Il valore tabulato per il rapporto carica-massa dell’elettrone vale1(in modulo)
e m
tabulata= (1.758 820 010 76± 0.000 000 000 53) × 1011C/kg (7) Osserviamo che le stime ottenute sono tra loro tutte compatibili, ma non lo sono con il valore tabulato (7), e si ha un fattore ∼ 2 tra il valore tabulato e le nostre stime. Analizziamo i possibili effetti di alcuni errori sistematici che potrebbero avere un ruolo.
Dipendenza di e/m dal raggio della traiettoria
La presenza di effetti sistematici pu`o essere evidenziata da una dipendenza di me dalla stima del raggio della traiettoria da cui deriva. Per metterla in luce osserviamo i grafici riportati in 5: qualunque sia la stima utilizzata per il raggio della traiettoria possiamo osservare un andamento prettamente discendente all’aumentare del raggio, con i primi due valori che si collocano a ben pi`u di 5σ dal valore mediato.
Ci sono diversi effetti che potrebbero rendere conto di questo comportamento inatteso: innanzitutto la rifrazione del bulbo `e stata totalmente trascurata, mentre ci aspettiamo che corregga la misura del raggio di un fattore dipendente dal raggio stesso, ma che tuttavia ci aspettiamo pi`u rilevanti per raggi grandi (un raggio proveniente direttamente dal centro della sfera non subirebbe alcuna deviazione); inoltre la superficie del bulbo (esterna, ma soprattutto interna) molto probabilmente `e scabra, con effetti rifrattivi di difficile previsione; infine lo spessore del pennello `e sempre approssimativamente lo stesso, indipendentemente dal raggio, ma naturalmente l’errore relativo associato sar`a pi`u rilevante per raggi piccoli.
Osserviamo poi che per raggi piccoli il centro del cerchio non pu`o essere approssimato come molto vicino al centro del bulbo, e la circonferenza rimane molto spostata vero il bordo inferiore, quindi i punti diversi della traiettoria gli elettroni subiscono un campo magnetico diverso, oltre al fatto che gli effetti di rifrazione dovuto al bulbo contribuiscono a distorcere ancora di pi`u la forma della traccia, rendendo le nostre analisi ancora meno affidabili; questi effetti sono propri e molto pi`u rilevanti per i primi due raggi, dunque sembra ragionevole attribuirne la deviazione consistente rispetto agli altri punti, evidenzata in figura 5.
Effetti dovuti al campo magnetico terrestre
Il campo magnetico terrestre a Pisa vale∼ 50 µT, mentre il campo magnetico generato dalle bobine `e dell’ordine del mT, con un errore dell’ordine dell’1− 3%, per cui il fondo `e confrontabile con l’incertezza di misura; dato
1secondo quanto indicato dal NIST in https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?esme
(a) media pesata (blu) sovrapposta ai punti sperimentali, con relative barre di errore, che confrontano l’andamento di me in funzione del raggio delle traiettoria, calcolato con il metodo I.
(b) media pesata (blu) sovrapposta ai punti sperimentali, con relative barre di errore, che confrontano l’andamento di me in funzione del raggio delle traiettoria, calcolato con il metodo II.
Figura 5: andamento di me al variare del raggio della traiettorie campionate.
che differisce di circa 2 ordini di grandezza rispetto al modulo del campo di interesse il suo contributo tanto al modulo, quanto alla direzione del campo totale pu`o essere considerato trascurabile. Per un confronto pi`u quantitativo osserviamo che, assunta l’orientazione della strumentazione come schematizzata nella scheda di consegna, nel caso del campo magnetico pi`u basso con cui si `e lavorato passiamo da Bz = (780± 17) µT a Bz= (781± 17) µT, e dunque si hanno effetti del tutto trascurabili rispetto all’incertezza associata alla misura per altri effetti.
Variazione radiale del campo magnetico
La variazione del campo magnetico lungo l’asse ˆz viene totalmente trascurata in quanto il grafico in figura 1 del file esperienza 2020 telematica.pdf mostra che non ci sono variazioni sensibili entro i∼ 2 cm, che `e molto maggiore dell’incertezza associata al piano di rotazione degli elettroni.
Per quanto riguarda la variazione del campo magnetico legata alla distanza dall’asse di rotazione osserviamo dal grafico in figura 2 del file esperienza 2020 telematica.pdf che entro i 4 cm la variazione `e ∼ 1%, da confrontare con l’errore compreso tra 1% e 3% associato a B; effettivamente questo effetto potrebbe gi`a produrre variazioni sensibili, ma di certo non pu`o spiegare la grandissima discrepanza che si riscontra tra i valori di me ricavati e quello tabulato.
Correzioni dovute alla rifrazione attraverso il bulbo
Utilizzando lo schema in figura 6 `e stato possibile calcolare lo spostamento del raggio dovuto alla rifrazione del bulbo
Figura 6: schema dell’apparato strumentale, con definizione delle grandezze tipiche utilizzate. I cerchi concentrici rappresentano le due superfici del bulbo di raggio R ed r, mentre l’osservatore
`e immaginato al vertice dell’angolo θ; gli angoli α sono gli angoli di incidenza e rifrazione del raggio reale, mentre D `e la distanza tra osservatore e centro del bulbo.
sin γ =
dove n1ed n2sono gli indici di rifrazione di aria e vetro, R ed r sono i raggi interni ed esterni del bulbo, D
`e la distanza tra osservatore e centro del bulbo e θ `e l’angolo sotto cui viene vista la traccia (di porebbe dire che `e il raggio angolare). Da questa descrizione si ricava immediatamente che θ `e legato ai raggi “apparenti” x delle traiettorie dalla relazione:
tan θ = x D
mentre D `e ricavabile dai fit eseguiti sulle calibrazioni delle due scale, come descritto in sezione 1, e vale:
D = (95.5± 1.0) cm.
Fissiamo infine i parametri:
n1∼ 1 n2∼ 1.458 R = 6.000 cm r = 5.500 cm
che sono ragionevoli nel sistema utilizzato (per essere precisi la stima di R−r `e probabilmente esagerata, dunque la nostra `e probabilmente una sovrastima delle deviazioni dovute alla rifrazione) e otteniamo, usando le stime dei raggi delle traiettorie ottenute con il metodo II la tabella 3.
r[cm] ∆h[cm]
4.08± 0.14 0.010± 0.002 4.36± 0.17 0.015± 0.004 3.77± 0.11 (6.7± 1.0) × 10−3 3.890± 0.035 (7.8± 0.4) × 10−3 4.196± 0.059 0.0118± 0.0010 4.313± 0.050 0.0139± 0.0010 3.710± 0.045 (6.2± 0.4) × 10−3 3.550± 0.040 (5.0± 0.3) × 10−3 2.369± 0.094 (1.0± 0.1) × 10−3 2.009± 0.067 (5.9± 0.7) × 10−4
Tabella 3: spostamento dato dalla rifrazione del bulbo a partire dai raggi “apparenti” sotto cui appare la traiettoria, stimati attraverso il metodo II. `E da notare che in tutte queste stime si `e assunta l’orbita centrata attorno al centro del bulbo, un’ipotesi ragionevole per raggi abbastanza grandi ma non verificata dalle due circonferenze di raggio minore.
In tutti i casi l’effetto della rifrazione `e di circa un ordine di grandezza inferiore rispetto all’incertezza associata alla stima del raggio, dunque `e un effetto che possiamo considerare trascurabile.
Conclusioni
Tutti gli effetti fin qui analizzati introducono correzioni dell’ordine del 1% sulle stime effettuate; altri effetti che non sono stati analizzati in dettaglio includono una possibile inclinazione del piano dell’orbita degli elettroni
rispetto all’osservatore o la scabrosit`a delle superifici, che tuttavia dovrebbe risultare trascurabile, e in ogni caso sono tutti effetti che non possono rendere conto del fattore 2 di differenza riscontrato tra le nostre stime e il valore tabulato.
Riteniamo quindi che sia presente un importante effetto sistematico che non `e stato possibile individuare (limi-tazione forse dovuta anche alla modalit`a di lavoro telematica); dalle analisi precedenti osserviamo che il plot dei residui del grafico 1b sembra evidenziare un possibile effetto di questo tipo che dovrebbe essere ulteriormente indagato, e ancora di p`u i χ2dei fit lineari utilizzati per stimare me, risultano insolitamente elevati.
A questo proposito i grafici 3 e 4 sembrano denunciare un andamento s`ı lineare, ma con un offset non banale, e dunque in una successiva prova pratica potrebbe essere opportuno misurare con pi`u cura i valori delle correnti e dei voltaggi, verificando con cautela che sorgenti di campo esterne o accoppiamenti spuri di ogni genere siano trascurabili.
Dichiarazione
I firmatari di questa relazione dichiarano che il contenuto della relazione `e originale, e che tutti i firmatari hanno contribuito alla elaborazione della relazione stessa.