2.a Analisi funzionamento
I due diodi Zener fissano il potenziale di Vouta±(Vz+ Vγ) (dove con Vz si intende la tesnione di breakdown del diodo e con Vγla sua tensione di soglia) e questo fa caricare o scaricare il condensatore attraverso la resistenza R,
Figura 7: segnale Vout per ampienzze picco picco dell’onda quadra di poco superiori a VS: il segnale ha perso completamente la forma quadra che all’inizio (approssimativamente) aveva.
fino a che non raggiunge il potenziale del piedino positivo dell’OpAmp, che sar`a, data la presenza del partitore di tensione tra R1 ed R2, V+ =±Vz+ Vγ
1 +RR12 . Ripercorrendo i passaggi dunque, otteniamo che quando Vout si trova nella fase alta
Vout= Vz+ Vγ,
allora anche il piedino positivo dell’OpAmp si trova nel suo stato pi`u alto, V+,H =Vz+ Vγ
1 +RR12
e il condensatore si carica attraverso la resistenza R, quindi con un tempo di carica τ = R· C fino a che la piastra collegata al piedino positivo arriva al potenziale V+,H; a questo punto la differenza tra il piedino positivo e quello negativo diventa negativa, l’uscita dell’OpAmp satura rapidamente alla sua uscita negativa e abbiamo
Vout=−(Vz+ Vγ) il piedino positivo scende alla sua uscita minore
V+,L=−Vz+ Vγ 1 +RR12
e il condensatore comincia a scaricarsi fino a quando la piastra collegata al piedino negativo non arriva al potenziale V+,L. Questa oscillazione tra i due livelli di saturazione si ripete periodicamente; per calcolare il periodo basta notare che, fissando l’origine dei tempi in modo che a t = 0 Voutinizi la sua fase a livello alto, il potenziale del piedino negativo dell’OpAmp `e descritto dalla legge
V−(t) = (Vz+ Vγ) di discesa di V−si presta ad un’analisi esattamente analoga, portando ad un periodo dell’onda quadra in uscita pari a:
Si `e montanto il circuito come in Figura 8. Per questo circuito sono stati utilizzati due diodi Zener 1N753A. I
-+ 5k
1k
10k
10k 200nF
Figura 8: circuito del multivibratore astabile.
valori dei componenti scelti sono
R = (4.65± 0.04) kΩ, C = (208 ± 9) nF,
R1= (9.88± 0.08) kΩ, R2= (9.95± 0.08) kΩ, R3= (0.973± 0.008) kΩ, corrispondenti ad un periodo atteso per l’onda quadra in uscita di circa:
Tteorico= 2R· C · ln
1 + 2R2
R1
= (2.13± 0.09) ms.
In particolare il valore scelto per R deve essere molto minore dell’impedenza in ingresso dell’oscilloscopio, affinch`e quest’ultimo non perturbi il circuito in maniera significativa. Infatti si potrebbe pensare ingenuamente di utilizzare R∼ 1 MΩ, combinato con uno dei condensatori da un 1 nF usati al punto precedente per soddisfare le richieste sul periodo, ma ci`o porterebbe a leggere un segnale costantemente negativo collegando l’oscilloscopio per misurare Vout. Infatti in tal caso, essendo la resistenza di ingresso dell’oscilloscopio confrontabile con R, il condensatore non si caricherebbe pi`u, poich`e la corrente si scaricherebbe attraverso l’oscilloscopio, e l’OpAmp rimarrebbe sempre in saturazione, senza cambiare mai fase. Si `e quindi montato il circuito utilizzando la linea di distribuzione rossa per la tenzione positiva a ∼ +15 V, quella grigia per la tensione negativa a ∼ −15 V e quella nera per la terra.
2.c Osservazione dei segnali
Le figure 9, 10 e 11 mostrano l’andamento del segnale per Vout, V+e V−; in particolare verifichiamo qualitativa-mente che i primi due hanno l’andamento di un’onda quadra, mentre l’ultimo `e del tipo pinna di squalo, come ci si attende dalla carica-scarica del condensatore. Per verifiche pi`u quantitative possiamo leggere dalla figura 9 che Voutha un’ampiezza picco-picco:
Voutpp = (13.6± 0.4) V compatibile con il valore fornito dal datasheet dei diodi Zener per
2· (Vz+ Vγ) = 13.8 V
Analogamente, dalla figura 11 possiamo leggere che l’ampiezza picco-picco del segnale V+vale:
V+pp= (6.88± 0.21) V
Figura 9: Screenshot dell’oscilloscopio che mostra sul canale 1 il segnale Voute sul canale 2 il segnale V+entrambi con la stessa scala. Come atteso osserviamo che entrambi i canali mostrano un’onda quadra, anche se le ampiezze sono diverse e Voutpresenta un’ ampiezza maggiore di V+.
Figura 10: Screenshot dell’oscilloscopio che mostra sul canale 1 il segnale Voute sul canale 2 il segnale V−entrambi con la stessa scala. Come atteso osserviamo che il canale 1 mostra un’onda quadra, anche se le ampiezze sono diverse e Vout
presenta un’ ampiezza maggiore di V−, che ha un andamento a pinna di squalo, come atteso.
mentre, teoricamente ci attendiamo:
2Vz+ Vγ
1 +RR12 = (6.92± 0.04) V
che `e compatibile con il valore misurato. Infine, dalla figura 10 possiamo leggere come il periodo dell’onda quadra valga
Tsperimentale= (2.220± 0.002) ms
compatibile con il periodo atteso, come calcolato al punto 2.b. Possiamo quindi concludere che non sussistono deviazioni apprezzabili del comportamento del circuito da quanto previsto teoricamente.
Figura 11: Screenshot dell’oscilloscopio che mostra sul canale 1 il segnale V+e sul canale 2 il segnale V−entrambi con la stessa scala. Come atteso osserviamo che V+ha un andamento tipo onda quadra, mentre V− ha un andamento a pinna di squalo, entrambe con la medesima ampiezza.
2.d Funzione dei diodi Zener e della resistenza R3
La funzione dei diodi Zener `e quella di abbassare il limite di saturazione del segnale Vout a Vz+ Vγ, limite che invece corrisponderebbe alla tensione di alimentazione dell’OpAmp in assenza dei diodi. In questo modo, variando l’alimentazione dell’OpAmp entro certi limiti, in particolare senza mai avere|VCC|, |VEE| < Vz+ Vγ, si ottiene sempre la stessa onda in uscita, in quanto accade sempre che uno dei due diodi raggiunge il regime di breakdown prima che si abbia la saturazione dell’OpAmp, mentre il periodo dell’onda quadra in uscita non dipende n`e dai diodi n`e da grandezze caratteristiche dell’OpAmp. Indubbiamente dunque questo dona una notevole stabilit`a a questo generatore di onde quadre, che non viene disturbato dal rumore intrinseco alle tensioni di alimentazione, rumore che invece si ripercuoterebbe sul segnale in uscita in assenza di tali diodi. La resistenza R3invece `e fondamentale per limitare la quantit`a di corrente presente nel circuito, in particolare in sua assenza, dato che il livello di saturazione dell’OpAmp `e ben pi`u alto di Vz+ Vγ, verrebbe forzata nei diodi una corrente molto grande, che potrebbe danneggiarli irreversibilmente. In particolare, la corrente che scorre in R3vale:
VCC− (Vz+ Vγ)
R3 ∼ 12 mA
che `e inferiore alla corrente massima che pu`o scorrere in uno di questi diodi Zener in regime di breakdown, corrente massima che dal datasheet vale Iz∼ 20 mA.
2.e Analisi della dipendenza tra periodo dell’onda quadra e tensione di alimenta-zione
Per tensioni di alimentazione che rimangano sopra a Vz+ Vγ la frequenza dell’onda in uscita dovrebbe rima-nere circa costante, in quanto n`e l’ampiezza dell’onda, n`e il periodo dovrebbero avere a che fare con grandezze caratteristiche dell’OpAmp. Inoltre per tensioni di alimentazione inferiori a∼ 5 V l’OpAmp non risulta suffi-cientemente polarizzato e dunque gli effetti che si registrano non possono essere spiegati con i modelli a noi noti.
In effetti nella figura 12, che riassume le nostre osservazioni sperimentali, possiamo osservare un andamento circa costante per tensioni superiori a∼ 10 V. Per tensioni inferiori a Vz+ Vγinvece ci aspettiamo che il segnale saturi prima di arrivare a portare in breakdown uno dei diodi, e dunque la corrente che scorre per il ramo dei diodi diventa di fatto trascurabile, riducendo il circuito a quello originale a cui viene tolto il ramo dei diodi. In questo caso la Voutinfluenza fortemente la carica del condensatore, che avviene di fatto attraverso la serie delle resistenze R3 ed R, da cui si attende che il tempo caratteristico di carica/scarica del condensatore aumenti.
A questo deve quindi fare seguito un aumento del periodo dell’onda quadra in uscita, e una corrispondente diminuzione della frequenza dell’onda stessa, sempre pressoch`e indipendente dalla tensione di alimentazione.
In effetti, nel grafico in figura 12 possiamo osservare 2 plateau, uno per alte tensioni di alimentazione, in cui uno dei due diodi raggiunge il regime di breakdown e che corrisponde alle condizioni in cui `e stato studiato questo
2 4 6 8 10 12 14 VCC[V]
420 430 440 450
f[Hz]
Figura 12: questa figura mostra i punti sperimentali, con le rispettive barre d’errore, registrati facendo variare la tensione di alimentazione dell’OpAmp e misurando la corrispondente frequenza dell’onda quadra.
Figura 13: questa figura mostra uno screenshot dell’oscilloscopio in cui il canale 1 mostra la risposta Vout e il canale 2 il segnale V−, con la stessa scala, nel caso in cui l’OpAmp `e stato alimentato con tensioni di VCC∼ 7 V e VEE∼ −7 V.
circuito, l’altro a tensioni di alimentazioni pi`u basse, in cui uno dei due diodi `e in interdizione e, come ci si attende, la frequenza costante che si osserva `e pi`u bassa di prima. Infine la figura 13 mostra come i fronti del-l’onda quadra risultino significativamente perturbati nel caso di tensioni di alimentazioni dell’OpAmp inferiori a Vz+ Vγ, e in particolare si indovina una curva esponenziale che `e probabilmente dovuta alla carica e scarica del condensatore, ora profondamente correlata a Vout.
2.f Relazione tra la capacit`a e la frequenza dell’onda quadra
Per questa analisi si `e misurata la frequenza dell’onda quadra in funzione della capacit`a del condensatore, riportando i dati in tabella 3. Dal modello teorico ci si aspetta una relazione:
C[nF] f [kHz]
Tabella 3: Frequenza dell’onda quadra in uscita da un circuito multivibratore astabile al variare della capacit`a in ingresso.
e usando questa come funzione di fit, lasciando R come parametro di fit, eseguendo un fit iterato mediante la funzione di fit curve fit, si ottengono i seguenti risultati:
Rbest= (5.4± 0.8) kΩ
Figura 14: questa figura mostra i punti sperimentali, con le rispettive barre d’errore, sovrapposta alla curva di best fit (rappresentata in blu). Si `e scelta una rappresentazione in scala bilogaritmica in modo da linearizzare l’andamento e rende pi`u evidente l’accordo qualitativo tra l’andamento registrato e il modello teorico.
Possiamo osservare che il valore ottenuto per Rbest`e compatibile con quello misurato, nonostante il χ2 sia molto pi`u grande di quanto sarebbe lecito aspettarsi. Questo potrebbe essere dovuto a una sottosima delle incertezze, oltre che alla difficolt`a nel misurare la frequenza ad alte frequenze, visto che la forma d’onda in uscita `e sempre pi`u deformata per varie deviazioni di cui soffrono gli OpAmp reali. I dati raccolti per questo punto sono stati riassunti anche nella figura 14, da cui possiamo dedurre anche che per queste scelte di capacit`a e frequenza non si registrano particolari deviazioni dall’andamento atteso. Tuttavia a queste frequenze le forme
Figura 15: Screenshot dell’oscilloscopio che mostra sul canale 1 il segnale Voute sul canale 2 il segnale V−entrambi con la stessa scala dati R = (4.65± 0.04) kΩ e C = (1.05 ± 0.04) nF. Osserviamo che l’onda quadra gi`a a questa frequenza, nonostante ancora visibile, risulta parecchio deformata, e l’effetto principale `e probabilmente la slew rate, come lascia indovinare il valore della pendenza del gradino “verticale” facilmente stimabile da questa figura.
Figura 16: Screenshot dell’oscilloscopio che mostra sul canale 1 il segnale Voute sul canale 2 il segnale V−entrambi con la stessa scala, dove R = (828± 7) Ω e C = (11 ± 3) pF. Qui non si riesce pi`u a intravedere un’onda quadra dato che gli effetti dovuti alla non idealit`a dell’OpAmp hanno preso il sopravvento. La frequenza di questo segnale `e confrontabile con quella stimata nel testo della relazione come limite superiore per la frequenza di questo generatore di onde quadre, prova che viene a supporto del nostro modello.
d’onda sono ormai molto deformate, dovute a una molteplicit`a di effetti dati dall’OpAmp, quali la slew rate, il guadagno finito e dipendente dalla frequenza per frequenze cos`ı alte. Le figure 15 e 16 mettono in evidenza queste deformazioni, in cui in particolare si riesce ad apprezzare proprio una pendenza della curva in uscita di
∼ 13 V/µs che corrisponde alla slew rate di questo OpAmp. Se assumiamo che questo sia l’effetto dominante allora la frequenza massima a cui si pu`o osservare una sorta di onda quadra vale:
fmax= slew rate
2· 2(Vz+ Vγ) ∼ 500 kHz
Nella realt`a anche a frequenze pi`u basse di queste non si avranno gi`a pi`u onde quadre, come dimostra la figura 16, questo perch`e la stima qui effettuata la si `e ottenuta tenendo conto solo della slew rate, mentre bisognerebbe
considerare anche la finitezza e la dipendenza del quadagno dell’OpAmp al fine di ottenere una stima pi`u precisa, obiettivo che per`o esula dagli scopi di questa caratterizzazione.
Dichiarazione
I firmatari di questa relazione dichiarano che il contenuto della relazione `e originale, con misure effettuate dai membri del gruppo, e che tutti i firmatari hanno contribuito alla elaborazione della relazione stessa.
Esercitazione 07: Oscillatore sinusoidale a ponte di Wien con OpAmp.
Luca Arnaboldi∗