Modellazione Macroscopica dei flussi di traffico

La modellazione macroscopica del traffico è solitamente basata sulla teoria del continuum della portata veicolare il quale obiettivo è la descrizione dell’evoluzione spazio-tempo delle variabili che caratterizzano i flussi macroscopici: volume q(x, t), velocità u(x, t), e densità k(x, t) che assumiamo siano definite ad ogni istante di tempo t ed in ogni punto dello spazio x. L’equazione principale che formalmente rappresenta questa teoria è l’equazione di conservazione (Gerlough e Huber, 1975; Kühne et al., 1992):

𝜕𝑞 𝜕𝑥+

𝜕𝑘

𝜕𝑡 = 0 (2.2.4.1.1)

È anche conosciuta come l’equazione di continuità. Così come l’equazione di continuità in idrodinamica, essa rappresenta formalmente l’ipotesi che, tra due stazioni di conteggio in un tratto autostradale senza entrate ed uscite, il numero di veicoli si conserva. Questa equazione è integrata dalla relazione fondamentale:

𝑞(𝑥, 𝑡) = 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡) (2.2.4.1.2)

Per risolvere l’equazione (2.2.4.1.1), c’è bisogno di un’ulteriore equazione che di solito si basa sull’ipotesi che la portata q è una funzione della densità: q = q(k) o equivalentemente che la velocità è anche una funzione della densità u = u(k), un’ipotesi che si verifica solo in condizioni di equilibrio. L’equazione di continuità (2.2.4.1.1) può essere migliorata aggiungendo un termine di generazione g(x, t) che rappresenta il numero di veicoli entranti o uscenti dal flusso di traffico su una superstrada con entrate/uscite:

𝜕𝑞 𝜕𝑥+

𝜕𝑘

𝜕𝑡 = 𝑔(𝑥, 𝑡) (2.2.4.1.3)

La relazione velocità-densità u = u(k) deve essere fornita da un modello u-k di equazione di stato teoretico o empirico, che prende la forma generale (May e Keller, 1967):

𝑢 = 𝑢𝑓[1 − ( 𝑘 𝑘𝑗𝑎𝑚 ) 𝛼 ] 𝛽 (2.2.4.1.4)

Dove uf è la velocità a flusso libero e kjam è la densità di saturazione. Poiché il modello semplice del

continuum non considera gli effetti dell’accelerazione e dell’inerzia, non descrive fedelmente le dinamiche del flusso di traffico di non-equilibrio. Payne (1971, 1979) suggerì un modello migliorato sostituendo l’equazione (2.2.4.1.4) con una seconda equazione parziale differenziale corrispondente all’equazione del momento in fluidodinamica:

𝜕𝑘 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑞 𝜕𝑥 = 1 𝑇[𝑢𝑒(𝑘) − 𝑢] − 𝑣 𝑘 𝜕𝑘 𝜕𝑥

Dove T è il tempo di distensione; ν è il parametro di previsione; il primo termine a destra è la distensione all’equilibrio, vale a dire, gli effetti della regolazione della velocità dei conducenti alla relazione di equilibrio velocità-densità; e il secondo termine rappresenta la previsione, vale a dire, l’effetto della reazione dei conducenti alle condizioni di traffico a valle. Il modello di Payne fornisce buoni risultati sotto determinate condizioni di traffico ma manca di esattezza sotto condizioni di traffico denso come sulle rampe. Diverse estensioni (Papageorgiou et al., 1989, 1990, 1990; Ross, 1988; Michalopoulos et al., 1991; Kühne, 1989; Papageorgiou and Schmidt, 1991) contribuirono ad un miglioramento accurato del modello di Payne. Molte di queste estensioni includono un termine di correlazione che rappresenta la tendenza del flusso di traffico a regolare la velocità a causa dei cambiamenti delle velocità a flusso libero lungo la carreggiata. Questo è un termine di attrito del traffico stimato empiricamente che modella il rallentamento del traffico alle svolte autostradali, a causa dei flussi di rampa, come una funzione di un parametro di attrito che dipende dal volume entrante o uscente dalle rampe.

È anche un termine di previsione che rappresenta l’effetto della reazione dei conducenti alle condizioni di traffico a valle. Per integrare numericamente queste equazioni, ciascun modello di traffico su sezioni stradali (dimensione spaziale) è discretizzato in tempo e spazio (Messmer e Papageorgou, 1990; Papageorgiou et al., 1989, 1990a; Chronopoulos et al. 1992; Michalopoulos et al., 1991). I modelli macroscopici di simulazione del traffico appartengono al tipo di approcci sincroni. I metodi numerici, che sono utilizzati nelle dinamiche computazionali dei fluidi, possono essere applicati per risolvere queste equazioni (Hirsch, 1998). Per tenere in conto gli effetti dinamici del comportamento del flusso, richiedono anche la definizione dei percorsi di mobilità dipendenti dal tempo, vale a dire, una definizione a istanti di tempo del flusso in ingresso nella sezione d’entrata del modello, come, per esempio, il flusso in ingresso qit attraverso la rampa d’entrata iesima durante

l’intervallo di tempo t, e il flusso risultante dalle rampe di uscita, come il flusso qjt attraverso la rampa

di uscita j durante l’intervallo di tempo t. Quest’ultima quantità è spesso espressa in termini di percentuale di flusso attraverso la sezione principale che lascia la rampa di uscita j. Il calcolo numerico di k, u, e q comincia discretizzando la carreggiata in considerazione in piccoli segmenti Δx e aggiornando i valori di queste variabili di traffico in ciascun nodo della rete discretizzata ad incrementi consecutivi di tempo Δt (Michalopoulos, 1998; Pappageorgiou e Schmidt, 1991). La discretizzazione spaziale di un arco semplice è presentata in Fig. 2.2.4.1.1.

La densità in ogni nodo j, ad eccezione di quelli sul contorno, al passo successivo n+1 è calcolata dalla densità degli archi immediatamente adiacenti (entrambi a monte e a valle j-1 e j+1, rispettivamente) al corrente passo n, secondo la relazione:

𝑘_𝑗𝑛+1 = 1 2(𝑘𝑗+1 𝑛 _{+ 𝑘} 𝑗−1𝑛 ) − ∆𝑡 2∆𝑥(𝑞𝑗+1 𝑛 _{− 𝑞} 𝑗−1𝑛 ) + ∆𝑡 2∆𝑥(𝑔𝑗+1 𝑛 _{+ 𝑔} 𝑗−1 𝑛 ₎ Dove:

 𝑘_𝑗𝑛, 𝑞_𝑗𝑛 sono densità e portata al nodo j al tempo t = t0 + nΔt ;  t0 è il tempo iniziale;

 Δt, Δx sono gli incrementi di tempo e spazio, rispettivamente, tali che Δx/Δt > velocità a flusso libero;

 𝑔_𝑗𝑛 è il tasso di produzione (dissipazione) al nodo j al tempo t = t0 + nΔt ; se non esistono sorgenti o uscite, 𝑔_𝑗𝑛 = 0 .

Una volta determinata la densità, la velocità al tempo t + Δt al passo n+1 è ottenuta dalla relazione di equilibrio della velocità ue(k), vale a dire, 𝑢_𝑗𝑛+1 = 𝑢𝑒(𝑘𝑗𝑛+1), come ad esempio, nel modello lineare di Greenshields (Greenshields, 1934):

𝑢_𝑗𝑛+1 = 𝑢_𝑓(1 −𝑘𝑗 𝑛+1

𝑘_𝑗𝑎𝑚)

Vi sono altri modelli più avanzati, dove uf è la velocità a flusso libero e kjam è la densità di saturazione. Va notato che questa equazione è applicabile per qualunque modello velocità-densità, inclusi quelli discontinui; se un’espressione analitica non è disponibile, allora u può essere facilmente ottenuta numericamente dalla curva u-k. Infine, la portata al tempo t + Δt è ottenuta dalla relazione fondamentale:

𝑞_𝑗𝑛+1 = 𝑘_𝑗𝑛+1𝑢_𝑗𝑛+1

nella quale i valori di k ed u sono dapprima ottenuti con le equazioni precedenti. Misure di efficacia quali ritardi, fermate, tempo totale di viaggio, ecc., possono essere ricavate da k, u e q.