Si monta il circuito integratore con i seguenti valori dei componenti indicati:
R1= (0.989± 0.008) kΩ, R2= (9.88± 0.08) kΩ, C = (49± 2) nF, 3.1 Risposta in frequenza
Si invia un’onda sinusoidale e si misura la risposta in frequenza dell’ amplificazione e della fase riportandoli nella tabella 3 e in un diagramma di Bode in figura 6.
Figura 5: screenshot dell’oscilloscopio che mostra la risposta del circuito ad un’onda quadra, mettendo in risalto in particolare la slew rate finita che d`a luogo a una pendenza finita del gradino in uscita
Si ricava una stima delle caratteristiche principali dell’andamento (guadagno a bassa frequenza, frequenza di taglio, e pendenza ad alta frequenza) e si confrontano con quanto atteso. I valori attesi sono stati dedotti dalla funzione di trasferimento:
T (ω) =−R2
R1 · 1
1 + jωCR2 che porta a dedurne AMatteso = R2
R1
, fHattesta = 1
2πR2C e dAV
df = −20 dB/decade, come per tutti i filtri.
Riassumendo
AMatteso= 10.0± 0.1 fHatteso= (332± 14) Hz [dAV/df ]atteso' −20 dB/decade
La figura 6 mostra, sovrapposte ai punti sperimentali, le curve di best fit ottenute attraverso la funzione curve fit di Python; si sono eseguiti due fit, il primo dei quali sull’attenuazione, dove il modello adottato prevede che (in scala bilogaritimica) i punti si allineino su una retta costante al valore di AM (per basse frequenze) e poi su una retta a pendenza negativa (per alte frequenze) intersecanti alla frequenza di taglio, che ha prodotto i seguenti risultati:
AM = 9.8± 0.2
fT = (2.9± 0.3) × 102Hz dAV
df = (−18.9 ± 0.4) dB/decade χ2/ndof = 34.26/6
Per eseguire questo fit non sono stati considerati alcuni punti, per diverse ragioni, riportate nella didascalia di figura 6. Si `e deciso di eseguire un fit su questi dati utilizzando anche la funzione di trasferimento di un
passa-fin[kHz] Vin[V] Vout[V] AV ∆t[µs] φ/π
Tabella 3: Guadagno e fase dell’ integratore invertente in funzione della frequenza.
basso, invece che solo le approssimazioni dei regimi lineare, riportando la relativa curva di best fit sovrapposta ai dati nella figura 7 e ottenendo come risultati:
AM = 9.9± 0.4
fT = (3.5± 0.2) × 102Hz χ2/ndof = 26.01/8
Il secondo fit `e stato eseguito sui valori misurati per lo sfasamento, utilizzando il modello che vede
∆φ = π + arctan f fT
, producendo la curva di fit rappresentata in blu nella parte bassa di figura 6, e dando come risultati:
fT = (3.1± 0.3) × 102Hz χ2/ndof = 40.72/9
Possiamo notare che i valori di AM risultano tutti compatibili tra loro, mentre i valori delle frequenze di taglio sono tutte compatibili tranne i due valori ottenuti dall’analisi del diagramma di bode per le ampiezze con i due modelli diversi. Anche la pendenza della retta ottenuta dal primo fit non `e compatibile con il valore atteso, che per`o `e stato espresso senza incertezza perch`e si tratta di un approssimazione valida nel regime di f fT e possiamo dire che il valore ottenuto dal fit `e comunque in buon accordo con il modello perch`e il valore di questa stima dista meno di 3σ dal valore centrale di best fit. In particolare il χ2del secondo fit risulta notevolmente pi`u basso (il χ2ridotto di tale fit `e compatibile entro 2σ con 1) rispetto al primo, il che lascia supporre che il primo modello adottato sia meno curato e forse non pienamente compatibile con le approssimazioni effettuate.
Risposta ad un’ onda quadra
Si invia all’ ingresso un’ onda quadra di frequenza (11.2± 0.1) kHz e ampiezza (1.51 ± 0.05) V. Si riportano in figura 8 le forme d’onda acquisite all’oscillografo per l’ingresso e l’uscita.
Qualtitativamente possiamo osservare che un’onda quadra in ingresso d`a un’onda triangolare in uscita, sfasata di π rispetto a quanto farebbe un integratore (ma la funzione di trasferimento di questo circuito ha un segno “-” globale che spiega questo effetto). L’ampiezza dell’onda misurata in uscita vale
Voutmisurato = (6.9± 0.2) × 102mV
mentre il valore atteso si pu`o ricavare espanendo in serie di Fuorier l’onda quadra, calcolando di quanto viene attenuata ciascuna componente armonica e confrontando questo valore con lo sviluppo in Fourier di un’onda triangolare, trovando:
Voutatteso= Vin
4R1Cf = (7.0± 0.4) × 102mV
Al fine di ricavare il valore atteso per Vout si `e utilizzata l’approssimazione f fT = 2πR12C, che dovrebbe essere valida in questo regime, e infatti i due valori di Vout, atteso e msiurato, sono compatibili, dunque non sussiste alcuna ragione di dubitarne.
Osserviamo in figura 9 come per basse frequenze il segnale in uscita risenta del tempo finito di carica del condensatore, il che produce le caratteristiche curve esponenziali. Questo effetto pu`o essere spiegato anche guardando le componenti di Fourier dell’onda quadra: le prime armoniche si trovano al di sotto della frequenza di taglio, pertanto vengono in prima approssimazione sfasate di π e hanno un guadagno di circa 10; le armoniche successive invece si trovano gi`a oltre la frequenza di taglio, dove `e presente un’attenuazione e uno sfasamento che dipendono dalla frequenza e che quindi contribuiscono alla formazione della caratteristica pinna di squalo.
Le figure 10 e 11 invece mostrano la risposta del circuito per alte frequenze; notiamo come, in entrambi i casi, in corrispondenza di un gradino in entrata, si registri uno spike in uscita, che distorce apprezzabilmente l’onda triangolare che ci si aspetterebbe. Questo potrebbe essere dovuto al fatto che l’approssimazione di ground virtuale non `e verificata in questo caso, e dunque si verifica una caduta di tensione sulla resistenza interna Rin, che altera il comportamento del OpAmp.
3.2 Discussione
Il filtro costruito `e un passa basso invertente, dunque ci si attende che a basse frequenze il segnale in uscita sia in opposizione di fase rispetto a quello in ingresso, e che tenda a π2 per alte frequenze. Ques’andamento `e rispettato sia per le onde sinusoidali, come si evince dal grafico in figura 6, sia in parte dalla figura 11, dove tuttavia il segnale in uscita `e parecchio distorto e non si presta a troppe osservazioni qualitative. La funzione della resistenza R2 `e quella di stabilizzare il circuito; infatti se non ci fosse, nell’approssimazione di ground virtuale, la funzione di trasferimento sarebbe
Vout
Vin
=− 1
jωR1C
che presenta una divergeza per frequenze nulle dovuta al fatto che la presenza del condensatore porterebbe un’eventuale componente continua del segnale a mandare in saturazione l’OpAmp. La presenza della resistenza R2 in parallelo al condensatore porta alla funzione di trasferimento adottata come modello, ed elimina la divergenza a basse frequenze, provocando una caduta di potenziale anche nella componente continua.
Dichiarazione
I firmatari di questa relazione dichiarano che il contenuto della relazione `e originale, con misure effettuate dai membri del gruppo, e che tutti i firmatari hanno contribuito alla elaborazione della relazione stessa.
10−1 100 101
A
101 102 103 104 105
f [Hz]
−5 0 5 10
Res.Norm
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
∆ϕ[π]
101 102 103 104 105
f [Hz]
−2 0 2 4
Res.Norm
Figura 6: grafico di Bode per ampiezza (sopra) e sfasamento (sotto) della risposta del circuito integratore analizzato. I punti segnati in rosso nel primo grafico sono stati considerati outilers, e dunque non presi in considerazione al fine della procedura di fit. Per quanto riguarda quelli a frequenze maggiori di 100 kHz, il loro andamento si discosta in modo apprezzabile da quello di tutti gli altri, questo probabilmente a causa del fatto che sono stati misurati dopo diverso tempo rispetto ai precedenti, quando si `e deciso di campionare in modo pi`u approfondito tale regione di frequenze, e nel tempo intercorso `e possibile che il sistema non sia rimasto del tutto stabile (ad esempio i componenti dell’OpAmp potrebbero essersi scaldati variando le resistenze interne presenti e dando luogo a effetti che esulano dal modello considerato). Invece il punto a frequenza∼ 300 Hz `e stato escluso perch`e considerato appartenente alla curva del guadagno ma a nessuna delle due rette che si hanno nelle approssimazioni f fT o f fT, in quanto la frequenza corrispondente `e troppo vicina alla frequenza di taglio.
10−1 100 101
A
101 102 103 104 105
f [Hz]
0 2 4
Res.Norm
Figura 7: grafico di Bode per ampiezza con la funzione di un filtro passa-basso. Anche in questo caso i tre punti a frequenze superiori a 100 kHz, considerati outliers nel fit precedente, non sono stati presi in considerazione per questa analisi, e non sono stati nemmeno rappresnentati in questa figura perch`e gi`a appurato che non rispecchiano l’andamento che ci si propone di studiare.
Figura 8: Ingresso ed uscita del circuito integratore per un’ onda quadra di frequenza∼ 11 kHz.
Figura 9: Ingresso ed uscita del circuito integratore per un’ onda quadra di frequenza∼ 98 Hz.
Figura 10: Ingresso ed uscita del circuito integratore per un’ onda quadra di frequenza∼ 130 kHz.
Figura 11: Ingresso ed uscita del circuito integratore per un’onda quadra di frequenza∼ 1.3 MHz. Si noti che a una frequenza cos`ı elevata anche il generatore di di onde non riesce a fornire la forma richiesta in maniera precisa, ma presenta qualche distorsione che contribuisce al comportamento inaspettato dell’OpAmp.