7.4 Stabilit`a in Retroazione
7.4.1 Criterio di Nyquist
Lo studio della stabilit`a di sistemi lineari in anello aperto `e legato all’analisi della matrice dinamica della sua rappresentazione in forma di stato, ovvero dei poli della sua rappresentazione come f.d.t..
•Tra i metodi visti per compiere questa analisi, oltre al calcolo esplicito o numerico delle radici del polinomio caratteristico, si ricordano i criteri di Routh-Hurwitz e Jury, i teoremi di Gershgorin e di Kharitonov per i siste- mi incerti, l’equazione di Lyapunov. Si ricorda infine il criterio dell’indice
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logaritmico, o criterio di Mikhailov, che pur non fornendo risposte nume- ricamente precise, ha una immediata interpretazione grafica che lo rende particolarmente utile per quanto segue.
•Il criterio di Nyquist `e un criterio grafico che, sulla base dello studio del diagramma polare completo di una f.d.t. G(s), fornisce indicazioni precise sul numero di poli instabili della f.d.t. Gc(s) = 1+G(s)G(s) ottenuta ponendo il
sistema in retroazione negativa unitaria.
L’ipotesi di retroazione unitaria negativa non `e limitante in quanto molte configurazioni di sistemi in retroazione possono essere ricondotte in questa forma.
Se ad esempio si desidera studiare la stabilit`a in retroazione del sistema a sinistra nella figura sottostante,
si pu`o far riferimento allo schema riportato a destra, dove si ponga G(s) = P (s)H(s), ed applicare quindi il criterio di Nyquist al diagramma polare della G(s).
Si forniscono nel seguito due versioni del criterio di Nyquist, di cui la prima `e di di pi`u facile applicazione e dimostrazione, ma limitata generalit`a, mentre la seconda `e pienamente generale.
Criterio di Nyquist Dato un sistema avente una funzione di trasferi- mento G(s) priva di poli immaginari puri, condizione necessaria e sufficiente affinch´e il sistema Gc(s) in retroazione negativa unitaria sia asintoticamente
stabile, `e che il diagramma polare completo della G(s) circondi senza toccarlo il punto (−1 + 0) in senso antiorario tante volte quanti sono i poli con parte reale positiva della G(s).
•Si dice completo il diagramma di G(s) ottenuto per s = ω con ω ∈ (−∞, +∞). Per determinare G(−jω) osserviamo che se G(jω) = R(jω) + jI(jω), allora G(−jω) = R(jω) − jI(jω). Per disegnare il diagramma com- pleto `e quindi sufficiente ribaltare il diagramma di Nyquist rispetto all’asse reale.
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Come caso particolare del criterio sopra esposto, si ha che nel caso in cui la G(s) sia priva di poli instabili, il diagramma polare completo non deve circondare n´e toccare il punto critico.
•Dimostrazione del criterio di Nyquist.
Data la funzione di trasferimento ad anello aperto G(s), indichiamo con n(s) e d(s) i polinomi a numeratore e a denominatore. Si ha
G(s) = n(s) d(s), Gc(s) = G(s) 1 + G(s) = n(s) n(s) + d(s),
quindi i poli del sistema in anello chiuso sono le radici del polinomio d∗(s) =
n(s) + d(s).
Utilizzeremo qui una versione leggermente modificata del criterio di Mi- khailov. Per un polinomio p(s), si consideri l’angolo Φp di cui ruota il vettore
p(ω) quando ω varia da −∞ a +∞. Essendo p(−ω) pari al compleso coniu- gato di p(ω), l’angolo Φp per ∞ < ω < ω risulta il doppio di quello valutato
per 0 ≤ ω < ∞. Applicando questo criterio ai due polinomi dei poli in anello aperto, d(s), e chiuso, d∗(s), si ha
Φd = π(na− 2ra),
Φd∗ = π(nc − 2rc),
dove na `e il numero dei poli in anello aperto, ra il numero dei poli instabili
in anello aperto, nc il numero dei poli in anello chiuso, e rc quello dei poli
instabili in anello chiuso. Se il sistema G(s) `e causale, cosa che assumeremo, il grado di d∗(s) = n(s)+d(s) `e uguale a quello di d(s), quindi si avr`a n
c = na.
Si osservi ancora che
1 + G(s) = d∗(s) d(s).
Quindi, detto Ψ l’angolo di cui ruota il vettore 1 + G(ω) intorno alla origine per ∞ < ω < ∞, si ha Ψ = Φd∗− Φd= π(nc− 2rc) − π(na− 2ra) = 2π(ra− rc) da cui rc = ra− Ψ 2π.
Infine, osservando che il numero di giri 2πΨ compiuto da 1 + G(ω) attorno all’origine coincide con il numero di giri compiuti da G(ω) attorno al punto −1 + 0, la tesi `e dimostrata.
7.4. STABILIT `A IN RETROAZIONE 175
•Nel caso in cui si la G(s) presenti singolarit`a sull’asse immaginario il teorema di Nyquist si applica ancora, con l’accortezza di considerare anche le rotazioni di π (“mezzi giri”):
Il sistema in retroazione `e asintoticamente stabile se e solo se il diagram- ma polare della G(jω), tracciato per ω ∈ (−∞, +∞), compie attorno al punto −1+j0 senza toccarlo tanti giri in senso antiorario quanti sono i poli di G(s) a parte reale positiva, e tanti mezzi giri in senzo antiorario quanti sono i poli immaginari puri.
•Esempio 1. La funzione di trasferimento G(s) = K(s + 1)
s2+ 1 2s + 1
,
ha il diagramma di Nyquist riportato in fig. 7.2, Il punto (−1 + 0) non ´e ne
Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Figura 7.2: Diagramma di Nyquist per l’esempio 1, con K = 1.
toccato n´e circondato dal diagramma: pertanto il sistema rimane asintotica- mente stabile in anello chiuso. Si nota inoltre che il diagramma polare non attraversa mai l’asse reale negativo. Pertanto, anche per valori maggiori di K, la stabilit`a in anello chiuso `e sempre garantita (la amplificazione per K ha l’effetto di aumentare il modulo di G(ω) senza alterarne la fase, quindi di scalare radialmente il diagramma polare senza alterarne la forma).
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•Esempio 2. La funzione di trasferimento
G(s) = 10K
s3+ 6s2+ 11s + 6,
ha poli in −1, −2, e −3. Il suo diagramma polare completo `e riportato in figura 7.3. Il diagramma tracciato con K = 1 non circonda n´e tocca il
−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
Figura 7.3: Diagramma di Nyquist per l’esempio 2, con K = 1.
punto critico quindi, per il criterio di Nyquist, il sistema in retroazione ´e asintoticamente stabile. Si osserva per`o che, per valori maggiori di K, il luogo attraversa l’asse reale negativo in punti sempre pi`u a sinistra. Per un valore di K sufficientemente alto, il luogo raggiunge il punto −1 + 0; per valori superiori a tale valore critico, il luogo circonda in senso orario il punto −1 + 0 ed il sistema diviene instabile in anello chiuso. Per il valore di K per il quale il diagramma polare tocca il punto critico, almeno un polo del sistema in anello chiuso si trova sull’asse immaginario, quindi il sistema in retroazione `e marginalmente stabile. La stabilit`a in anello chiuso si dice condizionata dal valore del guadagno K.
7.4. STABILIT `A IN RETROAZIONE 177
•Esempio 3. La funzione di trasferimento
G(s) = K
2s(s2+ s + 1),
ha il diagramma di Nyquist riportato in fig. 7.4. Il sistema in anello aperto
Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis −1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Figura 7.4: Diagramma di Nyquist per l’esempio 3 con K = 1.
non ha alcun polo instabile ma un polo nell’origine. Non essendo il punto (−1 + 0) n´e toccato n´e circondato per K = 1, ma compiendosi un mezzo giro in senso antiorario, il sistema in retroazione ´e asintoticamente stabile. All’aumentare di K si ottiene per`o anche in questo caso una retroazione instabile.
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Esempio 4. La funzione di trasferimento
G(s) = K
s2(s2+ s + 1),
ha il diagramma di Nyquist riportato in fig. 7.5. Si osservi che ∠G(ω) → −π sia per ω → 0+ che per ω → 0−. Il diagramma di sinistra compie un giro
−250 −200 −150 −100 −50 0 50 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis −50 0 50 100 150 200 250 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis
Figura 7.5: Diagrammi di Nyquist per l’esempio 4 con K = 1 (a sinistra) e K = −1 (a destra).
orario intorno al punto (−1 + 0), e tanto rimane vero indipendentemente dal valore di K > 0, pertanto il sistema complessivo ´e instabile. Anche nel caso in cui il segno di K sia negativo (diagramma a destra), si avrebbe insta- bilit`a dell’anello chiuso: infatti si hanno in questo caso zero circondamenti, insufficienti per il teorema di Nyquist applicato ad un sistema con due poli sull’asse immaginario.
•Esempio 5. La funzione di trasferimento
G(s) = K
s2+ s − 2,
avente poli in −2 e 1, ha il diagramma polare completo riportato in figura 7.6. Il diagramma tracciato con K = 2.5 circonda il punto critico una volta in senso antiorario: il sistema, instabile in anello aperto, `e quindi stabilizzato dalla retroazione per guadagni sufficientemente alti (K > 2).