Relazioni di Laboratorio 3

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Relazioni di Laboratorio 3

Luca Arnaboldi Veronica Sacchi Anno Accademico 2019-2020

Sommario

Queste sono tutte le relazioni che abbiamo preparato per il corso Laboratorio 3 dell’Universit`a di Pisa.

Le esercitazioni mancanti (4, 8 e 9) erano solamente per il corso avanzato, da cui noi siamo stati alla larga dato che non siamo degli sperimentali. Buona lettura!

PS: se vuoi “prendere spunto” mentre scrivi le tue relazioni sei libero di farlo, per`o quando ci becchiamo pagaci una birra!

Indice

1 Esercitazione 1 2

2 Esercitazione 2 7

3 Esercitazione 3 11

6 Esercitazione 7 (Arnaboldi) 44

7 Esercitazione 7 (Sacchi) 56

11 Esercitazione Rapporto e/m 84

12 Esercitazione di Ottica 1 94

13 Esercitazione di Ottica 2 102

14 Esercitazione Rapporto e/m 116

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Es01B: Misure di tensione, corrente, tempi, frequenza.

Gruppo 1G.BQ

Luca Arnaboldi^∗, Veronica Sacchi^† 16 ottobre 2019

1 Scopo e strumentazione

L’esercitazione ha lo scopo di impratichirsi con la strumentazione e le tecniche di misura. Abbiamo utilizzato principalmente il multimetro digitale, e, nella parte finale, l’oscilloscopio.

2 Misure di tensione e corrente

2.b Partitore con resistenze da circa 1 k Valori misurati R1e R2e valore atteso di Aexp: R₁= (1771± 14) Ω R2= (1461± 12) Ω Aexp= 0.548± 0.003

Vin[V] Vout[V] Vout/Vin

1.052± 0.005 0.575± 0.003 0.547± 0.004 2.00± 0.01 1.101± 0.006 0.550± 0.004 3.04± 0.02 1.67± 0.01 0.549± 0.005 3.88± 0.02 2.12± 0.01 0.546± 0.005 4.79± 0.03 2.62± 0.02 0.547± 0.005 6.01± 0.03 3.30± 0.02 0.549± 0.004 7.03± 0.04 3.85± 0.02 0.548± 0.004 8.31± 0.04 4.56± 0.02 0.549± 0.004 9.39± 0.05 5.14± 0.03 0.547± 0.004

Tabella 1: (2.b) Partitore di tensione con resistenze da circa 1k. Tutte le tensioni in V.

I dati sono stati analizzati per mezzo di fit iterati con la funzione curve fit di Python, con il fine di tenere in considerazione anche l’errore sulle ascisse. Inizialmente si `e eseguito un fit a due parametri liberi sulla funzione:

V_out= m· Vin+ b

e dato che il valore ottenuto per b risultava compatibile con 0, come atteso, si `e rieseguito il fit con un solo parametro libero, fissando il valore di b a 0.

Questo secondo fit ha portato al valore di best fit:

m = 0.5481± 0.0014 χ²= 0.5074

ndof = 6

compatibile con il valore atteso.

2.c Partitore con resistenze da circa 4M Valori misurati R1e R2e valore atteso di Aexp: R1= (4.81± 0.05) MΩ, R2= (3.82± 0.04) MΩ, Aexp= 0.557± 0.004

∗luca.arnaboldi@arn4.it

†ver22albireo@gmail.com

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1 2 3 4 5

Vout [V]

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Vin [V]

0.25 0.00 0.25 0.50

Res. Norm

Figura 1: (2.b) Grafico Vout vs. Vin con resistenze di circa 1k. In blu sono rappresentati i punti sperimentali con le relative barre d’errore e in verde si ha la retta di best fit.

Vin[V] Vout[V] Vout/Vin

1.510± 0.008 0.550± 0.003 0.364± 0.003 2.57± 0.02 0.93± 0.01 0.362± 0.005 4.17± 0.02 1.52± 0.01 0.365± 0.004 5.19± 0.03 1.88± 0.01 0.362± 0.003 6.80± 0.04 2.47± 0.02 0.363± 0.003 8.81± 0.05 3.20± 0.02 0.363± 0.003 10.02± 0.05 3.65± 0.02 0.364± 0.003

Tabella 2: (2.c) Partitore di tensione con resistenze da circa 4M. Tutte le tensioni in V.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Vout [V]

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vin [V]

0.4 0.2 0.0 0.2

Res. Norm

Figura 2: (2.c) Grafico V_out vs. V_in con resistenze da circa 4M

Come per il punto precedente si `e eseguito un fit iterato inizialmente con due parametri liberi, tentatando di fittare i parametri su una retta generica. Dato che l’incertezza con l’asse delle ordinate risultava compatibile con 0 si `e fissata a 0, rieseguendo il fit su una retta passante per l’origine. Il valore di best fit ottenuto per il

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coefficiente angolare `e:

m = 0.364± 0.001 χ²= 0.5074 ndof = 6

Nonostante il fit sembri essere molto accurato, come si osserva anche dal grafico 2, questo valore è incompatibile con il valore atteso, ottenuto usando ancora il modello del punto 2.b, e questo porta a supporre che tale modello sia inadeguato o incompleto per questa nuova situazione. In effetti per resistenze cos`ı elevate come quelle utilizzate per questa calibrazione il voltmetro non può più essere approssimato come ideale perchè la sua resistenza interna diventa confrontabile con le resistenze campione usate nell’esperienza. Nel punto successivo si trova un tentativo di schematizzare il voltmentro come reale e tenere conto della sua resistenza interna.

2.d Resistenza di ingresso del tester Usando il modello mostrato nella scheda si ottiene R_T = AR1R2

R2− A(R¹+ R2)

dove con A si intende il guadagno A = ^V_V^out_in Con i dati del punto 2.b si ottiene 1/RT = (−2.19 ± 0.07) × 10⁻⁴Ω⁻¹→ RT >∞ kΩ Con i dati del punto 2.c si ottiene

RT = (9.8± 0.5) MΩ

Per quanto riguarda la stima su RT ottenuta dai valori del punto 2.b, dato che l’inverso di RTrisulta negativo per tutto l’intervallo di confidenza allora RT è maggiore di qualunque valore positivo sul ramo dell’iperbole positivo che lo può rappresentare. Al contrario il valore ottenuto con i valori misurati per il punto 2.c è compatibile con quello nominale del tester.

3 Uso dell’oscilloscopio

3.b Misure di tensione Vengono ripetute le misure del punto 2.c ma con pochi punti e senza grafico Vin[V] Vout[V] Vout/Vin

0.50± 0.02 0.127± 0.004 0.25± 0.01 1.01± 0.03 0.44± 0.01 0.43± 0.02 4.1± 0.1 0.60± 0.02 0.148± 0.007 3.4± 0.1 0.52± 0.02 0.151± 0.007 2.36± 0.08 0.32± 0.01 0.136± 0.006 4.9± 0.2 0.68± 0.02 0.140± 0.006 6.1± 0.2 0.90± 0.03 0.147± 0.007 7.5± 0.2 1.10± 0.04 0.146± 0.007

Tabella 3: (3.b) Partitore di tensione con resistenze da circa 4M, misura con oscilloscopio accoppiato in DC.

Tutte le tensioni in V.

Nella didascalia della tabella 3 si `e specificato che le misure riportate in quella tabella sono state effettuate accoppiando l’oscilloscopio in DC. Si osserva infatti che accoppiando l’oscilloscopio in AC il segnale mostrato

è sempre a livello zero, come ci si attende, visto che accoppiando l’oscilloscopio in AC al segnale mandato in input viene sottratta la sua media temporale, e dunque un qualunque segnale in input costante dà in output sempre 0 (un segnale costante è ovviamente sempre costantemente pari alla sua media temporale).

3.d Impedenza di ingresso dell’oscilloscopio Si ripete l’analisi del punto 2.d RIN= (1.23± 0.04) MΩ

che non `e compatibile con la resistenza nominale dell’oscilloscopio.

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4 Misure di frequenza e tempo

4.b Misure di frequenza Misure con onda sinusoidale

• Periodo T ± σT ;

• Frequenza misurata con i cursori: f ± σf;

• Frequenza misurata con la funzione misura dell’oscilloscopio: fosc;

• Frequenza di trigger: ftrg.

T [µs] f [kHz] f_osc[kHz] f− fosc[kHz] f_trig[kHz] f− ftrig[kHz]

(9.5± 0.1) × 10² 1.05± 0.01 1.574 −0.5212 1.578 56 −0.53

89± 1 11.3± 0.2 17.01 −5.724 17.0622 −5.8

6.92± 0.08 145± 2 144.0 0.5339 144.408 0

0.890± 0.002 1124± 3 1693 −569.9 1698.57 −575

Tabella 4: (4.b) Misura di frequenza di onde sinusoidali e confronto con misurazioni interne dell’oscilloscopio

5 Trigger dell’oscilloscopio

5.b Segnale pulse Nella figura 3 possiamo osservare come il segnale pulse abbia la stessa frequenza del segnale sinusoidale ma risulta sfasato rispetto a quest’ultimo; in particolare il segnale pulse `e alto mentre l’onda sinusoidale risulta discendente, al contrario `e nullo entro le incertezze durante la fase di salita del segnale da studiare.

Figura 3: (5.b) Relazione temporale tra il segnale pulse e l’onda principale

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6 Conclusioni e commenti finali

I χ²ottenuti sono piuttosto piccoli, in particolare i χ²ridotti sono sempre minori di 1, il che lascia pensare a una qualche sottostima delle incertezze, nonostante esse siano state calcolate seguendo le indicazioni del manuale. Se le incertezze fossero state sottostimate, una stima corretta potrebbe portare ad un ampliamento dell’intervallo di confidenza dell’inverso del primo valore di RT calcolato, e se tale intervallo si estendesse poi fino alle ascisse positive saremmo in grado di dare un limite inferiore finito alla stima di RT.

Dichiarazione

I firmatari di questa relazione dichiarano che il contenuto della relazione `e originale, con misure effettuate dai membri del gruppo, e che tutti i firmatari hanno contribuito alla elaborazione della relazione stessa.

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Esercitazione 02B: Circuito RC - Filtri passivi

Gruppo 1G.BQ

Luca Arnaboldi^∗, Veronica Sacchi^†

1 Scopo e strumentazione

Lo scopo di questa esperienza era costruire e studiare la risposta in frequenza di alcuni filtri passivi (circuiti RC), in particolare un filtro passa-basso e un filtro passa-banda. Il materiale utilizzato consiste di resistenze e condensatori come componenti, l’oscilloscopio per prendere le misure.

2 Filtro passa-basso

1. Valori misurati di R1e C1:

R1= (3.30± 0.03) kΩ C¹= (10.4± 0.4) nF a) frequenza di taglio teorica fT = (4.6± 0.2) kHz;

b) guadagno a bassa frequenza teorico A = 1;

c) guadagno atteso a 2 kHz AV(2 kHz)teorica= 0.918± 0.006;

d) guadagno atteso a 20 kHz AV(20 kHz)teorica= 0.225± 0.009;

2. Tabella di misure e grafico di Bode.

f [kHz] A

0.104 776± 0.000 007 0.99± 0.04 0.355 16± 0.000 03 0.99± 0.04 1.053 40± 0.000 06 0.97± 0.04 3.3976± 0.0002 0.80± 0.03 9.9800± 0.0006 0.42± 0.02 36.186± 0.002 0.126± 0.005 103.972± 0.005 0.045± 0.002 313.70± 0.02 0.0145± 0.0006 1059.70± 0.06 (4.4± 0.2) × 10⁻³

Tabella 1: risposta del circuito in funzione della frequenza. Le misure delle ampiezze dei segnali in ingresso sono state effettuate mediante l’oscilloscopio e si `e tenuto conto di possibili incertezze di calbirazione nella propagazione degli errori.

a) Guadagni misurati:

AV((2.049 14± 0.000 03) kHz) = 0.89 ± 0.04 AV((20.4867± 0.0003) kHz) = 0.218 ± 0.009 osserviamo che in entrambi i casi i guadagni ottenuti dalle misure sono compatibili con quelli attesi teoricamente.

b) Frequenze di taglio misurate:

i. f_T,A= (4.6± 0.2) kHz;

ii. f_T,B = (4.57± 0.11) kHz;

Questo valore è stato ottenuto fittando i 3 punti a frequenza più bassa rappresentati in figura 1 a una funzione costante, e i 4 a frequenza più alta a una retta (nella scala bilogaritmica,che è una relazione polinomiale nella scala lineare), per poi intersecarle e trovare la frequenza di corner, coincidente con quella di taglio.

∗luca@arnaboldi.lu

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10⁻² 10⁻¹ 10⁰

Av

10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶

f [Hz]

−0.2 0.0 0.2 0.4

Res.Norm

Figura 1: plot di bode per il filtro passa-basso. I punti sono riportati con le relative barre d’errore e la curva blu rappresenta il guadagno in funzione della frequenza come ottenuto da un best fit sui punti sperimentali. I risultati di questo fit portano al valore di best fit fT = (4.617± 0.020) kHz, compatibili con tutti gli altri valori fin qui ricavati.

c) Possiamo osservare che tutte le misure della frequenza di taglio sono compatibili con quella attesa teoricamente dalla misura dei componenti, e risultano anche compatibili tra di loro.

Per quanto riguarda la stima dell’incertezza, nel caso i., per ricavare fT,Asono stati considerati i valori massimo e minimo della frequenza per cui si ha un’attenuazione di circa −3 dB (misurata con un cursore dell’oscilloscopio), prendendo poi media e semidispersione come valore centrale e incertezza.

Nel caso del punto ii. le incertezze sui valori delle frequenze sono risultate trascurabili, dunque si `e applicato il metodo dei minimi quadrati mediante la funzione curve fit di Python.

3. fT = (3.7± 0.3) kHz come ricavata dallo studio della risposta del circuito ad un’onda quadra, che tuttavia non risulta compatibile con nessuna delle misure della frequenza di taglio effettuate con metodi precedenti.

Le acquisizione dell’oscilloscopio sono riportate in Figura 2.

4. Infine i valori teorici calcolati come richiesto dalla guida sono:

a) ZIN= R1(1 +_{jf /f}¹

T) da cui segue che nel limite di bassa frequenza l’impedenza di ingresso `e infinita, mentre per gli altri limiti

Z_IN(f = f_T) = R₁(1− j) ZIN(f fT) = R₁ b) Notiamo innanzitutto che l’impedenza di uscita del passa-basso vale:

Z_out= R1

1 + jωR1C1

e dunque Zout(ω = 0) = R1 = (3.30± 0.03) Ω, mentre all’aumentare della frequenza chiaramente diminuisce in modulo. Ne segue che mettendo in parallelo all’uscita del circuito una resistenza di carico R_L= 100 kΩ R1`e come collegare un circuito aperto in parallelo, dunque il circuito a monte non viene perturbato e la corrente che scorre nella resistenza di carico `e molto piccola.

Al contrario se si inserisce una resistenza di carico RL = 10 kΩ, confrontabile con Zout per basse frequenze, il circuito viene perturbato e si ha un’importante trasferimento di potenza alla resistenza di carico, dato che vi scorre molta pi`u corrente rispetto al caso precedente.

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Figura 2: questa immagine vuole rendere conto del metodo di misura della frequenza di taglio utilizzato nel punto 3. La figura di sinistra riporta la risposta al gradino e i due cursori orizzontali segnano il 10% e il 90% del massimo della curva di risposta; nella figura accanto viene misurato l’intervallo temporale che intercorre tra il superamento del livello del 10% e il raggiungimento del 90%, anche detto tempo di salita.

3 Filtro passa-banda

5. Filtro RC - passa alto:

a) Misure di resistenza e capacit`a usate per il filtro passa-alto:

R2= (3.30± 0.03) kΩ C2= (110.5± 4.4) nF

b) In questo caso si verifica che il guadagno ha l’andamento previsto e in particolare `e massimo per frequenze alte, dove tende al valore unitario. La frequenza di taglio misurata (nel punto in cui l’attenuazione `e−3 dB) risulta:

fT = (454± 23) Hz compatibile con la frequenza teorica f_T= (436± 18) Hz.

6. Filtro passa-banda:

a) Per trovare f0(ovvero la frequenza di centro banda) si `e osservata la frequenza, per cui in modalit`a X-Y, l’ellisse degenera in un segmento. A questa frequenza f₀= (1.4119± 0.0001) kHz il guadagno misurato vale

A0= 0.47± 0.02 non compatibile con il valore teorico di A₀_teorico= 0.5.

Per la misura di f_L ed f_H si `e ricorsi all’oscilloscopio, cercando la frequenza per cui l’attenuazione fosse−3 dB rispetto ad A⁰, ottenendo:

fL= (201± 10) Hz f^H = (10.3± 0.9) kHz

Gli errori su queste misure sono dati dalla semidispersione tra il valore massimo e il valore minimo per cui l’onda in uscita interseca sullo schermo dell’oscillopio la banda del cursore che fissa il livello di attenuazione cercato. I valori attesi teoricamente sono:

f_L= fT_passa−alto

2 = (218± 9) Hz fH = 2f_Tpassa−basso= (9.2± 0.4) kHz e dunque i valori misurati risultano compatibili con quanto previsto dal modello teorico.

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b) Schematizzando il filtro passa-banda come la serie di due quadrupoli (il circuito passa-basso e passa- alto in cascata) si ha:

V_out= A₂V₂= A₂A₁V_in Zin,1

Zout,1+ Zin,2

Atot= A1· A2

Z_in,1

Z_out,1+ Z_in,2 = A1A2

R₂/A₂ R₁A₁+ R₂/A₂

= A1A2

1 1 +^R_R¹₂A1A2

da cui segue che se R1 = R2, come nel nostro caso, Atot = _1+A^A¹^A₁_A²₂ e il guadagno vale al massimo A_tot,max= ¹₂. In particolare, per quanto riguarda le frequenze di taglio, dette ω₁e ω₂le pulasazioni di taglio rispettivamente del filtro passa-basso e passa-alto:

– se ω ω¹ vale A1 ' 1 e A^tot = _1+A^A²

2 = ¹₂·1+jω/(ω^jω/(ω²^/2)2/2), da cui si osserva che la frequenza di taglio f_L=^fTpassa−alto

2 .

– se ω ω²vale A2' 1, per cui A^tot= _1+A^A¹₁ = ¹₂·1+j¹_2ω1^ω da cui si deduce che la frequenza di taglio vale f_H= 2f_Tpassa−basso.

c) Come si evince dallo studio effettuato sul guadagno totale, si ha che Atot= A1A2

R₂/A₂ R1A1+ R2/A2

diventa A_tot = A₁A₂se R₁ R2, dunque questo dovrebbe essere il dimensionamento cercato per ottenere che il guadagno complessivo sia dato dal prodotto dei guadagni dei due sottocircuiti.

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Esercitazione 03B: Amplificatore a transistor

Gruppo 1G.BQ

1 Scopo e strumentazione

Scopo dell’esperienza `e costruire e caratterizzare un amplificatore a transistor usando un transistor NPN 2N1711.

La strumentazione utilizzata consiste di transistor, condensatori e resistitori e i generatori di funzioni e di tensione come componenti, oscilloscpio e multimetro digitale per le misure.

2 Verifica del punto di lavoro

Valori misurati per le componenti utlizzate:

R1= (178.1± 1.4) kΩ R2= (18.14± 0.15) kΩ RC= (9.89± 0.08) kΩ RE= (0.995± 0.008) kΩ Cin= (228± 10) nF Cout= (111± 4) nF

a) Punto di lavoro: i valori misurati per V_CE^Q e I_CE^Q (quest’ultima misurata indirettamente dalla caduta di tensione su RC) sono:

V_CE^Q = (8.38± 0.04) V ICE^Q = (1.07± 0.01) mA mentre i valori ricavati teoricamente sono

VCE= (6.5± 0.3) V I^CE= (1.24± 0.03) mA

Notiamo immediatamente che questi valori non sono compatibili tra di loro. Questo `e probabilmente dovuto all’inaccuratezza del modello che trascura l’effetto della corrente di base. Questo introduce un errore approssimativamente del 10% nella valutazione di I_C^Q. Ripetendo il calcolo cercando di tenere conto di questo effetto si trova:

IC= V_B− VBE

RE+^R_β^B = (8.4± 0.2) V

VCE= VCC− IC^Q(RC+ RE) = (1.07± 0.02) mA

che sono compatibili con i valori ricavati sperimentalmente (con RB si intende la resistenza equivalente al parallelo di R1ed R2).

b) Le tensioni ai capi dei terminali dei transistor sono state misurate direttamente con il voltmetro e sono riportate qui di seguito:

VB = (1.689± 0.009) V VE = (1.08± 0.01) V VBE = (0.613± 0.003) V

VC = (9.45± 0.05) V

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Secondo il nostro modello (il pi`u raffinato, che tiene conto anche degli effetti di I_B) i valori attesi sono:

VBth= VCC

1 +^R_R¹

2

= (1.85± 0.02) V

VEth= Re· IE≈ RE· IC = (1.06± 0.02) V VBEth= VBth− V^Eth= (0.788± 0.005) V

VCth= VCC− R^C· I^C= (9.5± 0.2) V

da cui si nota che VB e VBE non sono compatibili con i valori teorici attesi, mentre tutte le altre misure lo sono.

c) La corrente di base `e stata valutata per differenza tra le correnti di emettitore IE (valutata a partire dalla caduta di tensione su R_E) e di collettore I_C, e vale:

IB = (0.01± 0.02) mA;

la corrente che scorre nel partitore R₁− R2invece vale I_partitore= VCC

R1+ R2

= (0.102± 0.001) mA

Come accennato precedentemente (nel punto 2.a), la corrente di base non risulta affatto trascurabile rispet- to a quella che scorre nel partitore, bens`ı introduce una deviazione di circa il 10%, che, se opportunamente inclusa nel modello, rende comaptibili valori misurati e valori teorici.

3 Risposta a segnali sinusoidali di frequenza fissa

i. Per la verifica dell’inversione di fase del segnale in uscita si pu`o fare riferimento alla figura 1, dove sono mostrati sovrapposti i segnali in ingresso e uscita dall’amplificatore come mostrati dall’oscilloscopio.

ii. Il guadagno `e stato ottenuto per segnali di ampiezza piccola a frequenza fissata a (9.53± 0.01) kHz, eseguenduendo un fit lineare sulla relazione tra l’ampiezza del segnale di uscita e quello in ingresso, misurate con l’oscilloscopio digitale. I dettagli del fit sono riportati in figura 2 e nella sua descrizione. Il valore era atteso essere di circa 10, dunque il nostro valore, anche se non compatibile con 10, soddisfa le aspettative.

Av= 9.43± 0.04

iii. Al fine di verificare la linearità del circuito si è misurato il guadagno mantenendo fissa la frequenza ma variando l’ampiezza del segnale in ingresso fino alla comparsa di chiari comportamenti non lineari (clipping). I dati sono riportati nella figura 2, e i risultati del fit lineare eseguito sono riportati nella sua didascalia. Si può inferire che il modello lineare risulta accurato in questo regime.

iv. Per segnali di frequenza troppo elevata si registra un clipping sia nella parte superiore che in quella inferiore del segnale. Per ampiezze pi`u basse compare il taglio della semionda negativa del segnale in uscita, dovuta alla saturazione, ed aumentando ancora l’amipezza del segnale in ingresso si osserva un clipping anche della semionda superiore, dovuta all’interdizione. Tutte queste osservazioni possono essere dedotte dalle figure 3 e 4.

Dato che il regime di saturazione compare prima di quello di interdizione possiamo dedurne che il punto di lavoro in questo caso non `e completamente simmetrico ma risulta pi`u spostato verso la saturazione.

4 Risposta in frequenza

a) Per misurare la risposta in frequenza `e stato misurato il guadagno dell’amplificatore a frequenze che campionassero l’intervallo di frequenze copreso tra 10 Hz e 1 MHz, con un segnale in ingresso approssimativamente costante, come riportato in tabella 1.

b) Il diagramma di Bode è riportato in figura 5. La funzione guadagno è stata approssimata (facendo riferimento al grafico in scala logaritmica) come una spezzata in 3 tratti, di cui quello centrale parallelo all’asse x. Si sono eseguiti quindi 3 fit separati, includendo oppurtunamente i punti nelle rispettive zone di interesse. Il guadagno a centro banda è risultato essere:

A_c= 9.13± 0.14,

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Figura 1: La figura mostra sovrapposti i segnali in ingresso e in uscita dall’amplificatore che si vuole caratterizzare; entrambi i canali sono rappresentati con la stessa scala e si pu`o apprezzare come il segnale in uscita sia amplificato rispetto al primo e in opposizione di fase.

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0 2 4 6 8 10 12

Vout[V]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Vin[V]

−0.25 0.00 0.25

Res.Norm

Figura 2: punti sperimentali con le relative barre di errore che campionano il regime approssimativamente lineare del circuito. La funzione utilizzata per il fit è Vout = AVin. In blu è raffigurata la retta di fit ottenuta mediante la funzione curve fit di Python iterata per pro- pagare l’errore dalle ascisse alle ordinate. Dal fit risultano χ² = 0.5451, ndof = 7; il valore del χ²è al di sotto di quanto ci si può aspettare: ciò è dovuto a una sovrastima delle incertezze probabilmente causata dalla larghezza di manica del costruttore dell’oscilliscopio nella scrittura delle specifiche sui manuali. In ogni caso il fit mostra che la modellizzazione lineare

`e sufficientemente accurata.

f [Hz] A_v

10.25± 0.01 1.84± 0.08 13.56± 0.01 2.4± 0.1 24.18± 0.01 4.1± 0.2 50.43± 0.01 7.1± 0.3

56± 1 7.9± 0.3

103.84± 0.01 8.6± 0.4 138.089± 0.007 8.9± 0.4 1072.46± 0.05 9.4± 0.4 1562.78± 0.08 9.4± 0.4 10 461.2± 0.5 9.3± 0.4

13 902± 1 9.3± 0.4

105 776± 5 6.1± 0.3 136 152± 7 5.2± 0.2 (1.097 31± 0.000 06) × 10⁶ 0.79± 0.03

Tabella 1: guadagno in tensione dell’amplificatore misurato alle frequenze corrispondenti mediante l’oscilloscopio digitale.

che non è compatibile con quanto misurato in precedenza; questo potrebbe essere dovuto al fatto che i punti più estremi usati all’interno del fit costante fossero in realtà lievemente al di fuori della banda costante, e questi quindi abbiano contribuito all’abbassamento del valore misurato.

c) Le frequenze di taglio superiore e inferiore sono state misurate cercando le frequenze per cui l’attenuazione

`e di circa−3 dB rispetto al guadagno massimo, ottenendo:

fL= (48.6± 2.0) Hz f^H= (93.8± 3.6) kHz

Le frequenze sono state calcolate operativamente cercando la frequenza minima e massima per cui l’attenuazione risultava compatibile con −3 dB, prendendo poi la media come valore centrale e la semidisper-

(15)

Figura 3: Screenshot dello scermo dell’oscilloscopio nel caso di un segnale in ingresso che porta il transistor in regime di saturazione ma non interdizione.

(16)

Figura 4: Screenshot dell’oscilloscopio con segnale in ingresso che porta il transistor a oscillare tra entrambi i regimi opposti di interdizione e saturazione, come si deduce dal clipping di entrambe le semionde, sia positiva che negativa.

sione, sommata in quadratura al 3% dovuto alla calibrazione sulle barre di misura dell’oscilloscopio, come incertezza. Dal diagramma di bode, intersecando con la retta a−3 dB dal guadagno massimo si trovano le frequenze

fLbode= (43.8± 1.4) Hz f^Hbode= (1.03± 0.04) × 10⁵Hz che non sono compatibili con quelle misurate entro 1σ ma lo sono entro 2σ.

Per quanto riguarda la modellizzazione che lega le freqeunze di taglio ai componenti circuitali, possiamo osservare che per basse frequenze le capacità delle giunzioni sono trascurabili, per cui l’unica capacità che ha effetto sul circuito è CIN. Ne segue che il segnale in ingresso è legato al potenziale di base e alla corrente ib dalle relazioni:

vin= vB+ (iB+ vB

R_B)ZCin

vB ≈ iBhie+ hf eiBRE

vout=−RC

R_Evb

da cui si ottiene la tipica funzione di trasferimento di un filtro passa alto:

vout=−R_C RE

1 1− jf/fLth

dove f_Lth=_2πC¹

inRin con R_in= R₁k R2k (hie+ h_{f e}R_E), e usando i valori del datasheet si ottiene:

f_L_th= (49.1± 2.1) Hz compatibile con il valore misurato ma non con quello ottenuto dal fit.

Per quanto riguarda il caso ad alte frequenze, non è più possibile ignorare le capacità parassite date dal transistor ma il sistema risulta molto complicato per poterlo analizzare analiticamente. Un approccio

(17)

10⁰ 10¹

A

10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶

f [Hz]

−1 0 1

Res.Norm

Figura 5: diagramma di bode in cui sono rappresentati i punti sperimentali (con le relative barre d’errore) elencati in tabella 1 e in blu le rette di fit. I χ²dei 3 fit sono rispettivamente χ²= 2.21, ndof = 3; χ²= 3.94, ndof = 5; χ²= 1.03, ndof = 1. Sono in linea con quanto ci si pu`o aspettare, il che significa che il modello scelto tutto sommato descrive bene l’andamento.

che potrebbe essere più fortunato è quello che parte dall’osservazione che per alte frequenze il circuito si comporta come un filtro passa basso, e dunque dobbiamo identificare un circuito passa basso nel circuito equivalente a quello analizzato, in cui siano presenti anche le capacità delle giunzioni.

Delle varie combinazioni possibili quella pi`u verosimile `e quela che vede come resistenza de passa basso il parallelo:

Rout= RC

e come condensatore il parallelo delle capacit`a delle giunzioni:

CT= CCB+ CBE

i cui valori sono forniti dai datasheet del transistor. In questo modo la frequenza di taglio teorica risulterebbe

fHth = 1

2πC_inR_in = (153.3± 1.2) kHz

che chiaramente `e incompatibile con i valori ottenuti precedentemente per fH ma quantomeno d`a corret- tamente una stima dell’ordine di grandezza.

Dichiarazione

(18)

Es05B: Circuiti lineari con Amplificatori Operazionali

Gruppo 1G.BQ

Scopo dell’ esperienza

Misurare le caratteristiche di circuiti lineari realizzati con un op-amp TL081 alimentati tra +15 V e -15 V.

1 Amplificatore invertente

Si vuole realizzare un amplificatore invertente con un’impedenza di ingresso superiore a 1 kΩ e con un amplificazione a centro banda di 10.

1.1 Scelta dei componenti

Si `e montato il circuito secondo lo schema mostrato in figura 1, utilizzando la barra di distribuzione verde per la tensione negativa, quella rossa per la tensione positiva, e quella nera per la massa.

Vin

R1

− +

Vout

+15 V

−15 V R2

Figura 1: Schema di un amplificatore invertente

Le resistenze selezionate hanno i seguenti valori, misurati con il multimetro digitale, con il corrispondente valore atteso del guadagno in tensione dell’amplificatore, rispettando i vincoli posti dal testo.

R1= (1.49± 0.01) kΩ R²= (14.8± 0.1) kΩ A^exp=−10.0 ± 0.1 1.2 Linearit`a e misura del guadagno

Fissata la frequenza del segnale ad f_in = (3.9600± 0.0005) kHz viene inviato all’ ingresso dell’amplificatore.

L’uscita dell’ amplificatore `e mostrata qualitativativamente in Fig. 2 per due differenti ampiezze di V_in (circa 1.44 V Vpp e 5.08 V Vpp, come si pu`o dedurre dalla schermata stessa). Nel primo caso l’ OpAmp si comporta in modo lineare mentre nel secondo caso si osserva un clipping molto pronunciato, come ci si attende quando si esce dal regime di funzionamento lineare dell’ OpAmp.

Variando l’ampiezza di Vinsi misura Vout ed il relativo guadagno AV = Vout/Vin riportando i dati ottenuti in tabella 1 e mostrandone un grafico in Fig. 3, sovrapponendoli alla retta di fit.

Mediante un fit iterato attraverso la funzione curve fit di Python, sulla funzione Vout= AV · Vin, (consi- derando A_V come unico parametro e iterando il fit proprio perch`e in questo caso le incertezze sulle ascisse e le ordinate sono confrontabili), si ottengono i seguenti risultati:

A_best= (9.90± 0.03) χ²/ndof = 0.3315/9

(19)

Figura 2: Ingresso ed uscita di un amplificatore invertente con OpAmp, in zona lineare (a sinistra) e non (a destra). In queste figure i due canali sono mostrati sovrapposti e con la stessa scala, il che permette di apprezzare come il segnale di uscita sia opposto e amplificato rispetto a quello di ingresso.

Vin[V] Vout[V] AV

2.82± 0.08 27.6± 0.8 9.8± 0.4 0.0254± 0.0008 0.252± 0.008 9.9± 0.4 0.286± 0.009 2.82± 0.08 9.9± 0.4 0.58± 0.02 5.7± 0.2 9.9± 0.4 0.86± 0.03 8.6± 0.3 10.0± 0.4 1.13± 0.03 11.1± 0.3 9.8± 0.4 1.42± 0.04 14.2± 0.4 10.0± 0.4 1.70± 0.05 17.0± 0.5 10.0± 0.4 2.00± 0.06 19.8± 0.6 9.9± 0.4 2.22± 0.07 21.8± 0.7 9.8± 0.4 Tabella 1: Voutin funzione di Vin e relativo rapporto.

Il valore di Abestrisulta compatibile con il valore del guadagno atteso teoricamente, Aatt=−10.0 ± 0.1, tuttavia il χ²è molto ridotto, effetto dovuto a una probabile sovrastima delle incertezze (questo è causato dal fatto che si è trascurata la correlazione degli errori del multimetro; in un’analisi più approfondita bisognerebbe separare la parte sistematica da quella stocastica nell’errore, ma ciò esula dai nostri scopi).

Variando l’ampiezza dell’onda in entrata si è potuto stimare che il circuito si comporta linearmente fino a una tensione in ingresso V₁_limite = (2.85± 0.13) V. Ne segue che i dati riportati in tabella 1 sono tutti riguardanti il regime lineare del circuito tranne l’ultimo, che tuttavia non si discosta troppo dall’andamento lineare precdente (anche se si inizia a intravedere una parziale deviazione con il grafico 3). Dato che le tensioni di polarizzazione dell’OpAmp sono di±15 V ci si attendeva che il regime non lineare iniziasse a manifestarsi per Vin∼ 3.0 V; tuttavia è visibile già per tensioni leggermente più basse probabilmente perchè l’OpAmp presenta dei componenti interni su cui si possono avere cadute di potenziale non trascurabile, che potrebbe avere come conseguenza che le tensioni di polarizzazione reali sono inferiori a 15 V.

2 Risposta in frequenza e slew rate

2.1 Risposta in frequenza del circuito

Si misura la risposta in frequenza del circuito, riportando i dati in tabella 2 e in un grafico di Bode nella figura 4, stimando la frequenza di taglio sia sperimentalmente, misurando la frequenza a cui si ha un’attenuazione di

−3 dB dal massimo, che da un fit sul diagramma di bode con il modello di un filtro passa-basso. Inoltre, dal

(20)

0 5 10 15 20 25 30

Vout[V]

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Vin[V]

−0.2 0.0 0.2

Res.Norm

Figura 3: Linearit`a dell’amplificatore invertente. Il grafico mostra i punti sperimentali indicati in tabella 1 con le relative barre d’errore, sovrapposti alla retta di fit in blu.

datasheet dell’OpAmp si deduce come il prodotto guadagno-banda valga GBW = 4 MHz che porta a un valore fTattesa= GBW

2π ·R₁ R2

= (63.8± 0.7) kHz Quella misurata sperimentalmente invece vale:

fTsperimentale= (251.3± 2.5) kHz

fin[kHz] Vin[V] Vout[V] AV

348± 3 0.78± 0.02 4.24± 0.13 5.4± 0.2 257± 3 0.77± 0.02 5.16± 0.15 6.7± 0.3 164± 2 0.77± 0.02 6.32± 0.19 8.2± 0.3 106± 1 0.76± 0.02 7.04± 0.21 9.3± 0.4 44.5± 0.4 0.76± 0.02 7.40± 0.22 9.7± 0.4 23.0± 0.2 0.76± 0.02 7.64± 0.23 10.1± 0.4 10.5± 0.1 0.76± 0.02 7.64± 0.23 10.1± 0.4 4.71± 0.05 0.76± 0.02 7.60± 0.23 10.0± 0.4 2.42± 0.02 0.76± 0.02 7.64± 0.23 10.1± 0.4 1.07± 0.01 0.76± 0.02 7.68± 0.23 10.1± 0.4 0.446± 0.004 0.76± 0.02 7.68± 0.23 10.1± 0.4 0.232± 0.002 0.76± 0.02 7.68± 0.23 10.1± 0.4 0.106± 0.001 0.76± 0.02 7.64± 0.23 10.1± 0.4 0.0431± 0.0004 0.76± 0.02 7.56± 0.23 10.0± 0.4 0.0238± 0.0002 0.73± 0.02 7.28± 0.22 10.0± 0.4 0.0105± 0.0001 0.62± 0.02 6.20± 0.19 10.0± 0.4

Tabella 2: Guadagno dell’amplificatore invertente in funzione della frequenza.

Mediante la funzione curve fit si `e eseguito un fit sui dati riportati in tabella 2 utilizzando come funzione modello quella di un filtro passa-basso:

AV = A0

p1 + (f /fT)²

(21)

10¹

5× 10⁰ 6× 10⁰ 7× 10⁰ 8× 10⁰ 9× 10⁰

A

10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

f [Hz]

−0.2 0.0 0.2 0.4

Res.Norm

Figura 4: Plot di Bode in ampiezza per l’amplificatore invertente.

ottenendo come risultati:

A0= 10.0± 0.1

fTbode = (2.3± 0.1) × 10²kHz χ²/ndof = 0.4181/14

Possiamo osservare che il valore di A₀risulta compatibile con entrambe le stime precedenti, mentre la frequenza di taglio non è compatibile con nesssuna delle stime precedenti, anche se lo è entro 2σ con fTsperimentale. Il χ²tuttavia è molto ridotto, effetto probabilmente dovuto alle ampie incertezze (come apprezzabile dalle dimen- sioni delle barre d’errore in figura 4), probabilmente sovrastimate dal costruttore dell’oscilloscopio, condizione che diminuisce l’affidabilità del fit. Entrambe le stime della frequenza di taglio basate sui dati di laboratorio si discostano significativamente da quella attesa dal valore del prodotto guadagno-banda riportato dal datasheet, tuttavia risulta difficile confrontare i valori ottenuti con questa grandezza perchè riportata senza incertezza sul manuale. Nonostante le incertezze possano essere state sottostimate non sembrano sussistere gravi mancan- ze nelle analisi fin qui effettuate, dunque possiamo supporre che il prodotto-guadagno banda non sia davvero costante in questo caso.

2.2 Misura dello slew-rate

Si misura direttamente lo slew-rate dell’op-amp inviando in ingresso un’onda quadra di frequenza di∼ 2.08 kHz e di ampiezza picco picco∼ 27.2 V, come mostrato in figura 5. Si ottiene:

SRmisurato= (14.2± 0.6) V/µs valore tipico 13 V/µs

Si osserva che il valore misurato per la slew rate `e compatibile con quanto tipicamente atteso, dunque non si registrano deviazioni apprezzabili dal modello adottato.

3 Circuito integratore

Si monta il circuito integratore con i seguenti valori dei componenti indicati:

R1= (0.989± 0.008) kΩ, R2= (9.88± 0.08) kΩ, C = (49± 2) nF, 3.1 Risposta in frequenza

Si invia un’onda sinusoidale e si misura la risposta in frequenza dell’ amplificazione e della fase riportandoli nella tabella 3 e in un diagramma di Bode in figura 6.

(22)

Figura 5: screenshot dell’oscilloscopio che mostra la risposta del circuito ad un’onda quadra, mettendo in risalto in particolare la slew rate finita che d`a luogo a una pendenza finita del gradino in uscita

Si ricava una stima delle caratteristiche principali dell’andamento (guadagno a bassa frequenza, frequenza di taglio, e pendenza ad alta frequenza) e si confrontano con quanto atteso. I valori attesi sono stati dedotti dalla funzione di trasferimento:

T (ω) =−R2

R₁ · 1

1 + jωCR₂ che porta a dedurne AMatteso = R₂

R1

, fHattesta = 1

2πR2C e dA_V

df = −20 dB/decade, come per tutti i filtri.

Riassumendo

AMatteso= 10.0± 0.1 f_H_atteso= (332± 14) Hz [dA_V/df ]_atteso' −20 dB/decade

La figura 6 mostra, sovrapposte ai punti sperimentali, le curve di best fit ottenute attraverso la funzione curve fit di Python; si sono eseguiti due fit, il primo dei quali sull’attenuazione, dove il modello adottato prevede che (in scala bilogaritimica) i punti si allineino su una retta costante al valore di AM (per basse frequenze) e poi su una retta a pendenza negativa (per alte frequenze) intersecanti alla frequenza di taglio, che ha prodotto i seguenti risultati:

AM = 9.8± 0.2

fT = (2.9± 0.3) × 10²Hz dAV

df = (−18.9 ± 0.4) dB/decade χ²/ndof = 34.26/6

Per eseguire questo fit non sono stati considerati alcuni punti, per diverse ragioni, riportate nella didascalia di figura 6. Si `e deciso di eseguire un fit su questi dati utilizzando anche la funzione di trasferimento di un passa-

(23)

fin[kHz] Vin[V] Vout[V] AV ∆t[µs] φ/π 256± 3 1.46± 0.04 0.0524± 0.0016 0.0359± 0.0015 0.960± 0.010 0.491± 0.007 186± 2 1.47± 0.04 0.0516± 0.0015 0.0351± 0.0015 1.28± 0.01 0.476± 0.007 134± 1 1.47± 0.04 0.0628± 0.0019 0.0427± 0.0018 1.76± 0.02 0.470± 0.007 104± 1 1.14± 0.03 0.0476± 0.0014 0.0418± 0.0018 2.50± 0.03 0.522± 0.007 35.2± 0.4 1.46± 0.04 0.1450± 0.0043 0.0993± 0.0042 7.20± 0.07 0.506± 0.007 10.5± 0.1 1.46± 0.04 0.468± 0.014 0.321± 0.014 26.0± 0.3 0.545± 0.008 3.66± 0.04 1.46± 0.04 1.310± 0.039 0.897± 0.038 70.0± 0.7 0.512± 0.007 1.05± 0.01 1.47± 0.04 4.48± 0.13 3.05± 0.13 280± 3 0.587± 0.008 0.344± 0.003 1.47± 0.04 10.20± 0.31 6.94± 0.29 (1.08± 0.01) × 10³ 0.74± 0.01 0.107± 0.001 1.47± 0.04 13.80± 0.41 9.39± 0.40 (4.10± 0.04) × 10³ 0.88± 0.01 0.0355± 0.0004 1.44± 0.04 14.20± 0.43 9.86± 0.42 (1.38± 0.01) × 10⁴ 0.98± 0.01 0.0106± 0.0001 1.21± 0.04 12.00± 0.36 9.92± 0.42 (4.60± 0.05) × 10⁴ 0.97± 0.01 (3.45± 0.03) × 10⁻³ 0.61± 0.02 6.24± 0.19 10.20± 0.43 (1.42± 0.01) × 10⁵ 0.98± 0.01

Tabella 3: Guadagno e fase dell’ integratore invertente in funzione della frequenza.

basso, invece che solo le approssimazioni dei regimi lineare, riportando la relativa curva di best fit sovrapposta ai dati nella figura 7 e ottenendo come risultati:

A_M = 9.9± 0.4

f_T = (3.5± 0.2) × 10²Hz χ²/ndof = 26.01/8

Il secondo fit `e stato eseguito sui valori misurati per lo sfasamento, utilizzando il modello che vede

∆φ = π + arctan f fT

, producendo la curva di fit rappresentata in blu nella parte bassa di figura 6, e dando come risultati:

fT = (3.1± 0.3) × 10²Hz χ²/ndof = 40.72/9

Possiamo notare che i valori di AM risultano tutti compatibili tra loro, mentre i valori delle frequenze di taglio sono tutte compatibili tranne i due valori ottenuti dall’analisi del diagramma di bode per le ampiezze con i due modelli diversi. Anche la pendenza della retta ottenuta dal primo fit non è compatibile con il valore atteso, che però è stato espresso senza incertezza perchè si tratta di un approssimazione valida nel regime di f fT e possiamo dire che il valore ottenuto dal fit è comunque in buon accordo con il modello perchè il valore di questa stima dista meno di 3σ dal valore centrale di best fit. In particolare il χ²del secondo fit risulta notevolmente più basso (il χ²ridotto di tale fit è compatibile entro 2σ con 1) rispetto al primo, il che lascia supporre che il primo modello adottato sia meno curato e forse non pienamente compatibile con le approssimazioni effettuate.

Risposta ad un’ onda quadra

Si invia all’ ingresso un’ onda quadra di frequenza (11.2± 0.1) kHz e ampiezza (1.51 ± 0.05) V. Si riportano in figura 8 le forme d’onda acquisite all’oscillografo per l’ingresso e l’uscita.

Qualtitativamente possiamo osservare che un’onda quadra in ingresso d`a un’onda triangolare in uscita, sfasata di π rispetto a quanto farebbe un integratore (ma la funzione di trasferimento di questo circuito ha un segno “-” globale che spiega questo effetto). L’ampiezza dell’onda misurata in uscita vale

Voutmisurato = (6.9± 0.2) × 10²mV

mentre il valore atteso si pu`o ricavare espanendo in serie di Fuorier l’onda quadra, calcolando di quanto viene attenuata ciascuna componente armonica e confrontando questo valore con lo sviluppo in Fourier di un’onda triangolare, trovando:

V_out_atteso= Vin

4R1Cf = (7.0± 0.4) × 10²mV

Al fine di ricavare il valore atteso per Vout si `e utilizzata l’approssimazione f fT = _2πR¹₂_C, che dovrebbe essere valida in questo regime, e infatti i due valori di Vout, atteso e msiurato, sono compatibili, dunque non sussiste alcuna ragione di dubitarne.

(24)

Osserviamo in figura 9 come per basse frequenze il segnale in uscita risenta del tempo finito di carica del condensatore, il che produce le caratteristiche curve esponenziali. Questo effetto può essere spiegato anche guardando le componenti di Fourier dell’onda quadra: le prime armoniche si trovano al di sotto della frequenza di taglio, pertanto vengono in prima approssimazione sfasate di π e hanno un guadagno di circa 10; le armoniche successive invece si trovano già oltre la frequenza di taglio, dove è presente un’attenuazione e uno sfasamento che dipendono dalla frequenza e che quindi contribuiscono alla formazione della caratteristica pinna di squalo.

Le figure 10 e 11 invece mostrano la risposta del circuito per alte frequenze; notiamo come, in entrambi i casi, in corrispondenza di un gradino in entrata, si registri uno spike in uscita, che distorce apprezzabilmente l’onda triangolare che ci si aspetterebbe. Questo potrebbe essere dovuto al fatto che l’approssimazione di ground virtuale non `e verificata in questo caso, e dunque si verifica una caduta di tensione sulla resistenza interna R_in, che altera il comportamento del OpAmp.

3.2 Discussione

Il filtro costruito è un passa basso invertente, dunque ci si attende che a basse frequenze il segnale in uscita sia in opposizione di fase rispetto a quello in ingresso, e che tenda a ^π₂ per alte frequenze. Ques’andamento è rispettato sia per le onde sinusoidali, come si evince dal grafico in figura 6, sia in parte dalla figura 11, dove tuttavia il segnale in uscita è parecchio distorto e non si presta a troppe osservazioni qualitative. La funzione della resistenza R2 è quella di stabilizzare il circuito; infatti se non ci fosse, nell’approssimazione di ground virtuale, la funzione di trasferimento sarebbe

Vout

Vin

=− 1

jωR1C

che presenta una divergeza per frequenze nulle dovuta al fatto che la presenza del condensatore porterebbe un’eventuale componente continua del segnale a mandare in saturazione l’OpAmp. La presenza della resistenza R2 in parallelo al condensatore porta alla funzione di trasferimento adottata come modello, ed elimina la divergenza a basse frequenze, provocando una caduta di potenziale anche nella componente continua.

Dichiarazione

(25)

10⁻¹ 10⁰ 10¹

A

10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

f [Hz]

−5 0 5 10

Res.Norm

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

∆ϕ[π]

10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

f [Hz]

−2 0 2 4

Res.Norm

Figura 6: grafico di Bode per ampiezza (sopra) e sfasamento (sotto) della risposta del circuito integratore analizzato. I punti segnati in rosso nel primo grafico sono stati considerati outilers, e dunque non presi in considerazione al fine della procedura di fit. Per quanto riguarda quelli a frequenze maggiori di 100 kHz, il loro andamento si discosta in modo apprezzabile da quello di tutti gli altri, questo probabilmente a causa del fatto che sono stati misurati dopo diverso tempo rispetto ai precedenti, quando si è deciso di campionare in modo più approfondito tale regione di frequenze, e nel tempo intercorso è possibile che il sistema non sia rimasto del tutto stabile (ad esempio i componenti dell’OpAmp potrebbero essersi scaldati variando le resistenze interne presenti e dando luogo a effetti che esulano dal modello considerato). Invece il punto a frequenza∼ 300 Hz è stato escluso perchè considerato appartenente alla curva del guadagno ma a nessuna delle due rette che si hanno nelle approssimazioni f fT o f fT, in quanto la frequenza corrispondente è troppo vicina alla frequenza di taglio.

(26)

10⁻¹ 10⁰ 10¹

A

10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

f [Hz]

0 2 4

Res.Norm

Figura 7: grafico di Bode per ampiezza con la funzione di un filtro passa-basso. Anche in questo caso i tre punti a frequenze superiori a 100 kHz, considerati outliers nel fit precedente, non sono stati presi in considerazione per questa analisi, e non sono stati nemmeno rappresnentati in questa figura perch`e gi`a appurato che non rispecchiano l’andamento che ci si propone di studiare.

Figura 8: Ingresso ed uscita del circuito integratore per un’ onda quadra di frequenza∼ 11 kHz.

(27)

Figura 9: Ingresso ed uscita del circuito integratore per un’ onda quadra di frequenza∼ 98 Hz.

Figura 10: Ingresso ed uscita del circuito integratore per un’ onda quadra di frequenza∼ 130 kHz.

(28)

Figura 11: Ingresso ed uscita del circuito integratore per un’onda quadra di frequenza∼ 1.3 MHz. Si noti che a una frequenza cos`ı elevata anche il generatore di di onde non riesce a fornire la forma richiesta in maniera precisa, ma presenta qualche distorsione che contribuisce al comportamento inaspettato dell’OpAmp.

(29)

Esercitazione 06B: Usi non lineari dell’OpAmp

Gruppo 1G.BQ

Scopo e strumentazione

Lo scopo dell’esperienza `e costruire e caratterizzare due circuiti dove si frutta il comportamento non lineare di un amplificatore operazionale. I circuiti in questione sono un amplificatore di carica con rivelatore TOT e un multivibratore astabile. La strumentazione utilizzata consiste di OpAmp, condensatori, resistitori, trimmer e i generatori di onde e di tensione come componenti, oscilloscpio e multimetro digitale per le misure.

1 Amplificatore di carica

1.a Montaggio del circuito

Si `e montato il circuito secondo lo schema mostrato nel testo dell’esercitazione, utilizzando la barra di distribuzione grigia per la tensione negativa, quella rossa per la tensione positiva, e quella nera per la massa.

Si sono misurate anche le rispettive resistenze e capacit`a selezionate con il multimetro digitale. I risulati sono riportati qui di seguito:

CT = (1.05± 0.04) nF CF = (0.95± 0.04) nF C1= (20.7± 0.9) nF, R1= (99.5± 0.8) kΩ R²= (0.1001± 0.0009) kΩ.

Si `e infine ruotata la vite del trimmer per regolare il segnale input - del secondo OpAmp (che rappresenta anche la soglia del comparatore), fino ad ottenere

Vsoglia= (236± 7) mV, misurato con l’oscilloscopio.

1.b Analisi funzionamento

Consideriamo in prima analisi solo il sottocircuito del primo OpAmp. Questo `e possibile farlo perch`e la resistenza in ingresso del secondo sottocircuito corrisponde alla serie di R2e della resistenza in ingresso del secondo OpAmp, notoriamente molto grande, dunque in prima approssimazione il circuito a monte rimane imperturbato dal circuito a valle.

Il generatore di onde quadre e il condensatore C_T simulano un’iniezione di carica pari a Q = V_sC_T, dove V_S

`e l’ampiezza dell’onda quadra (con segno). Si fissi come t = 0 l’istante dove l’onda quadra ha appena cambiato regime a VS. Imponendo le condizioni inizale appropriate (ricordandosi che prima dell’iniziezione l’onda quadra era nel regime opposto) si trova che Vsh(0) =−2VsCT

CF

. Ora risolvendo in circuito nel dominio del tempo e in in un intervallo in cui l’onda quadra non cambia regime si trova

Vsh(t) =−2VsCT

C_F exp

− t

R₁C_F

. (1)

I conti si sono svolti assumendo il guadagno dell’OpAmp finito e indipendente dalla frequenza. Al termine del calcolo si `e fatto tendere il guadagno Ada +∞. Si noti in particolare come il segno − nell’espressione produca uno sfasamento di π tra il segnale in ingresso e il segnale Vsh.

Mettendo un’onda quadra in ingresso di ampiezza pari a circa 6 V picco-picco, qualitativamente ci aspettiamo che Vshabbia dei picchi positivi a circa 6 V quando l’onda quadra passa dall’essere positiva a negativa, per poi decadere esponenzialmente fino a 0 V; viceversa quando l’onda in ingresso diventa positiva su Vshci aspettiamo

(30)

un picco a 6 V per poi crescere esponenzialmente fino allo 0. Notiamo infine che la frequenza dell’onda è di circa 100 Hz, che corrisponde a un periodo di 10 ms, molto maggiore del tempo caratteristico di caduta del segnale V_sh pari a R₁C_F = 0.1 ms: questo vuol dire che quando l’onda quadra cambia regime il segnale V_shè piatto a 0 V da tempo e quindi ogni iniezione di carica è indipendende dalla precedente.

Consideriamo ora la seconda parte del circuito. La resistenza R2ha come unica funzione quella di limitare la corrente che entra nell’OpAmp e la caduta di potenziale su di essa è trascurabile, per tanto assumeremo che V+del secondo OpAmp sia Vsh. Il trimmer R3viene utilizzato come partitore di tensione per regolare il segnale V₋al valore Vsoglia; il condensatore C1è utilizzato invece per rimuovere i disturbi sul segnale V₋che potrebbero causare bouncing nell’OpAmp: si comporta infatti come un filtro passa-basso che rimuove tutte le componenti ad alta frequenza. Assumendo il guadagno dell’OpAmp come infinito il segnale in uscita è

Vout=

15 V, for V_sh> V_soglia

−15 V, for V^sh< Vsoglia .

Ci aspettiamo quindi che il V_out sia costante a −15 V ad eccezione degli istanti in cui Vsh `e maggiore di V_soglia∼ 200 mV, dove vale 15 V. Possiamo anche calcolare teoricamente per quanto tempo il segnale Voutresta alto: supponendo che il picco avenga a t = 0, dalla (1) si ricava (omettendo il segno meno e quindi prendendo il valore assoluto si VS)

∆t_alto= R₁C_Fln

2CTVS

CFVsoglia

. (2)

Per verifcare quanto prevsto dai conti teorici si `e inoltre eseguita una simulazione del circuito al computer, con lo scopo di ottenere le forme dei segnali Vshe Vout. I dettagli della simulazione sono riportati in Figura 1 e nella sua descrizione. Si noti che i segnali simulati rispettano tutte le previsioni fatte in precedenza.

Riportiamo ora le acquisizioni dello schermo dell’oscilloscopio mandando un’onda quadra di 6 V in ingresso.

Notiamo che in prima analisi qualitativa i segnali sono in linea con quanto previsto, come si pu`o vedere in Figura 2. Il valore di ∆taltoche ci aspettiamo sostituendo nella (2) i valori effettivi dei componenti circuitali `e

∆talto, teo= (0.31± 0.01) ms,

mentre quello misurao con l’oscilloscopio `e ∆talto, mis= (340± 5) ms; i due valori sono compatibili entro 2σ.

Concentrandosi sugli istanti in cui Vout è alto si vedono i primi effetti di non idealità dell’OpAmp, come riportato in Figura 3. Qui si osserva che la discesa si discosta molto dall’essere un gradino perfetto. Nella didascalia della Figura 3 si sono formulate alcune ipotesi sul perchè esiste questo effetto.

Un altro effetto di non idealità dell’OpAmp è quello di avere una slew rate finita. Questo effetto è ben visibile concentrandosi sugli istanti in cui avviane l’impulso di carica (e quindi lulla salita di V_sh e di V_out), come mostrato in Figura 4.

(31)

0 2 4 6 8 10 12 t [ms]

−15

−10

−5 0 5 10 15

V[V]

Figura 1: segnali Vsh (in verde) e Vout (in azzurro) risultanti dalla simulazione del circuito al computer. Lo schema circuitale usato per la simulazione è riportato qui sotto, con anche i valori assegnati ai componenti circuitali. L’onda quadra in ingresso è rappresentata in arancione ed ha un’ampiezza selezionata di 6 V picco- picco. Il guadagno dell’OpAmp nella simulazione è +∞.

La frequenza bandwidth della simulazione `e 100 MHz.

-

+ 1nF

100Hz

1nF

100k

100 Vsh

-

+ +0,200V

(32)

Figura 2: un periodo di oscillazione dei segnali Vsh e Vout. Si noti che le scale verticali sono diverse per i due segnali: il segnale Vout vale circa±15 V, come ci si aspetta dato che il secondo OpAmp `e usato in open loop; il segnale di Vininvece ha un picco di circa 6 V e poi decade esponenzialmente.

Osserviamo infine che, come previsto, Vsh ha anche dei picchi negativi simmetrici a quelli positivi: questi sono dovuti alla parte positiva dell’onda quadra, ma non vanno a influenzare Voutdato che trovandosi sotto lo 0, non cambiano la saturazione del secondo OpAmp.

Figura 3: particolare su Vouta 15 V. Si noti come il segnale è in realtà asimmetrico tra salita e discesa: il tempo di discesa è molto più grande e visibile di quello di salita. Si potrebbe ipotizzare che ciò sia dovuto al fatto che in realtà il guadagno dell’OpAmp non è infinito, ma per V+−V−dell’ordine del 300µV in valore assoluto, l’OpAmp ha un comportamento lineare. In particolare la transizione di discesa inizia quando Vsh è Vsolglia+ 150µV e termina quando ha raggiunto il valore V_solglia− 150 µV: dato che Vsh si trova nella parte finale di una caduta esponenziale, varia molto lentamente, facendo si che il tempo impiegato nella transizione sia rilevabile.

Verificando questa ipotesi attraverso una stima del tempo di discesa che questo effetto produce, utilizzando l’equazione (2), si ottiene che esso è del tutto trascurabile rispetto alla scala in cui è stato rappresentato il segnale, pertanto non è da ritenere responsabile. Anche la slew rate non può spiegare la situazione dato che la pendenza è ben al di sotto dal valore massimo che può asumere. A produrre questo effetto è probabilmente qualche comportamento non ideale dell’OpAmp al di fuori dal nostro controllo.

Al contrario la salita inzia e finsice con gli stessi valori di VS, ma in questo caso il segnale sta variando molto velocemente (limitato solo dalla slew rate del primo OpAmp) e pertanto l’effetto visto in precedenza non si vede.

(33)

Figura 4: particolare sulla salita. Vediamo che anche in questo caso Vout non ha la forma di una quadra ideale, probabilmente a causa della slew rate dell’OpAmp. Anche la salita del segnale Vsh `e parecchio irregolare:

sicuramente la anche in questo caso la slew rate ha un ruolo determinante , ma non `e l’unico effetto che entra in gioco. Una possibile spiegazione `e che l’utilizzo della funzione media dell’oscilloscopio, la quale media su 128 periodi alla volta, distorce la forma del segnale che originariamente fluttua in modo diverso a ogni periodo su valori da noi non controllabili.

1.c Comportamento al variare della carica

La prima questione da affrontare è scegliere come misurare la durata del segnale in uscita. Dalla Figura 3 è evidente dove collocare il cursore per l’inizio del segnale alto, dato che il tempo di salita è irrilevante sulla scala della durata. La stessa cosa non si può dire però per la fine del segnale: la transizione tra alto e basso non è affatto trascurabile rispeto alla durata, e si pone quindi il problema di dove posizionare il cursore per la fine.

Inoltre abbassando l’ampiezza di VS lo stesso problema si presenta anche per la salita.

Si `e scelto quindi di seguire due strade differenti:

1. misurare la durata solamente della parte piatta del segnale;

2. misurare la durata tra quando il seganle si discosta da−15 V a quando torna ad esserlo.

Riportiamo in Tabella 1 i dati raccolti con il primo metodo di misura, mentre in Tabella 2 quelli con il secondo.

Si `e poi eseguito un fit di entrambi i set di dati raccolti con la funzione descritta nell’equazione 2VS[V] ∆talto[ms]

0.268± 0.008 0.0142± 0.0002 0.276± 0.008 0.0234± 0.0002 0.34± 0.01 0.0608± 0.0002 0.42± 0.01 0.0866± 0.0002 0.58± 0.02 0.1180± 0.0002 0.74± 0.02 0.1420± 0.0002 0.99± 0.03 0.1690± 0.0002 1.38± 0.04 0.2020± 0.0002 1.94± 0.06 0.2300± 0.0002 4.2± 0.1 0.3100± 0.0002

Tabella 1: dati raccolti sulla durata del segnale in uscita ∆talto al variare dell’ampiezza VS della quadra in ingresso. Si `e utilizzato il metodo di misura 1 per il tempo.

Si noti il fattore due davanti a V_Sdovuto al fatto che i voltaggi misurati sono stati presi picco-picco.

∆t_alto= τ ln

2VS

V¯

,