Figura 5.2: Relazioni tra parte reale α e immaginaria β di poli complessi coniugati e loro pulsazione naturale ωn e smorzamento δ.
5.5
Risposta al gradino di sistemi del secondo
ordine
Un sistema del secondo ordine con due poli complessi coniugati p = α ± jβ e senza zeri ´e caratterizzato, a meno di un fattore costante, da una funzione di trasferimento del tipo
G(s) = 1 1 + 2δ s ωn + s2 ω2 n
dove ωn =pα2+ β2 e δ = −ωαn sono detti rispettivamente pulsazione natu-
rale e coefficiente di smorzamento. Si noti che vale β = ωn
√
1 − δ2 e che, per
avere poli complessi coniugati, deve essere −1 < δ < 1 (fig. 5.2). Lo studio della riposta al gradino `e peraltro interessante solo nel caso in cui il sistema sia stabile, quindi quando i suoi poli siano a parte reale non positiva, ovvero per 0 ≤ δ < 1.
La risposta al gradino di un sistema di secondo ordine ´e facilmente deter- minata per antitrasformazione, ottenendo
y(t) = L−1 ( 1 s(1 + 2 δ ωns + s2 ω2 n) ) = 1 − Ae−δωntsin(βt + φ) H(t) dove A = √1 1−δ2 e φ = arctan √ 1−δ2 δ = arccos δ.
120 CAPITOLO 5. RISPOSTE FORZATE DEI SISTEMI LTI Time (sec.) Amplitude Step Response 0 2 4 6 8 10 12 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 <−− Assestamento <−− Sovraelongazione Massima
Figura 5.3: Risposta al gradino di un sistema del secondo ordine con ωn =
1, δ = 0.5.
Una tipica risposta al gradino `e riportata in fig. 5.3. Si osserva che si ha un superamento del valore che verr`a poi raggiunto a regime.
Un parametro importante per descrivere la risposta dei sistemi del secon- do ordine `e quindi il valore S della massima sovraelongazione (o di overshoot), dato dalla differenza fra il valore massimo raggiunto ymax ed il valore di re-
gime raggiunto ¯y, normalizzato rispetto alla differenza tra valore iniziale y0
e valore di regime:
S = |ymax− ¯y| |¯y − y0|
.
La fig. 5.4 illustra le risposte di alcuni sistemi del secondo ordine al variare dei parametri di pulsazione naturale e di smorzamento.
La relazione esatta fra il coefficiente di smorzamento δ e la massima sovraelongazione S, pu`o essere ricavata imponendo
dy dt = −Ae−δω ntβ cos(βt + φ) + Aδω ne−δωntsin(βt + φ) = 0 ⇔ δωnsin(βt + φ) − ωn √ 1 − δ2cos(βt + φ) = 0 ovvero ancora tan(βt + φ) = √ 1 − δ2 δ .
5.5. RISPOSTA AL GRADINO DI SISTEMI DEL SECONDO ORDINE121 Time (sec.) Amplitude Step Response 0 5 10 15 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Time (sec.) Amplitude Step Response 0 5 10 15 20 25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 5.4: Risposte al gradino di sistemi del secondo ordine al variare dello smorzamento (a sinistra, tre casi con ω = 1 e, rispettivamente, δ = 0.3, δ = 0.5, δ = 1/p(2)), e della pulsazione naturale (a destra, tre casi con ωn= 0.5,ωn = 1, e ωn = 3, e δ = 0.5).
Poich´e φ = arctan√1−δ2
δ , deve valere βt = kπ (k = 0, 1, . . .). Si ottiene
quindi, per gli istanti di massimo o minimo (potendosi escludere l’esistenza di flessi sulla base della analisi delle derivate successive), l’espressione
tk= kπ β = kπ ωn √ 1 − δ2,
da cui `e evidente la presenza nella risposta al gradino del modo oscillante con pulsazione β proprio dei poli in α ± jβ.
Sostituendo questi istanti nella risposta, si ottiene
y(tk) = 1 − e− kπδ √ 1−δ2 √ 1 − δ2 sin(kπ + φ) = 1 − (−1) k e− kπδ √ 1−δ2.
Dalle espressioni precedenti, si ha immediatamente Tm = ω π
n √ 1−δ2 e S = yt1 − 1 = e −√πδ 1−δ2 (5.13)
La massima sovraelongazione avviene quindi tanto prima quanto maggio- re `e la pulsazione naturale, e tanto pi`u tardi quanto maggiore `e lo smorza- mento.
Il picco di sovraelongazione `e invece funzione solo dello smorzamento del- la coppia di poli del sistema, e decresce piuttosto rapidamente con esso (vedi fig. 5.5). Affinch´e la sovraelongazione non ecceda un valore massimo Smax, il
sistema deve avere smorzamento maggiore o uguale di un valore δmin calco-
labile facilmente dalla (5.13), ovvero ricavabile dal grafico in fig. 5.5. Corri- spondentemente, i poli del sistema devono appartenere ad un settore conico
122 CAPITOLO 5. RISPOSTE FORZATE DEI SISTEMI LTI 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Smorzamento Sovraelongazione
Figura 5.5: A sinistra, andamento delle sovraelongazioni ottenute per di- versi valori dello smorzamento. A destra, regioni del piano complesso corrispondenti a dati limiti di sovraelongazione e di rapidit`a di risposta.
con asse la semiretta reale negativa e semiapertura φmax = arcos (δmin) (vedi
diagramma a destra in fig. 5.5).
Affinch´e invece il sistema sia sufficientemente rapido nel rispondere al gradino, si deve garantire un tempo di assestamento sufficientemente rapido. Il tempo di assestamento Ta,p% `e definito come il pi`u piccolo valore per il
quale vale
|1 − y(t)| = |Ae−δωnt
sin(βt + φ)| ≤ p/100, ∀t ≥ Ta.
Questa relazione `e di difficile valutazione esplicita, a causa del termine sinu- soidale. Si pu`o dare una approssimazione per eccesso assegnando a | sin(βt + φ)| il suo valore massimo nel periodo. Essendo A = 1/√1 − δ2 > 0 per
0 < δ < 1, si pu`o riscrivere (considerando in particolare p = 5%)
e−δωnt ≤ 0.05 A e, passando ai logaritmi, δωnt ≥ − log(0.05) + log(A) da cui Ta ≈ 3 − 1 2log(1 − δ 2) δωn .
Per smorzamenti δ sufficientemente piccoli (minori di circa 0.8), si pu`o adottare la relazione approssimata spesso usata in pratica
Ta ≈
3 ωnδ
5.5. RISPOSTA AL GRADINO DI SISTEMI DEL SECONDO ORDINE123
che ricorda da vicino l’analoga espressione per i sistemi del primo ordine (si osservi che 1/δωn `e pari all’inverso del valore assoluto della parte reale dei
poli, `e svolge ruolo analogo qui alla costante di tempo τ nei sistemi del primo ordine).
Questa relazione concorda d’altronde con la intuizione che si pu`o avere dalla analisi dei modi propri la quale, nella valutazione della rapidit`a di risposta di un sistema del secondo ordine, indica come un ruolo fondamentale debba essere giocato dalla parte reale α = −ωnδ dei poli, che deve essere
sufficientemente grande in modulo (vedi fig. 5.5).
Riassumendo, nel caso di sistemi con due poli complessi, il tempo di as- sestamento della risposta al gradino `e legato alla parte reale dei poli e la sua sovraelongazione al loro smorzamento. Per visualizzare queste caratte- ristiche si usa spesso tracciare nel piano complesso la regione a sinistra di una retta parallela all’asse immaginario in −Ta,max3 e contenuta in un cono di
semiapertura φmax = arcos (δmin) (vedi fig. 5.5).
5.5.1
Poli dominanti
In modo analogo a quanto fatto in precedenza per i sistemi del primo ordine, anche nel caso dei sistemi di secondo ordine connessi in serie si pu`o osservare che la risposta `e sostanzialmente simile a quella del pi`u lento dei due sistemi, cio`e alla coppia di poli pi`u vicini all’asse immaginario, purch`e le parti reali delle due coppie di poli differiscano di un fattore almeno dieci.
Si comporta in modo simile anche un sistema che ha un numero anche elevato di poli sia reali che complessi coniugati, purch´e la loro posizione nel piano complesso sia molto pi`u a sinistra di quella di una coppia di poli com- plessi che viene detta dominante. Se un sistema possiede due poli complessi (ovviamente stabili) la cui parte reale `e almeno dieci volte pi`u piccola in va- lore assoluto di ogni altro polo e ogni altro zero, diremo che il sistema “ha due poli dominanti”.
Si vedr`a pi`u avanti che i comportamenti di sistemi anche molto diversi dai modelli del primo o secondo ordine sinora considerati, dopo la progettazione di opportuni compensatori, sono spesso assimilabili a quelli di sistemi ad uno o due poli dominanti.
Riassumendo, nel caso di sistemi ad uno o due poli dominanti, il tempo di assestamento della risposta al gradino `e legato alla parte reale dei poli dominanti e la sua sovraelongazione al loro smorzamento (che `e ovviamente nullo per sistemi ad un polo dominante). Per questo motivo, la regione del piano complesso a sinistra di una retta in −Ta,max3 e interna a un cono di
124 CAPITOLO 5. RISPOSTE FORZATE DEI SISTEMI LTI
per definire specifiche di funzionamento che si desidera ottenere da un sistema dopo la compensazione.