Gruppo B28
Luca Arnaboldi∗, Francesco Loparco†, Veronica Sacchi‡
1 Scopo e strumentazione
Lo scopo dell’esperienza `e ottenere una stima della costante di Rydberg attraverso un’esperienza di interfero-metria. Per via della modalit`a telematica si fa uso di set di dati forniti dai docenti e riportati qui di seguito. La relazione `e divisa in 4 sottosezioni, una per ciascun set di dati, su ciascuno dei quali `e stata eseguita un’analisi indipendente.
2 Gruppo A06
Per prima cosa sono stati usati i dati relativi alla lampada al mercurio per calcolare il passo d del reticolo di diffrazione, utilizzando la relazione
d(sin θi− sin θd) = mλ (1)
avendo a disposizione la lunghezza d’onda della radiazione emessa da questa lampada e l’angolo del primo massimo di diffrazione dato dal reticolo in questo caso. Tuttavia con i dati a disposizione si ottengono degli angoli αHg- relativi ai primi due massimi di diffrazione del mercurio - negativi, condizione a nostro avviso priva di senso.
Si `e supposto che ci fosse qualche errore nella formalizzazione del set di dati, e in particolare si osserva che shiftando i dati relativi al mercurio in modo che βHg7→ βHg+ 180◦si ottiene il passo reticolare:
A questo punto `e possibile utilizzare la relazione (1) per ricavare le lunghezze d’onda di tutte le righe osservate con la lampada a idrogeno; i risultati sono stati riportati in tabella 1.
Riga
1.9615± 0.0004 0.2707± 0.0004 1.000 435.0± 0.3 1.9638± 0.0004 0.2683± 0.0004 1.000 436.9± 0.3 2.0256± 0.0004 0.2065± 0.0004 1.000 486.9± 0.3 2.0832± 0.0004 0.1489± 0.0004 1.000 534.2± 0.3 2.0956± 0.0004 0.1366± 0.0004 1.000 544.4± 0.3 2.1815± 0.0004 0.0506± 0.0004 1.000 615.7± 0.4 2.2305± 0.0004 (1.6± 0.4) × 10−3 1.000 656.6± 0.4 2.4877± 0.0004 −0.2555 ± 0.0004 2.000 434.3± 0.2 2.4952± 0.0004 −0.2631 ± 0.0004 2.000 437.4± 0.2 2.6194± 0.0004 −0.3873 ± 0.0004 2.000 486.4± 0.3 Tabella 1: dati del gruppo A06 e corrispondenti angoli di diffrazione, da cui si `e calcolata la lunghezza d’onda λ di ciascuna delle righe osservate.
L’ordine corrispondente a ciascuna riga spettarle `e stato determinato notando che esiste un unico valore per cui, a partire dagli angoli, la lunghezza d’onda cade nel visibile, e quindi - siccome le righe sono state osservate - m viene univocamente determinato.
∗luca@arnaboldi.lu
†francesco.loparco@live.it
‡ver22albireo@gmail.com
450
3.00 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00
n2
0 1
Res.Norm
Figura 1: punti sperimentali con relative barre d’errore e curva di best-fit, con relativo grafico dei residui per il fit sui dati riportati in tabella 2.
Osserviamo che i valori delle lunghezze d’onda corrispondono tutti al colore della riga associata e per di pi`u le righe intense che ci si attende appartenere alla serie di Balmer corrispondono ciascuna a una delle lunghezze caratteristiche, fatto che sembra confermare l’ipotesi di interpretazione dei dati che si `e assunta per poter calcolare il passo reticolare.
Dalla tabella 1 si nota come ci sia una sovrabbondanza di righe rispetto a quelle attese per la serie di Balmer dell’idrogeno; per individuare quelle da analizzare ci si `e riferiti alla tabella 2 del documento VersioneTelematica-MisuraCostanteRydberg.pdf, e confrontando le lunghezze d’onda abbiamo scelto di considerare solo quelle compatibili entro 4σ con i valori caratteristici indicati nel documento.
Sono risultate selezionate le righe elencate nella tabella 2, che rappresentano Hγ, Hβ ed Hα (le prime due ritrovate anche al second’ordine, il che spiega perch`e consideriamo 5 valori).
Riga
Tabella 2: dati del gruppo A06 su cui si `e eseguito il fit. Viene riportata la lunghezza d’onda e il corrispondente n2come specificato nel testo dell’esperienza.
Ora `e possibile eseguire un fit mediante curve fit di Python sulla funzione 1 ottenendo come parametri di best-fit:
R = (1.0961± 0.0008) × 107m−1 (3)
χ2/ndof = 6.198/4.000 (4)
ed il corrispondente grafico 1.
3 Gruppo B04
Anche in questo caso per prima cosa si passa a calcolare il passo del reticolo di diffrazione utilizzato, in modo analogo a quanto fatto per il gruppo A06.
A questo punto `e possibile usare i dati relativi agli angoli di diffrazione per risalire all’ordine e alla lunghez-za d’onda di ciascuna riga spettarle, usando il protocollo spiegato dettagliatamente nella sezione precedente, riportando tutti i risultati nella tabella 3.
Riga
Tabella 3: dati del gruppo B04 e corrispondenti angoli di diffrazione, da cui si `e calcolata la lunghezza d’onda λ di ciascuna delle righe osservate.
Come prima si osservano pi`u righe rispetto a quelle della serie di Balmer, e usando lo stesso riferimento del gruppo A06 scegliamo di usare per l’analisi sono quelle riportate nella tabella 4. In questo caso abbiamo tenuto tutte le lunghezze d’onda compatibili entro 5σ con i valori caratteristici perch`e limitandosi a soli 2− 3σ si avrebbe un fit su solo due o tre punti, che sarebbe poco rappresentativo.
Osserviamo che un allargamento del criterio di scelta dei dati da analizzare `e necessario solo in questo caso, probabilmente dovuto a misure pi`u grossolane effettuate da questo gruppo. In particolare osserviamo che loro riportano (tabella 3) un solo angolo anche in presenza di un doppietto, con un conseguente aumento dell’incertezza che per`o `e largamente controbilanciata dallo spostamento del valore centrale della lunghezza d’onda, come testimonia il considerevole aumento del χ2di questo gruppo rispetto agli altri.
Riga
Tabella 4: dati del gruppo B04 scelti per eseguire il fit. Sono state riportate le lunghezze d’onda e i relativi n2, associati secondo quanto riportato nel testo dell’esperienza. Si noti che il dato corrispondente a doppietto viola II, `e stato considerato un outlier, per almeno due ragioni:
nonostante il massimo di prim’ordine della riga a cui corrisponde dia una lunghezza d’onda compatibile con quella di Hγ, questo non risulta compatibile nemmeno entro 5σ, e in entrambi i casi in cui si scelga di includere o meno questo dato nel fit, viene a trovarsi a circa 40σ di distanza dalla curva di best-fit.
Infine eseguiamo il fit mediante la funzione curve fit di Python, usando come modello l’equazione riportata in (2). Si ottengono i seguenti paramentri di best-fit e il grafico 2.
R = (1.11± 0.02) × 107m−1 (5)
χ2/ndof = 33.31/3.000 (6)
450
3.00 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00
n2
0 20 40
Res.Norm
Figura 2: punti sperimentali con barre d’errore associate e curva di best-fit, con relativo grafico dei residui per il fit sui dati riportati in tabella 4. Il punto evidenziato in rosso `e il doppietto viola II, la cui lunghezza d’onda non `e compatibile (nemmeno entro 5σ) con la lunghezza tabulata per Hγ, e nonostante fosse stato inizialmente incluso in una prima analisi `e stato considerato un outlier dato che si discosta di circa 40σ dall’andamento atteso (oltretutto la sua lunghezza d’onda non `e nemmeno compatibile con quella della stessa riga viola osservata al prim’ordine).
4 Gruppo B05
Come per i gruppi precedenti per prima cosa si procede al calcolo del passo reticolare:
Tabella 5: dati del gruppo B05 e corrispondenti angoli di diffrazione, da cui si `e calcolata la lunghezza d’onda λ di ciascuna delle righe osservate.
I dati degli angoli di questo gruppo relative alle righe spettrali sono stati inseriti nella tabella 5, e in modo del tutto analogo al procedimento seguito per i precedenti gruppi si sono scelte le righe da considerare per l’analisi, riportandole in tabella 6 (qui abbiamo scelto i dati compatibili entro 1σ con i valori caratteristici delle lunghezze d’onda delle righe di Balmer).
Questi dati sono stati sottoposti alla routine di minimizzazione del chi quadro sempre usando come modello
Riga doppietto viola I
azzurra I rossa II doppietto viola III
azzurra II
n2 λ[nm]
5.000 433± 1 4.000 486± 1 3.000 657± 1 5.000 434.0± 0.8 4.000 486.6± 0.9
Tabella 6: dati del gruppo B05 scelti per eseguire il fit. Sono state riportate le lunghezze d’onda e i relativi n2, associati secondo quanto riportato nel testo dell’esperienza.
450 500 550 600 650
λ[nm]
3.00 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00
n2
−1.0
−0.5 0.0 0.5
Res.Norm
Figura 3: punti sperimentali con relative barre d’errore e curva di best-fit, con relativo grafico dei residui per il fit sui dati riportati in tabella 5.
la funzione riportata in (2); il loro andamento `e quello della figura 3 e i parametri di best-fit ottenuti sono:
R = (1.0970± 0.0016) × 107m−1 (7)
χ2/ndof = 1.595/4.000 (8)
5 Gruppo B06
Come per i gruppi precedenti si `e fatto riferimento all’equazione (1) per calcolare il passo reticolare:
A questo punto `e stato possibile ricavare gli angoli di diffrazioni e le lunghezze d’onda delle varie righe spettarli osservate, che per comodit`a sono state riportate nella tabella 7.
Riga
1.5208± 0.0008 0.4240± 0.0008 1.000 434.0± 0.5 1.5243± 0.0004 0.4205± 0.0003 1.000 436.6± 0.2 1.5880± 0.0006 0.3568± 0.0005 1.000 485.9± 0.3 1.6473± 0.0008 0.2975± 0.0008 1.000 532.8± 0.6 1.6616± 0.0008 0.2832± 0.0008 1.000 544.2± 0.6 1.7503± 0.0006 0.1945± 0.0005 1.000 616.2± 0.4 1.7996± 0.0005 0.1452± 0.0004 1.000 656.8± 0.3 2.0545± 0.0008 −0.1097 ± 0.0008 2.000 434.6± 0.3 2.0601± 0.0006 −0.1153 ± 0.0005 2.000 436.9± 0.2 2.1806± 0.0005 −0.2358 ± 0.0004 2.000 486.4± 0.2 Tabella 7: dati del gruppo B06 e corrispondenti angoli di diffrazione, da cui si `e calcolata la lunghezza d’onda λ di ciascuna delle righe osservate.
Anche in questo caso si osserva che ci sono pi`u righe rispetto a quelle attese per la serie di Balmer; per scegliere quelle da analizzare si `e fatto riferimento alla tabella 2 del file VersioneTelematica-MisuraCostanteRydberg.pdf - come nei casi precedenti - e confrontando le lunghezze d’onda per l’analisi abbiamo scelto di considerare solo le righe elencate nella tabella 8, che rappresentano sempre le righe Hγ, Hβ ed Hα ed hanno lunghezze d’onda compatibili entro 2σ con i valori tabulati.
Riga
Tabella 8: dati del gruppo B06 su cui si `e eseguito il fit. Sono state riportate le lunghezze d’onda e i relativi n2, che poi sono stati passati alla routine di minimizzazione del chi quadro.
A questo punto si `e eseguito il fit mediante curve fit di Python, sempre usando come modello la funzione riportata in (2), ottenendo come parametri di best-fit:
R = (1.0965± 0.0004) × 107m−1 (9)
χ2/ndof = 3.611/4.000 (10)
ed il corrispondente grafico 4.
450
3.00 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00
n2
−1 0 1
Res.Norm
Figura 4: punti sperimentali con barre d’errore associate e curva di best-fit, con relativo grafico dei residui per il fit sui dati riportati in tabella 8.