1.a Montaggio del circuito
Si `e montato il circuito secondo lo schema mostrato nel testo dell’esercitazione, utilizzando la barra di distribu-zione grigia per la tensione negativa, quella rossa per la tensione positiva, e quella nera per la massa.
Si sono misurate anche le rispettive resistenze e capacit`a selezionate con il multimetro digitale. I risulati sono riportati qui di seguito:
CT = (1.05± 0.04) nF CF = (0.95± 0.04) nF C1= (20.7± 0.9) nF, R1= (99.5± 0.8) kΩ R2= (0.1001± 0.0009) kΩ.
Si `e infine ruotata la vite del trimmer per regolare il segnale input - del secondo OpAmp (che rappresenta anche la soglia del comparatore), fino ad ottenere
Vsoglia= (236± 7) mV, misurato con l’oscilloscopio.
1.b Analisi funzionamento
Consideriamo in prima analisi solo il sottocircuito del primo OpAmp. Questo `e possibile farlo perch`e la resistenza in ingresso del secondo sottocircuito corrisponde alla serie di R2e della resistenza in ingresso del secondo OpAmp, notoriamente molto grande, dunque in prima approssimazione il circuito a monte rimane imperturbato dal circuito a valle.
Il generatore di onde quadre e il condensatore CT simulano un’iniezione di carica pari a Q = VsCT, dove VS
`e l’ampiezza dell’onda quadra (con segno). Si fissi come t = 0 l’istante dove l’onda quadra ha appena cambiato regime a VS. Imponendo le condizioni inizale appropriate (ricordandosi che prima dell’iniziezione l’onda quadra era nel regime opposto) si trova che Vsh(0) =−2VsCT
CF
. Ora risolvendo in circuito nel dominio del tempo e in in un intervallo in cui l’onda quadra non cambia regime si trova
Vsh(t) =−2VsCT
I conti si sono svolti assumendo il guadagno dell’OpAmp finito e indipendente dalla frequenza. Al termine del calcolo si `e fatto tendere il guadagno Ada +∞. Si noti in particolare come il segno − nell’espressione produca uno sfasamento di π tra il segnale in ingresso e il segnale Vsh.
Mettendo un’onda quadra in ingresso di ampiezza pari a circa 6 V picco-picco, qualitativamente ci aspettiamo che Vshabbia dei picchi positivi a circa 6 V quando l’onda quadra passa dall’essere positiva a negativa, per poi decadere esponenzialmente fino a 0 V; viceversa quando l’onda in ingresso diventa positiva su Vshci aspettiamo
un picco a 6 V per poi crescere esponenzialmente fino allo 0. Notiamo infine che la frequenza dell’onda `e di circa 100 Hz, che corrisponde a un periodo di 10 ms, molto maggiore del tempo caratteristico di caduta del segnale Vsh pari a R1CF = 0.1 ms: questo vuol dire che quando l’onda quadra cambia regime il segnale Vsh`e piatto a 0 V da tempo e quindi ogni iniezione di carica `e indipendende dalla precedente.
Consideriamo ora la seconda parte del circuito. La resistenza R2ha come unica funzione quella di limitare la corrente che entra nell’OpAmp e la caduta di potenziale su di essa `e trascurabile, per tanto assumeremo che V+del secondo OpAmp sia Vsh. Il trimmer R3viene utilizzato come partitore di tensione per regolare il segnale V−al valore Vsoglia; il condensatore C1`e utilizzato invece per rimuovere i disturbi sul segnale V−che potrebbero causare bouncing nell’OpAmp: si comporta infatti come un filtro passa-basso che rimuove tutte le componenti ad alta frequenza. Assumendo il guadagno dell’OpAmp come infinito il segnale in uscita `e
Vout=
15 V, for Vsh> Vsoglia
−15 V, for Vsh< Vsoglia .
Ci aspettiamo quindi che il Vout sia costante a −15 V ad eccezione degli istanti in cui Vsh `e maggiore di Vsoglia∼ 200 mV, dove vale 15 V. Possiamo anche calcolare teoricamente per quanto tempo il segnale Voutresta alto: supponendo che il picco avenga a t = 0, dalla (1) si ricava (omettendo il segno meno e quindi prendendo il valore assoluto si VS)
∆talto= R1CFln
2CTVS
CFVsoglia
. (2)
Per verifcare quanto prevsto dai conti teorici si `e inoltre eseguita una simulazione del circuito al computer, con lo scopo di ottenere le forme dei segnali Vshe Vout. I dettagli della simulazione sono riportati in Figura 1 e nella sua descrizione. Si noti che i segnali simulati rispettano tutte le previsioni fatte in precedenza.
Riportiamo ora le acquisizioni dello schermo dell’oscilloscopio mandando un’onda quadra di 6 V in ingresso.
Notiamo che in prima analisi qualitativa i segnali sono in linea con quanto previsto, come si pu`o vedere in Figura 2. Il valore di ∆taltoche ci aspettiamo sostituendo nella (2) i valori effettivi dei componenti circuitali `e
∆talto, teo= (0.31± 0.01) ms,
mentre quello misurao con l’oscilloscopio `e ∆talto, mis= (340± 5) ms; i due valori sono compatibili entro 2σ.
Concentrandosi sugli istanti in cui Vout `e alto si vedono i primi effetti di non idealit`a dell’OpAmp, come riportato in Figura 3. Qui si osserva che la discesa si discosta molto dall’essere un gradino perfetto. Nella didascalia della Figura 3 si sono formulate alcune ipotesi sul perch`e esiste questo effetto.
Un altro effetto di non idealit`a dell’OpAmp `e quello di avere una slew rate finita. Questo effetto `e ben visibile concentrandosi sugli istanti in cui avviane l’impulso di carica (e quindi lulla salita di Vsh e di Vout), come mostrato in Figura 4.
0 2 4 6 8 10 12 t [ms]
−15
−10
−5 0 5 10 15
V[V]
Figura 1: segnali Vsh (in verde) e Vout (in azzurro) risultanti dalla simulazione del circuito al computer. Lo schema circuitale usato per la simulazione `e riportato qui sotto, con anche i valori assegnati ai componenti circuitali. L’onda quadra in ingresso `e rappresentata in arancione ed ha un’ampiezza selezionata di 6 V picco-picco. Il guadagno dell’OpAmp nella simulazione `e +∞.
La frequenza bandwidth della simulazione `e 100 MHz.
-+ 1nF
100Hz
1nF
100k
100 Vsh
-+ +0,200V
Figura 2: un periodo di oscillazione dei segnali Vsh e Vout. Si noti che le scale verticali sono diverse per i due segnali: il segnale Vout vale circa±15 V, come ci si aspetta dato che il secondo OpAmp `e usato in open loop; il segnale di Vininvece ha un picco di circa 6 V e poi decade esponenzialmente.
Osserviamo infine che, come previsto, Vsh ha anche dei picchi negativi simmetrici a quelli positivi: questi sono dovuti alla parte positiva dell’onda quadra, ma non vanno a influenzare Voutdato che trovandosi sotto lo 0, non cambiano la saturazione del secondo OpAmp.
Figura 3: particolare su Vouta 15 V. Si noti come il segnale `e in realt`a asimmetrico tra salita e discesa: il tempo di discesa `e molto pi`u grande e visibile di quello di salita. Si potrebbe ipotizzare che ci`o sia dovuto al fatto che in realt`a il guadagno dell’OpAmp non `e infinito, ma per V+−V−dell’ordine del 300µV in valore assoluto, l’OpAmp ha un comportamento lineare. In particolare la transizione di discesa inizia quando Vsh `e Vsolglia+ 150µV e termina quando ha raggiunto il valore Vsolglia− 150 µV: dato che Vsh si trova nella parte finale di una caduta esponenziale, varia molto lentamente, facendo si che il tempo impiegato nella transizione sia rilevabile.
Verificando questa ipotesi attraverso una stima del tempo di discesa che questo effetto produce, utilizzando l’equazione (2), si ottiene che esso `e del tutto trascurabile rispetto alla scala in cui `e stato rappresentato il segnale, pertanto non `e da ritenere responsabile. Anche la slew rate non pu`o spiegare la situazione dato che la pendenza `e ben al di sotto dal valore massimo che pu`o asumere. A produrre questo effetto `e probabilmente qualche comportamento non ideale dell’OpAmp al di fuori dal nostro controllo.
Al contrario la salita inzia e finsice con gli stessi valori di VS, ma in questo caso il segnale sta variando molto velocemente (limitato solo dalla slew rate del primo OpAmp) e pertanto l’effetto visto in precedenza non si vede.
Figura 4: particolare sulla salita. Vediamo che anche in questo caso Vout non ha la forma di una quadra ideale, probabilmente a causa della slew rate dell’OpAmp. Anche la salita del segnale Vsh `e parecchio irregolare:
sicuramente la anche in questo caso la slew rate ha un ruolo determinante , ma non `e l’unico effetto che entra in gioco. Una possibile spiegazione `e che l’utilizzo della funzione media dell’oscilloscopio, la quale media su 128 periodi alla volta, distorce la forma del segnale che originariamente fluttua in modo diverso a ogni periodo su valori da noi non controllabili.
1.c Comportamento al variare della carica
La prima questione da affrontare `e scegliere come misurare la durata del segnale in uscita. Dalla Figura 3 `e evidente dove collocare il cursore per l’inizio del segnale alto, dato che il tempo di salita `e irrilevante sulla scala della durata. La stessa cosa non si pu`o dire per`o per la fine del segnale: la transizione tra alto e basso non `e affatto trascurabile rispeto alla durata, e si pone quindi il problema di dove posizionare il cursore per la fine.
Inoltre abbassando l’ampiezza di VS lo stesso problema si presenta anche per la salita.
Si `e scelto quindi di seguire due strade differenti:
1. misurare la durata solamente della parte piatta del segnale;
2. misurare la durata tra quando il seganle si discosta da−15 V a quando torna ad esserlo.
Riportiamo in Tabella 1 i dati raccolti con il primo metodo di misura, mentre in Tabella 2 quelli con il secondo.
Si `e poi eseguito un fit di entrambi i set di dati raccolti con la funzione descritta nell’equazione 2VS[V] ∆talto[ms]
0.268± 0.008 0.0142± 0.0002 0.276± 0.008 0.0234± 0.0002 0.34± 0.01 0.0608± 0.0002 0.42± 0.01 0.0866± 0.0002 0.58± 0.02 0.1180± 0.0002 0.74± 0.02 0.1420± 0.0002 0.99± 0.03 0.1690± 0.0002 1.38± 0.04 0.2020± 0.0002 1.94± 0.06 0.2300± 0.0002 4.2± 0.1 0.3100± 0.0002
Tabella 1: dati raccolti sulla durata del segnale in uscita ∆talto al variare dell’ampiezza VS della quadra in ingresso. Si `e utilizzato il metodo di misura 1 per il tempo.
Si noti il fattore due davanti a VSdovuto al fatto che i voltaggi misurati sono stati presi picco-picco.
∆talto= τ ln
2VS
V¯
,
2VS[V] ∆talto[ms] 0.288± 0.009 0.0970± 0.0002 0.272± 0.008 0.0960± 0.0002
Tabella 2: dati raccolti sulla durata del segnale in uscita ∆talto al variare dell’ampiezza VS della quadra in ingresso. Si `e utilizzato il metodo di misura 2 per il tempo.
Si noti il fattore due davanti a VSdovuto al fatt che i voltaggi misurati sono stati presi picco-picco.
che non `e altro che una rielaborazione dell’equazione (2), dove ¯V = VSCF
CT. Il grafici con la funzione di best fit sono riportati rispettivamente in Figura 5 e in Figura 6. I risultati ottenuti con il metodo 1 sono:
τ = (104± 3) µs,
Vsoglia= (2.2± 0.2) × 102mV, χ2= 69.70,
ndof = 8.000, mentre con il secondo metodo
τ = (94.9± 0.8) µs,
Esso `e compatibile solamente con il secondo dei due fit entro 1σ, mentre il primo `e compatibile entro 2σ. Il valore di Vsogliaal contrario `e compatibile solo con il primo fit, mentre nel secondo caso risulta ampiamente al di fuori dell’intervallo di confidenza. D’altra parte osservando i risultati dei rispettivi χ2si osserva che il secondo fit sembrerebbe risultare pi`u attendibile del primo. Complessivamente riteniamo di non avere modo di ritenere un fit migliore dell’altro siccome in nessuno dei due casi possiamo dire di essere sicuri di avere utilizzato il metodo di misura corretto: dovremmo infatti essere sicuri di trovare l’esatto momento di zero-crossing sia nella salita che nella discesa, ma ci`o risulta molto complicato dato che in queste situazioni si sovrappongono molti effetti di non idealit`a dell’OpAmp, che come motivato in precedenza, non sappiamo trattare quantitavamente.
Per trovare il minimo valore dell’ampiezza per cui c’`e un segnale Vout si `e diminuita prograssivamente l’ampiezza dell’onda quadra fino al punto in cui non era pi`u visibile all’oscilloscopio alcuna deviazione da
−15 V. Il valore cos`ı ottenuto `e:
VS,min,mis= (125± 4) mV.
Come mostrato al punto 1.b il segnale Vout `e alto solo quando il Vsh > Vsoglia, che a sua volta ha un valore massimo pari a 2VS, quindi ci aspetteremmo che
VS,min,att= Vsoglia
2 = (118± 4) mV.
Questo ci da anche la dipendenza di VS,mindalla regolazione del trimmer. I due valori sono di VS,minsono quindi compatibili.
Si noti per`o che il segnale Vout perde completamente la sua forma di onda quadra anche per ampiezze maggiori di VS,min,mis: la figura 7 mostra il limite per cui Vout non ha pi`u nessun tratto orizzontale a 15 V.
0.00
Figura 5: fit realizzato con il metodo di misura del tempo 1. Osserviamo che i punti ad ampiezza pi`u bassa si discostano significativamente dalla retta di best verso il basso: questo `e dovuto al fatto che stiamo considerando solamente la parte piatta del segnale, che per basse ampiezze `e una sottostima abbstanza rilevante dell’effetivo segnale tra i due punti di zero-crossing.
0.10
Figura 6: fit realizzato con il metodo di misura del tempo 2.