•Nella evoluzione libera di un sistema LTITC descritto dalle matrici (A, B, C, D), si potranno trovare, in base a quanto visto, combinazioni lineari reali di tut- te e sole le funzioni che possono apparire nell’esponenziale di una matrice in forma di Jordan reale. Queste funzioni sono dette “modi” del sistema.
3.3.1
Modi dei Sistemi LTITC
•Riassumendo i vari casi visti, i modi di un sistema LTITC possono essere esclusivamente dei seguenti tipi:
1) Esponenziali semplici del tipo eλt, corrispondenti a miniblocchi semplici
con autovalore λ reale; questi modi sono convergenti a zero, costanti, o divergenti a seconda che λ sia minore, uguale, o maggiore di zero; 2) Quasi-polinomi di tipo tkeλt
, 0 ≤ k ≤ q − 1, corrispondenti a miniblocchi di dimensione q > 1 con autovalore reale λ; questi modi sono conver-
3.3. ANALISI MODALE 67
genti a zero se λ < 0, polinomialmente divergenti se λ = 0 e k > 0, esponenzialmente divergenti se λ > 0;
3) Funzioni oscillanti del tipo eσtcos(ωt), eσtsin(ωt), corrispondenti a due
miniblocchi semplici associati ad una coppia di autovalori complessi coniugati σ ± jω (ovvero ad un miniblocco reale semplice); questi modi sono convergenti a zero se la parte reale degli autovalori σ `e minore di 0, limitati ma non convergenti se σ = 0, esponenzialmente divergenti se σ > 0;
4) Funzioni oscillanti del tipo tkeσtcos(ωt), tkeσt
sin(ωt), 0 ≤ k ≤ q − 1, cor- rispondenti a due miniblocchi di dimensione q associati ad una coppia di autovalori complessi coniugati σ ±jω (ovvero ad un miniblocco reale costituito da q × q blocchi reali); questi modi sono convergenti a zero se σ < 0, polinomialmente divergenti se σ = 0 e k > 0, esponenzialmente divergenti se σ > 0;
3.3.2
Modi dei sistemi LTITD
•Nella evoluzione libera di un sistema LTITD descritto dalle matrici (A, B, C, D), si potranno trovare, in base a quanto visto, combinazioni lineari reali di tutte e sole le successioni (modi) che possono apparire nelle potenze di una matrice in forma di Jordan reale.
•Riassumendo i vari casi visti, i modi di un sistema LTITD possono essere esclusivamente dei seguenti tipi:
1) Potenze del tipo λt, corrispondenti a miniblocchi semplici con autovalore
λ reale; questi modi sono convergenti a zero, limitati ma non conver- genti, o divergenti a seconda che |λ| sia minore, uguale, o maggiore di uno. I modi reali con λ < 0 sono successioni oscillanti, con segno alternante ad ogni campione.
2) Successioni di tipo Ct
kλt−k, 0 ≤ k ≤ q − 1, corrispondenti a miniblocchi di
dimensione q > 1 con autovalore reale λ; questi modi sono convergenti a zero se |λ| < 1, polinomialmente divergenti con segno costante se |λ = 1|, esponenzialmente divergenti se |λ| > 1; hanno segno costante o alternante a seconda che λ sia maggiore o minore di zero.
2-bis) Nel caso λ = 0, la matrice J0 `e nilpotente di ordine q (cio`e J0q = 0).
In altri termini, ogni successione Ct
kλt−k (0 ≤ k ≤ q − 1) vale zero
per ogni t ≥ q: ogni evoluzione libera quindi si esaurisce a zero in un tempo finito (e non asintoticamente come per 0 < |λ| < 1): questi modi vengono detti dead-beat.
68 CAPITOLO 3. SOLUZIONI DEI SISTEMI LINEARI
3) Successioni oscillanti del tipo ρtcos(θt), ρtsin(θt), corrispondenti a due
miniblocchi semplici associati ad una coppia di autovalori complessi coniugati ρe±jθ (ovvero ad un miniblocco reale semplice); questi modi
sono convergenti a zero se il modulo degli autovalori ρ `e minore di 1, limitati ma non convergenti se ρ = 1, esponenzialmente divergenti se ρ > 1. Le oscillazioni della successione sono tanto piu’ frequenti quanto pi`u alto `e θ, sino al caso θ = π, in cui il periodo `e di due campioni (quest’ultimo caso coincide con quanto visto al punto 1) per λ < 0);
4) Successioni oscillanti del tipo Ct
kρt−kcos(θ(t−k)), Cktρt−ksin(θ(t−k)), 0 ≤
k ≤ q −1, corrispondenti a due miniblocchi di ordine q associati ad una coppia di autovalori complessi coniugati ρe±jθ (ovvero ad un miniblocco
reale costituito da q × q blocchi reali); questi modi sono convergenti a zero se il modulo degli autovalori ρ `e minore di 1, polinomialmente divergenti se ρ = 1 e k > 0, esponenzialmente divergenti se ρ > 1.
Capitolo 4
Stabilit`a dei Sistemi Lineari
•Nello studio delle soluzioni libere dei sistemi LTI in forma di stato, IDx = Ax, abbiamo osservato modi di tipi diversi, ed in particolare modi conver- genti a zero, esponenzialmente divergenti, polinomialmente divergenti, e non convergenti n´e divergenti. Nella discussione di questi modi, si `e fatto osser- vare come questi siano associati alla posizione degli autovalori della matrice dinamica A rispetto ad una regione del piano complesso (che diremo Regione Stabile - RS), rappresentata dal semipiano sinistro per sistemi LTITC, e dal cerchio unitario per i sistemi LTITD.
4.1
Definizioni di stabilit`a
A seconda di quali modi possiede, un sistema LTI si dice:
Asintoticamente Stabile (AS) se tutti i suoi modi sono convergenti (si ricordi che, se convergenti, i modi di un sistema LTI sono esponenzial- mente convergenti). La evoluzione libera dello stato di un sistema LTI asintoticamente stabile a partire da qualsiasi condizione iniziale tende quindi, per tempi sufficientemente lunghi, a zero (limt→∞kx(t)k = 0).
Un sistema LTI `e AS se e solo se tutti gli autovalori di A appartengono alla parte interna della RS.
Marginalmente Stabile (MS) se non possiede alcun modo divergente, ma possiede almeno un modo non convergente. La evoluzione libera dello stato di un sistema LTI marginalmente stabile, a partire da qualsiasi condizione iniziale, non converge a zero n´e diverge, ma si mantiene limitata. Si noti che, se si desidera che tutta la evoluzione libera dello stato resti limitata in un intorno di raggio arbitrariamente piccolo della origine (ad esempio, se si vuole che kx(t)k < ǫ, ∀t, per un ǫ > 0), `e
70 CAPITOLO 4. STABILIT `A DEI SISTEMI LINEARI
sufficiente che le condizioni iniziali siano sufficientemente vicine a zero (kx(0)k < δ, con 0 < δ ≤ ǫ). Un sistema LTI `e MS se e solo se valgono tutte le seguenti condizioni:
a) nessun autovalore di A `e al di fuori della RS;
b) almeno un autovalore di A appartiene al bordo della RS;
c) nessun autovalore di A sul bordo della RS ha molteplicit`a algebrica maggiore della geometrica.
In altri termini, per la stabilit`a marginale, agli autovalori sul bordo della Regione Stabile possono essere associati solo miniblocchi di Jordan di dimensione uno.
Instabile se non `e AS n´e MS. Un sistema instabile si dice poi pi`u precisa- mente
— Esponenzialmente Divergente (ED) se possiede almeno un modo esponenzialmente divergente. Un sistema LTI `e ED se e solo se almeno un autovalore di A `e al di fuori della RS
— Polinomialmente Divergente (PD) se non `e ED e se possiede almeno un modo polinomialmente divergente. Un sistema LTI `e PD se e solo se nessun autovalore di A `e al di fuori della RS, ma almeno un autovalore di A `e sul bordo della RS ed ha molteplicit`a geometrica inferiore alla molteplicit`a algebrica (cio`e, `e associato ad un miniblocco di Jordan di dimensione maggiore di uno).