = {} 𝑎𝑛𝑓𝑟𝑠𝑝𝑛 (𝑡), 𝑠𝑒 𝑝 ∈ 𝑃𝑟𝑠𝑛(𝑡) 𝑒 𝑝 ≠ 𝑠𝑝𝑟𝑠(𝑡) ∀𝑟, 𝑠, 𝑡 (1 − 𝛼𝑛)𝑑𝑟𝑠(𝑡), 𝑠𝑒 𝑝 = 𝑠𝑝𝑟𝑠(𝑡) 𝑐𝑜𝑛 𝑃_𝑟𝑠𝑛+1(𝑡) = 𝑃_𝑟𝑠𝑛_{(𝑡) ∪ 𝑠𝑝} 𝑟𝑠(𝑡) Caso b 𝑠𝑝_𝑟𝑠(𝑡) ∈ 𝑃_𝑟𝑠𝑛_(𝑡) 𝑓_𝑟𝑠𝑝𝑛+1_{(𝑡) = {} 𝑎_𝑛𝑓_𝑟𝑠𝑝𝑛 (𝑡), 𝑠𝑒 𝑝 ≠ 𝑠𝑝_𝑟𝑠(𝑡) ∀𝑟, 𝑠, 𝑡 𝑎𝑛𝑓𝑟𝑠𝑝𝑛+1(𝑡) + (1 − 𝛼𝑛)𝑑𝑟𝑠(𝑡), 𝑠𝑒 𝑝 = 𝑠𝑝𝑟𝑠(𝑡) 𝑐𝑜𝑛 𝑃𝑟𝑠𝑛+1(𝑡) = 𝑃𝑟𝑠𝑛(𝑡)

A seconda dei valori dei coefficienti di ponderazione αn, possono essere implementati diversi schemi

MSA (Carey e Ge, 2007). Forse il valore più tipico è αn = n/(n+1). Varia e Dhingra (2004) propongono

un interessante algoritmo MSA modificato, dove il coefficiente di ponderazione tiene in considerazione una lunghezza di passo variabile che dipende dall’attuale tempo di viaggio del percorso:

𝑎_𝑛 = 𝜆𝑘 [exp (−𝜏𝑟𝑠𝑝(𝑡))] (𝑛 + 1) [∑ exp (−𝜏_{𝑝 𝑟𝑠𝑝}(𝑡))]

Uno dei potenziali svantaggi di calcolo di queste implementazioni di MSA è il numero crescente di percorsi in caso di grandi reti. Per evitare ciò, sono state proposte parecchie implementazioni modificate (Peeta e Mahamassani, 1995; Sbayti et al., 2007). Ad ogni modo, forse una delle implementazioni più efficienti è quella proposta da Florian et al. (2002), che delimita il numero di percorsi alternativi al fine di tenere in conto ogni coppia origine-destinazione. Se K è il numero massimo di percorsi da prendere, allora l’algoritmo procede come prima, alternando i casi a e b finché si raggiunge il percorso K. Si procede poi solo come nel caso b. questa variante dell’algoritmo inizializza il processo sulla base di uno schema di assegnazione incrementale, distribuendo la domanda fra i percorsi più brevi disponibili. Il processo viene ripetuto per un numero predeterminato di iterazioni, dopo il quale nessun nuovo percorso viene aggiunto e la frazione di domanda corrispondente è ridistribuita secondo lo schema MSA. Comunque, tenendo in considerazione la possibilità di ripetere i percorsi più brevi da un’iterazione alla successiva – con lo scopo di prendere massimo K percorsi più brevi differenti – una corretta implementazione dell’algoritmo richiede che il numero di iterazioni n sia definito da coppie O-D ed intervalli di tempo. Tutti i metodi proposti per il DUE sono basati su procedure di simulazione per processi di assegnazione della rete e quindi sono di natura euristica. Pertanto non può essere fornita alcuna prova di convergenza. Di conseguenza, vi è un modo di determinare empiricamente se la soluzione raggiunta può essere interpretata in termini di DUE, nel senso che “i tempi reali di viaggio vissuti dai viaggiatori che partono allo stesso tempo

sono uguali e minimi”. Ciò si basa su una versione ad hoc della funzione dell’intervallo relativo proposto da Janson (1991): 𝑅𝑔𝑎𝑝(𝑛) =∑ ∑ ∑ 𝑓𝑟𝑠𝑝 𝑛 _(𝑡)[𝜏 𝑟𝑠𝑝𝑛 − 𝜃𝑟𝑠𝑛(𝑡)] 𝑝∈𝑃𝑟𝑠(𝑡) (𝑟,𝑠)∈ℑ 𝑡 ∑ ∑ 𝑑_𝑟𝑠(𝑡)𝜃_𝑟𝑠𝑛_(𝑡) (𝑟,𝑠)∈ℑ 𝑡 (2.2.4.3.1)

Dove 𝑓_𝑟𝑠𝑝𝑛 _{(𝑡) è il flusso sul percorso p da r ad s al tempo t all’iterazione n, e la differenza 𝜏}

𝑟𝑠𝑝𝑛 (𝑡) − 𝜃𝑟𝑠𝑛(𝑡) misura il costo in eccesso subito dall’uso di un percorso di costo 𝜏𝑟𝑠𝑝𝑛 (𝑡) invece del percorso più breve di costo 𝜃𝑟𝑠𝑛(𝑡) all’iterazione n. Il rapporto misura il costo totale in eccesso rispetto al costo totale minimo se tutti i viaggiatori avessero usato i percorsi più brevi.

CAPITOLO 2.3